Принцип наименьшего действия.

Для каждой физической системы мы можем ввести функцию Лагранжа, описывающую эволюцию системы:

Ставится задача: как выбрать истинную траекторию.

Введем понятие принципа наименьшего действия (ПНД):

– действие вдоль траектории.

Истинная траектория между точками 1 и 2 - это та траектория, действие вдоль которой минимально.

При переходе к четырехмерному пространству формулировка ПНД не меняется. Траектория – мировая линия.

Рассмотрим пустое пространство и свободную частицу. Лагранжиан такой частицы:

, траектория – прямая линия.

Сформулируем дополнительное условие на ПНД исходя из равноправности систем отсчета: действие должно быть скалярным.

Траектория также не должна изменяться из одной ИСО в другую ИСО.

Найдем выражение Лагранжиана для свободной частицы в четырехмерном пространстве и времени.

Разобьем траекторию на маленькие интервалы dS.

inv характеристика траекторий длина

– не меняет сущности действия

При V 0 и разложив это выражение в ряд

Можно потребовать, что на малых скоростях Лагранжиан должен преобразовываться к классическому виду.

Множитель αc = const – соответственно

, =>

– релятивистское выражение для Лагранжиана свободной частицы.

Соответственно, зная функцию Лагранжа, можно установить характеристики частиц при любых скоростях.

, ,

= , = = , = = , = =

+ + - L = + m = E = =

E =

При скорости движения равной нулю, любая частица обладает энергией (энергия покоя).

= - формула Эйнштейна, это есть следствие инвариантности ПНД.

Если скорость частицы отлична от нуля, то полная энергия .

Из выражения для импульса и энергии частицы можно выразить связь между p и E.

Это выражение позволяет вычислить импульс частицы без массы, то есть если объект обладает энергией, то он обладает и импульсом.

Приведем рассмотренные величины к четырехмерной форме записи.

= m = ( )

Четвертой компонентой импульса является энергия, поэтому энергии.

В четырехмерном мире нельзя рассматривать отдельно импульс и энергию, так как они являются компонентами одного вектора:

= γ( - i ), = , = , = γ(i + )

= γ( - i ) = γ( + )

= γ( + ) => E=γ(V + E’)

Алгоритм отыскания преобразования величины при переходе из одной ИСО в другую:

1. Определение трехмерной величины как четырехмерной

2. Применение преобразования

3. Раскрытие индексной формы записи

Найдем четырехмерную функцию Гамильтона:

= = = -m = + + + = -

= +

_______________________________________

X мерный потенциал

Перейдем к описанию электрических явлений. ЭМП р/м как самостоятельно существующий объект. Для выявления существования поля проведем мысленный эксперимент.

Частицы движутся равномерно. Относительно движущейся системы события в точке А и В будут неодновременными. С точки зрения движущегося наблюдателя события в точке А наступит раньше, чем в В |=> в какой-то момент времени первая частица будет двигаться без ускорения, а вторая ускоренно |=> изменится импульс системы на некотором промежутке времени |=> нарушается закон сохранения импульса (этого быть не должно) |=> в нашей системе чего-то нахватает.

Способ разрешения парадокса - предположение существования 3-го объекта – ЭМП. Данный прим. показывает, что ЭМП существует как самостоятельный объект. Заряженные частицы никогда не взаимодействуют друг с другом. Они всегда взаимодействуют с полем.

Каковы обобщенные координаты ЭМП? Обобщение большого количества материальных факторов приводит к утверждению, что заряд частицы полностью описывает эл.маг. свойства этой частицы.

Заряд - это скаляр инвариант. ЭМП полностью и однозначно описывается 4-х вектором A_i(r_i). Этот вектор мы будем называть 4-х мерным потенциалом ЭМП. A_i – принадлежит всему пространству.

Обратимся к принципу наименьшего действия. Действие для частицы, находящейся в ЭМП, можно описать как . Где - действие свободной частицы, – взаимодействие частицы и поля

предполагается что - заданная величина.

При наличии поля лучшей траекторией будет не прямая, а кривая. Это обусловлено существованием потенциала

Исходя из этих позиций найдем функцию Лагранжа для частицы во внешнем ЭМП.

Обобщим полученный результат:

Интервал и причинность

Интервалом называется характеристика для двух любых событий, которая определяется так:

Интервал является кривой, не зависящей от системы отсчёта, то есть интервал инвариантная величина. Рассмотрим частные случаи

1) > 0. Это возможно, когда пространственные координаты не вносят существенного вклада в величину интервала. Такой интервал называется времени подобным.

2) < 0 пространственные координаты вносят существенный вклад в величину интервала. Такие интервалы называются пространственно подобными

3) пространственные и временные координаты вносят одинаковый вклад. Такие интервалы называются нулевыми или световыми.

Установим причинно – следственную связь между событиями. Если информация приходит в некоторую точку, то эта точка является следствием, какого-то события. Пусть мы рассматриваем точку 1, и все события рассматриваем относительно неё. Данная фигура - трёхмерный конус в четырёхмерном пространстве. Нижняя часть конуса является областью абсолютного прошлого конуса. Верхняя его часть называется областью абсолютного будущего. Область вне конуса называется абсолютно удалённой. Событие 1 – следствие любого из событий снизу и причина любого из событий сверху.

Для любого события внутри конуса интервал является времениподобным, вне конуса по отношению к 1 – пространственноподобным.

_______________________________________

10. Калибровочная инвариантность. Функция Гамильтона.

Для того, чтобы найти вектор электрического поля, мы должны, исходя из уравнения движения, поместить частицу в поле и измерить силу

Второй шаг – измеряем силу, действующую на неподвижную частицу, вычитаем кулоновскую силу, => определяем вектор .

Это главный и единственный способ определения и . Вернемся к определению полей и через и . Через эти опр-ния не видно прямого способа измерения и .

Если и измеримы, то можно ли восстановить и по этим векторам?

Да, можно восстановить, но неоднозначно.

Мы убедились, что потенциалы определены неоднозначно.

Преобразование потенциалов, не изменяющее векторов поля называется калибровочным преобразованием или градиентным преобразованием.

Принцип калибровочной инвариантности:

Всякое математическое выражение, описывающее измеряемые характеристики электромагнитного поля, не должно меняться при калибровочных преобразованиях потенциалов.

- энергия частицы во внешнем поле. Она состоит из энергии свободной частицы и энергии воздействия поля.

Тензор ЭМП.

Если мы покоимся в системе, то на нее не действуют силы. Если же мы находимся в движущейся системе, то

Необходимо найти инвариантное написание четырехмерной формы для электромагнитного поля.

Получим четырехмерный объект, описывающий четырехмерное поле.

Вернемся к рассмотрению заряженной частицы во внешнем элементарном поле. Повторим вывод в четырехмерной форме.

Если выбранная траектория истина, то действие по очень близкой траектории будет больше. - вариация траектории.

Вариация действия вдоль истиной траектории равна нулю. Раз это справедливо, воспользуемся этим.

Домножим на :

Продифиринцируем это выражение:

Под знаком интеграла останется:

Так как

- функция, которая зависит от координат радиус-вектора.

Подставим данные записи в исходный интеграл, получим:

произведем замену: :

(четырехмерное обобщение уравнения движения частицы в поле)

(характеристическое силовое воздействие поля, тензор эл.маг. поля)

Эл.маг. поле опр-ся так же как и тензор , точнее как его проекция на оси в выбранной системе координат. Для полного определения поля необходимо определить и эл. и маг.поле – это единый объект.

_______________________________________

13. Инварианты электромагнитного поля.

Есть ли у магнитного поля величины, которые являются инвариантами

; - 4тензор 4-го ранга

в этом произведении каждый элемент умножается сам на себя

- скаляр inv (инварианта)

При переходе из одной системы в другую : исходя из инварианта , если для некоторого наблюдателя , то всегда найдется такая система отсчета, где не будет поле Е, а будет только В.