Тема 2: Дифференциальные вычисления функции одной переменной

Вопросы к экзамену по математике

Программа минимум:

Тема 1: Введение в математический анализ:

1) Определение функций одной вещественной переменной; ее области определений и области значений.

Функцией f называется правило, по которому каждому элементу одного множества D ставится в соответствии другое множество Е.

Y=F(X), где X- независимая переменная

Y- зависимая переменная

Область определения функции (D(y)) – множество значений, которые принимает Х

Область значения (Е(y)) – множество значений, которое принимает y,

когда Х «приобретает» область определения (D(y)).

2) Графики и свойства основных элементарных функций; определение элементарной функции.

Элементарная функция – функции, построенные из основных и элементарных чисел, с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа взятия функций от функций.

· Степенная y=x^m, где m - вещественное число

· Показательная y=a^x, где а – вещественное число (а>0 0<a<1)

· Логарифмическая y=log a (x) (а>0 0<a<1)

· Тригонометрические y=sin (x) y=cos(x) y=tg(x) y=ctg(x)

· Обратные тригонометрические y=arcsin (x) y=arccos(x) y=arctg(x) y=arcctg(x)

3) БМ и ББ; что это такое.

Функция называется БМ при ХàХ0 или Хà+-¥, если ее предел при этом стремление Х равен 0:

Lim f(x)=0 Lim f(x)=0

x-->0 x-->+-¥

Функция называется ББ при X--> X0, если для любого положительного числа M найдется такое положительное b>0,, что для всех X, удовлетворяющих неравенству X<>X0 |X-X0|<b будет выполнено неравенство |f(x)|>M .

4) a и b: связь между ними.

· Если Lim =0 è то a называется БМ более высокого порядка, чем b . a->0 несравнимо быстрее, чем b.

· Если Lim =¥ è то b называется БМ более высокого порядка, чем a

· Если Lim =С èто a и b называют БМ одного порядка

· Если Lim =1 èто a и b называют эквивалентными

5) Правило Лопиталя.

Если:

1. или ;

2. и дифференцируемы в окрестности ;

3. в окрестности ;

4. существует ,

то существует .

6) Нахождение точек разрыва; исследование характера разрыва.

План действий:

· Находим D(y), это и есть разрыв

· Находим предел слева и справа

· Говорят, что функция f(x) имеет точку разрыва первого рода при x=a, если в это точке: существуют левосторонний предел limx→a−0f(x) и правосторонний предел limx→a+0f(x); эти односторонние пределы конечны.(т.е. пределы равны числу)

· Функция f(x) имеет точку разрыва второго рода при x=a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. (т.е. пределы равны ¥)

Тема 2: Дифференциальные вычисления функции одной переменной

1) Формальное определение производной; смысл производной; механический и геометрический смысл производной.

Производной функции y=f(x) по аргументу х в точке х0 называется предел отношения превращения функций с соответствующем приращению аргумента вычисленный при условии, что превращение аргумента произвольным образом стремиться к 0:

F ¢(x) = lim = lim

Смысл производной - это скорость изменения функции у по отношению к аргументу х в точке х0.

Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент : .

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т.е. .

2) Правила и формула дифференцирования.

3) Уравнение касательной.

4) Дифференциал функции и приращение; связь этих величин.

Дифференциал функции – это произведение производной функции на приращение ее аргумента.

Dy=y ¢(x)*

Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента, а разность f(x1)−f(x0)–приращением функции.

5) Дифференциал для приближенных значений.

Пример 1:

Y=8 + x от 1 до 0,98

Решение: где х0=1

Y’=8 + =

Y’(x0)=y’(1)=-4

Пример 2:

Y= x

где х0=2

Y’=

Y’(x0)=y’(2)=12

6) Теорема Лагранджа.

Теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то в этом интервале существует хотя бы одна точка x=х0, такая, что

f(b)−f(a)=f′(х0)(b−a).

7) Определение возрастания и убывания функции; признаки возрастания и убывания дифференцируемой функции.

Функция f возрастает на множестве P, если для любых x₁ и x₂ из множества P, таких, что x₂>x₁, выполнено неравенство f(x₂) > f(x₁).

Функция f убывает на множестве P, если для любых x₁ и x₂ из множества P, таких, что x₂>x₁, выполнено неравенство f(x₂) < f(x₁).

Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

8) Определение локальных максимумов и минимумов функции; необходимые условия экстремума; первый достаточный признак экстремума

Говорят, что функция f(x) имеет локальный максимум в точке x0, если для всех точек x≠x0, выполняется неравенство

f(x)<f(x0).

Говорят, что функция f(x) имеет локальный минимум в точке x0, если для всех точек x≠x0, выполняется неравенство

f(x)>f(x0).

(Необходимое условие экстремума)

Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю.

Первый достаточный признак экстремума: Пусть f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой окрестности производную всюду, кроме, быть может самой точки, тогда, если при x<x0 f ‘(x)>0 или при x>x0 f ‘(x)<0 - x0 точка макс.

если при x<x0 f ‘(x)<0 или при x>x0 f ‘(x)>0 - х0 точка мин.

9) Определение асимптоты кривой; поиск наклонной и вертикальной асимптоты.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: