ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.
Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.
z = f(x, y)
Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.
Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.
Определение: Окрестностью точкиМ0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .
Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image004.gif)
также верно и условие .
Записывают: ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image008.gif)
Определение: Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если
(1)
причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.
Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрывафункции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0).
2) Не существует предел .
3) Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и
ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка
N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство
f(x0, y0, …) ³ f(x, y, …)
а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство
f(x01, y01, …) £ f(x, y, …)
тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее значениефункции f(x, y, …) в области D.
Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î [m, M] существует точка
N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = m.
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.
Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство .
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image016.gif)
Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке.
Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных.
Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.
Можно записать
.
Тогда называется частной производнойфункции z = f(x, y) по х.
Обозначение: ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image022.gif)
Аналогично определяется частная производная функции по у.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image024.gif)
Геометрическим смысломчастной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.
Полное приращение и полный дифференциал.
Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f( x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image028.gif)
Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image030.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image032.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image034.gif)
здесь ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image036.gif)
Тогда получаем
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image038.gif)
Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image040.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image042.gif)
Определение. Выражение называется полным приращениемфункции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.
Определение: Полным дифференциаломфункции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image046.gif)
Для функции произвольного числа переменных:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image048.gif)
Пример. Найти полный дифференциал функции .
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image052.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image054.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image056.gif)
Пример. Найти полный дифференциал функции ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image058.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image060.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image062.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image064.gif)
Геометрический смысл полного дифференциала.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
нормаль
N
j N0
касательная плоскость
Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.
Определение. Нормальюк поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:
.
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image069.gif)
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image071.gif)
в точке М(1, 1, 1).
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image073.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image075.gif)
Уравнение касательной плоскости:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image077.gif)
Уравнение нормали:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image079.gif)
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image081.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image083.gif)
Если подставить в эту формулу выражение
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image085.gif)
то получим приближенную формулу:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image087.gif)
Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции при x = 1, y = 2, z = 1.
Из заданного выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = -0,01,
Dz = 1,02 – 1 = 0,02.
Найдем значение функции u(x, y, z) = ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image093.gif)
Находим частные производные:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image095.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image097.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image099.gif)
Полный дифференциал функции u равен:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image101.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image103.gif)
Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
Частные производные высших порядков.
Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.
Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Производные этих функций будут частными производными второго порядка.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image109.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image111.gif)
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.
Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.
Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:
.
Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.
Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image119.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image121.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image123.gif)
…………………
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image125.gif)
Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения.
Экстремум функции нескольких переменных.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image127.gif)
то точка М0 называется точкой максимума.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690815590402.files/image129.gif)
то точка М0 называется точкой минимума.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|