The Differential Calculus

Development of Modern Mathematics

Research in the structural (topological) aspect of the real number system gave rise to one of the most fundamental concepts of modern mathematics — a concept which itself forms one of the characterizing features of modern mathematics, namely, the notion of ‘set’. That the notion was about to come into full flower during the latter part of the XIX century may be seen in the works of Riemann, Dedekind, Weierstrass, and Cantor. Weierstrass gave an example of a function continuous over the real numbers but having no derivative at any point. Both Riemann and Cantor investigated properties of functions defined by Fourier — series expansions which exhibited such curious properties as to be given the epithet ‘pathological’ (although modern set theory and topology have taught us that they are not deserving such a label).

It became clear that the lack of a more penetrating description of the intuitively conceived structure of the real number system was a veritable scandal in mathematics. Only by making a more precise analysis of the structure as a whole — what might be termed a ‘global’ analysis like that exemplified in Dedekind’s theory of ‘cuts’, as opposed to studying the properties of individual numbers — could a better approximation be achieved. And thus, out of sheer necessity, the theory of sets was born. As one looks back it seems amazing that so much was accomplished by the analysts of the XVII—XIX centuries without any firm foundation in a more clearly defined real number system.

The real power of the theory of sets, and the circumstances that gave it ultimately its key position in modern mathematics, may be found in the extension of G. Cantor’s researches into the real number continuum, which carried him on into an investigation of the nature of number.

It is chiefly to elucidate the nature of number that the teacher uses the set concept in modern systems of teaching arithmetic. For by a consideration of sets and operations with them (union, intersection, etc.) one can arrive at a much better intuitive understanding of the nature of the natural numbers and operations with them. Even pioneering logicians such as Russell, who (vainly) tried to establish that Mathematics is only an extension of Logic, seized upon the set concept as the most suitable tool for the definition of the cardinal and ordinal numbers.

Развитие Современной Математики

Исследование структурного (топологического) аспекта реальной системы счисления дало начало одному из самых фундаментальных понятий современной математики - понятие, которое непосредственно, формирует одну из характеризующих особенностей современной математики, а именно, нотации 'множества'. То что эта нотация расцвела на протяжении последней части 19 века можно увидеть в работах Римана, Дидиканта, Виртстрасса и Кантора. Виртрасс дал пример функции, непрерывной в области вещественных чисел, но не имеющей производной в любой точке. Как Риманн, так и Регент исследовали свойства функций, определенных Фурье, - разложения в ряд, которые показали такое интересное свойство, как то, которому был дан эпитет 'патологический (хотя современная теория множеств и топология преподавались нам, так, что они не заслуживают такой этикетки).

Становилось ясным, что отсутствие более детального описания интуитивно задуманной структуры реальной системы счисления является настоящим скандалом в математике. Только создавая более точный анализ структуры как целое - что, возможно, было бы названо, 'глобальный' анализ наподобие тому, чему дается пример в теории 'сечений' Дидиканта, в противоположность изучению свойств отдельных чисел – могла бы быть достигнута лучшая аппроксимация. И поэтому, несмотря на то, что это отклонение от курса, появилась теория наборов. С первого взгляда в прошлое это кажется изумительным, что столько был достигнуто в аналитике на протяжении 17-19 века без каких-либо серьезных исследований в более ясно определенных реальных системах счисления.

Реальная мощь теории множеств, и обстоятельства, которое определили то, что теория множеств занимает одну из основных ключевых позиций в современной математике, находится в дополнении исследований Г. Кантора в области реальном континуума вещественных чисел, что привело его к исследованию природы числа. Это - главным образом проясняет природу чисел, которой пользуется учитель, когда определяет концепцию в современных системах обучения арифметике. Для рассмотрения множеств и действий над ними (объединение, пересечение, и т.д.) может быть достигнуто намного лучшее интуитивное понимание природы натуральных чисел и операций с ними. Даже, пионеры в исследовании логики такие, как Рассл, который (напрасно) пробовал установить, что Математика – это только расширение Логики, разработал концепцию множеств как наиболее подходящее средство для определения размеров множеств и порядковых номеров элементов множества

Задания по теме

1. В следующем тексте определите способ перевода для выделенных единиц, подлежащих переводу, и прокомментируйте условия их перевода.

The Smithsonian Institution brings to life the nation's cultural, social, scientific, and artistic treasures and heritage. It is the largest complex of museums, art galleries, and research facilities in the world. Each year, more than 20 million visitors come to the Smithsonian's 14 museums and galleries — from the National Air and Space Museum to the National Museum of Natural History — and the National Zoological Park. Millions more share in the Smithsonian experience through travelling exhibitions, magazines, as members of the Smithsonian Associates, and by attendance at educational and performance programmes sponsored by the Institution, including the annual Festival of American Folklore. And while the visitors explore the galleries and exhibition halls, behind the scenes, curators, conservators, and researchers are busy caring for and learning from the national collections that the Smithsonian holds in trust for the American people.

1. The Smithsonian Institution brings to life the nation's cultural, social, scientific, and artistic treasures and heritage.

2. research facilities

3. the National Air and Space Museum to the National Museum of Natural History — and the National Zoological Park.

4. share in the Smithsonian experience

5. travelling exhibitions

6. members of the Smithsonian Associates,

7. educational and performance programmes

8. Festival of American Folklore.

9. behind the scenes, curators, conservators, and researchers are busy caring for and learning from

10. holds in trust for the American people.

Делим не единицы перевода и обозначаем возможный способ перевода:

The Smithsonian Institution - Семантический полный перевод - частичная калька, транслитерация

brings to life - Функциональный частичный перевод - замена эквивалентом

the nation's cultural, social, scientific, and artistic treasures and heritage -

Коммуникативно-прагматический полный перевод

research facilities- Коммуникативно-прагматический полный перевод - функциональная замена

the National Air and Space Museum - Семантический полный перевод - калька

to the National Museum of Natural History - Семантический полный перевод - калька

and the National Zoological Park - Семантический полный перевод - калька

share in the — Полный перевод - подбор эквивалента

Smithsonian experience — Семантический полный перевод - дополнение и замена

travelling exhibitions - Коммуникативно-прагматический полный перевод - функциональная замена

members of the - Полный перевод

Smithsonian Associates - Семантический полный перевод - добавление и калька

educational and performance programmes - Коммуникативно-прагматический полный перевод - калька и функциональная замена

Festival of American Folklore - Семантический полный перевод - калька

behind the scenes, curators, conservators, and researchers are busy caring for and learning from - Коммуникативно-прагматический полный перевод

holds in trust -Коммуникативно-прагматический полный перевод - подбор эквивалента

for the American people- Полный перевод - конкретизация
Задания по теме

Number Continuum

An infinite set is defined to be one that can be put into one-to-one correspondence with a part of itself whereas a finite set cannot be. Thus the set of positive integers is infinite because there is a one-to-one correspondence between the whole class and the even numbers which are only a part of that class. Can every infinite collection be put into one-to-one correspondence with the positive integers? By no means. The set of all numbers between 0 and 1, a collection that includes whole numbers, fractions, and irrationals, cannot be put into one-to-one correspondence with the positive integers. Hence the two collections cannot be equal in number. The number of numbers between 0 and 1 is represented by the transfinite number С. Accordingly, any collection of objects in one-to-one correspondence with all the numbers between 0 and 1 must also contain С objects.

An example of a set of С objects is furnished by the points on a line segment. Consider a line and a fixed point 0 on that line. Let us attach to each point on the line the number that expresses the distance of that point from 0, with the added condition that distances to the right of 0 are to be positive and those to the left, negative. There is, then, a one-to-one correspondence between the numbers from 0 to 1 and the points on the line to which the numbers are attached. This implies that the number of these points is C. Stated arithmetically, the set of positive real numbers is in one-to-one correspondence with the real numbers between 0 and 1 and hence the number of positive real numbers is C. The number of points on a line segment and the number of points on an entire half-line are the same despite the fact that one is infinite in length and the other is just one unit long. Actually a line segment could have been two units long or any other finite length and our result would have been the same. Hence the number of points on any line segment is always С. This conclusion, like others, seems to violate our intuition. What right have we, however, to expect more points on the larger of two line segments? What precise knowledge about points and lines supports such an expectation? Euclidean geometry does require that any line segment contain an infinite number of points since any line segment, however small, can be bisected; but this geometry says nothing about the number of points on a segment. Cantor’s theory does, and it informs us that any two line segments, regardless of their lengths, possess the same number of points. This conclusion is not only logically sound but it also permits us to dispose of some perplexing questions about the nature of space, time and motion that had bothered philosophers for over two thousand years.

Термины:

Integers – Целые числа – Лексико-семантическая модуляция

Irrationals – Иррациональные числа – Лексико-семантическая модуляция

Class – класс – Калькирование

Set – множество – Калькирование

Numbers – числа – Калькирование

Fractions – фракталы – Калькирование

Терминологические словосочетания:

Infinite set – бесконечное множество – Калькирование

positive integers – положительные целые числа – Лексико-семантическая модуляция

One-to-one – взаимно – Лексико-семантическая модуляция

Half-line – половина линии – Лексико-семантическая модуляция

Infinite collection – бесконечный массив – Лексико-семантическая модуляция

Transfinite number C – порядковое число С – Лексико-семантическая модуляция

Zeno’s Paradoxes

There are difficulties in Maths concepts of length and time which were first pointed out by the Greek philosopher Zeno, but which can now be resolved by use of Cantor’s theory of infinite classes. We’ve just considered a formulation by Betrand Russell of Zeno’s Achilles and the tortoise paradox.

Part of this argument is sound. We must agree that from the start of the race to the end the tortoise passes through as many points as Achilles does, because at each instant of time during which they run each occupies exactly one position.

Hence, there is a one–to–one correspondence between the infinite set of points run through by the tortoise and the infinite set of points run through by Achilles. The assertion that because he must travel a greater distance to win the race Achilles will have to pass through more points than the tortoise is not correct, however, because as we know the number of points on the line segment Achilles must traverse to win the race is the same as the number of points on the line segment the tortoise traverses. We must notice that the number of points on a line segment has nothing to do with its length. It is Cantor’s theory of infinite classes that solves the problems and saves our math theory of space and time.

For centuriesmathematicians misunderstood the paradox. They though it merely showed its poser Zeno was ignorant that infinite series may have a finite sum. To suppose that Zeno did not recognize it is absurd. The point of the paradox could not be appreciated until Maths passed through the third crisis. Cantor holds that it does make sense to talk of testing infinity of cases. The paradox is not that Achilles doesn’t catch the tortoise, but that he does.

In his fight against the infinite divisibility of space and time Zeno proposed other paradoxes that can be answered satisfactorily only in terms of the modern Maths conceptions of space and time and the theory of infinite classes. Consider an arrow in its flight. At any instant it is in a definite position. At the very next instant, says Zeno, it is in another position. There is no next instant, whereas the argument assumes that there is. Instants follow each other as do numbers of the number system, and just as there is not next larger number after 2 and 2:2, there is no next instant after a given one. Between any two instants an infinite number of others intervene.

Парадоксы Зены.

Есть трудности в математических (замена части речи) концепциях пространства и времени которые были обозначены (замена словосочетания словом) впервые греческим философом Зеной и которые сейчас могут быть разрешены с помощью теории бесконечных классов Кантора. Мы только что рассмотрели формулировку Бертрана Рассела парадокса Зены о Ахилле и черепахе.

Часть этого доказательства озвучена. Мы должны принять что с начала гонки до конца черепаха проходит сквозь столько точек сколько и Ахиллес, потому что каждый кусок времени во время которого они бегут, каждый занимает в точности одну позицию.

Следовательно есть однозначное соответствие между бесконечным числом точек, которые пробежала черепаха и бесконечным числом точек, через которые пошел Ахиллес. Утверждение что потому что он должен пройти большее расстояние чтобы победить в гонке Ахиллес должен сквозь большее количество точек некорректно, как бы то ни было, потому что мы знаем количество точек на отрезке пути. Ахиллес чтобы победить должен пройти такое же количество точек на отрезке пути, как и черепаха. Мы должны отметить, что количество точек на отрезке пути никак не влияет на его длину. Это теория Кантора бесконечных классов которая решает проблемы и спасает наши математические теории пространства и времени.

На протяжении столетий (замена слова словосочетанием) математики не понимали этот парадокс. И хотя это было просто показано в этой проблеме, Зена игнорировал тот факт, что бесконечная серия может иметь конечную сумму. Предполагать (замена части речи), что Зена не понял это – абсурдно (замена части речи). Смысл (Замена словосочетания словом) парадокса не мог быть оценен пока математика не прошла через третий кризис. Кантор утверждает что имеет смысл говорить о тестировании бесконечности случаев. Парадокс не в том что Ахиллес не догонит черепаху, а в том, что догонит.

В своей борьбе с делимостью пространства и времени Зено предложил другие парадоксы которые могут быть разрешены только в терминах современных математических концепции пространства и времени и теории бесконечности классов. Рассматривайте стрелу в его полете. В любой момент она имеет определенную позицию. В совсем другой момент, говорит Зена, она в другой позиции. Нет следующего мгновения, в то время как аргумент предполагает что есть. Моменты следуют один за другим так же как и числа в системе счисления, и так же как нет следующего большего числа после 2 и 2:2 нет следующего моменты после данного. Между любыми двумя моментами бесконечное число других вмешивается.

2. Переведите текст письменно, проанализируйте особенности актуального членения исходного текста и перевода и различия в порядке слов, определите синтаксические трансформации на уровне предложения.

The Differential Calculus

No elementary school child gets a chance of learning the differential calculus, and very few secondary school children do so. Yet I know from my own experience that children of twelve can learn it. As it is a mathematical tool used in most branches of science, this forms a bar between the workers and many kinds of scientific knowledge. I have no intention of teaching the calculus, but it is quite easy to explain what it is about, particularly to skilled workers. For a very large number of skilled workers use it in practice without knowing that they are doing so.

The differential calculus is concerned with rates of change. In practical life we constantly come across pairs of quantities which are related, so that after both have been measured, when we know one, we know the other. Thus if we know the distance along the road from a fixed point we can find the height above sea level from a map with contour. If we know a time of day we can determine the air temperature on any particular day from a record of a thermometer made on that day. In such cases we often want to know the rate of change of one relative to the other.

If x and у are the two quantities then the rate of change of у relative to x is written dy/dx. For example, if x is the distance of a point on a railway from London, measured in feet, and у the height above sea level, dy/dx is the gradient of the railway. If the height increases by 1 foot while the distance x increases by 172 feet, the average value of dy/dx is 1/172. We say that the gradient is 1 to 172. If x is the time measured in hours and fractions of an hour, and v the number of miles gone, then dy/dx is the speed in miles per hour. Of course, the rate of change may be zero, as on level road, and negative when the height is diminishing as the distance x increases. To take two more examples, if x the temperature, and у the length of a metal bar, dy/dx—:—у is the coefficient of expansion, that is to say the proportionate increase in length per degree. And if x is the price of commodity, and у the amount bought per day, then –dy/dx is called the elasticity of demand.

Дифференциальное счисление.

Нет начальных школ, дающих детям знания дифференциального счисления и очень мало средних школ делают это. Насколько я знаю из моего собственного опыта, 12-летние дети могут выучить это. Так как это математический инструмент, используемый в большинстве направлениях науки, это формирует барьер между работниками и многими направлениями научных знаний. Я не имею намерения обучать счислению, но очень легко объяснить, о чем это, особенно квалифицированным работникам. Очень большое количество квалифицированных работников используют это на практике без знания того что они это используют.

Область изменений это самое главное в дифференциальном изменении. В обычной жизни мы постоянно проходим сквозь пары квалификаторов, которые связаны, так что когда мы измерим оба, когда мы знаем один, мы знаем другой. Поэтому если мы знаем расстояние вдоль дороги от фиксированной точки мы можем найти высоту над уровнем морем из контурной карты. Если мы знаем время дня мы можем выяснить температуру воздуха в любой конкретный день из показаний термометра, сделанных в этот день. В таких случаях мы часто хотим знать область изменений , связанных друг с другом.

Если x и y два квалификатора то область изменений у относительно х пишется как dy/dx. К примеру, если х это расстояние точки на железной дороге из Лондона, измеренное в футах, и у высота над уровнем моря, то dy/dx есть градиент железной дороги. Если высота увеличится на один фут, пока расстояние х увеличится на 172 фута, среднее значение dy/dx 1/172. Мы говорим, что градиент составляет 1 к 172. Если х это время измеренное в часах и фракциях часа, и v количество миль пройденных, тогда dy/dx – скорость в милях в час. Конечно, область изменения может быть нулевая, как на уровне дороги и отрицательной когда высота уменьшается, а расстояние увеличивается. Взяв еще два примера, если х температура, а у длина металлической балки dy/dx –, то у коэффициент расширения, это нам говорит, что длина увеличивается пропорционально температуре. Отношение dy/dx называется эластичностью спроса, если х цена продукта, а у количество продаж за день.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: