Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакочередующегося сходящегося ряда меньше по модулю первого члена ряда. Поскольку любой остаток ряда r_n является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

29 Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

30 Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .

Пространство степенных рядов

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из обозначается . Пространство имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо ). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

Тогда:

(при этом необходимо, чтобы соблюдалось )

Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называетсяабсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге и равномерно по на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех , таких что . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при ряд сходится абсолютно (и равномерно по на компактных подмножествах круга ), а при — расходится. Это значение называется радиусом сходимости ряда, а круг |x| < R — кругом сходимости..

Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:

(По поводу определения верхнего предела см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть F(x) и G(x) — два степенных ряда с радиусами сходимости R_F и R_G. Тогда

Если у ряда свободный член нулевой, тогда

Вопрос о сходимости ряда в точках границы круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

Признак Д’Аламбера: Если при и выполнено неравенство

тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности абсолютно и равномерно по .

Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда положительны и последовательность монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности , кроме, быть может, точки .

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра является предметом изучения теории аналитических функций.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестностинекоторой точки.

· Теорема: Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки ,