Третье и четвертое уравнения Максвелла

Третье уравнение Максвелла является обобщением теоремы Гаусса для электростатического поля на случай любого нестационарного электрического поля:

, .

Четвертое уравнение основано на предположении о том, что теорема Гаусса справедлива для произвольного магнитного поля:

ЛЕКЦИЯ 18

Полная система уравнений Максвелла электромагнитного

поля

Основу теории Максвелла составляют четыре уравнения, которые в электродинамике играют такую же роль, как законы Ньютона в механике. Система этих уравнений описывает электромагнитное поле и может быть записана для векторов и ; и , и ; и . Для векторов и уравнения Максвелла имеют вид:

;

Для векторов и : (8)

;

Если электрическое и магнитное поля стационарны, т.е. и , то из уравнений Максвелла следует, что эти поля существуют независимо друг от друга:

;

- это уравнения электростатики;

;

- уравнения магнитостатики.

Систему уравнений Максвелла (8.) необходимо дополнить еще материальными уравнениями, которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды.

Если среда изотопная, несегнетоэлектрическая и неферромагнитная, и макротоки подчиняются закону Ома, то эти уравнения имеют вид:

; ; (9)

На границе раздела сред должны выполняться граничные условия для векторов, характеризующих электромагнитное поле:

; ,

; , ( 10)

где – поверхностная плотность зарядов; – единичный вектор нормали к поверхности раздела сред, проведенный из среды 2 в среду 1;

- единичный вектор, касательный к поверхности раздела сред,

- единичный вектор, касательный к поверхности раздела сред и перпендикулярный к ; – вектор линейной плотности поверхностного тока проводимости, он направлен вдоль поверхности по направлению тока в ней и численно равен , где ток проводимости через малый участок dS сечения поверхности, проведенного перпендикулярно к направлению поверхностного тока.

Главный смысл уравнений ( 8) заключается в том, что они содержат уравнения движения электромагнитного поля. Это означает, что в каждом случае поля и могут быть найдены путем решения уравнений (8).

Каждое решение выделяется с помощью начальных и граничных условий (10). Начальные условия определяют поля в некоторый фиксированный момент времени, который обычно принимается за нулевой. Задание полей в один из моментов времени достаточно для определения постоянных интегрирования уравнений (8), по времени, т.к. в (8) входят только первые производные по времени. Граничные условия выражают свойства, связанные с наличием поверхностей раздела, т.е. таких поверхностей, по разные стороны которых свойства системы различны, а также с ограничениями области существования поля какими-либо поверхностями. Граничные условия задают поля в любой момент времени на поверхностях такого рода. Если область существования поля очень велика, то условия на удаленных внешних границах трансформируются в задание полей в бесконечно удаленных точках, т.е. на бесконечности.

Поскольку электромагнитные взаимодействия осуществляются через электромагнитные поля, то тем самым оказывается, что электрический заряд является константой связи электрически заряженных частиц с электромагнитным полем. Поэтому электромагнитные поля возникают вокруг зарядов и токов, от которых и распространяются в окружающее пространство; электромагнитные поля действуют на заряды и токи.

Состояние электромагнитного поля полностью характеризуется двумя векторными функциями координат и времени. Эти векторные функции и называются электрическим и магнитным полем. Множество значений, которые независимые компоненты векторов и (четыре из шести) принимают во всех точках пространства в данный момент времени, задают состояние электромагнитного поля в этот момент.

Электромагнитное поле отличается от любой системы частиц тем, что оно является физической системой с бесконечно большим числом степеней свободы ( в области существования поля значения независимых компонент и составляют бесчисленное множество величин, т.к. любая область пространства содержит бесконечно большое число точек).

Электромагнитные поля подчинятся принципу суперпозиции: при одновременном действии нескольких источников электромагнитного поля ( имеется несколько заряженных электричеством тел в свободном, т.е. не содержащем вещества, пространстве) образуется поле, равное сумме полей, создаваемых каждым источником:

; .

Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца. Электрические заряды также не зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Формула преобразований Лоренца для векторов и электромагнитного поля при переходе от неподвижной инерциальной системы отсчета к системе , движущейся относительно К прямолинейно и равномерно со скоростью вдоль положительного направления ОХ, имеют вид:

; ; ;

с учетом (9) получаем для векторов и :

; ; ;

; ; .

Здесь - скорость света в вакууме. В среде с и .

Из преобразований Лоренца видно, что одно и то же электромагнитное поле по-разному проявляется в инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Например, если в системе отсчета есть только электрическое поле, ( - орт координатной оси) и , то в системе отсчета будет наблюдаться и электрическое и магнитное поле, векторы и взаимно перпендикулярны:

; ; ;

; ; .

Если же в есть магнитное поле, то в также будут наблюдаться оба поля, у которых :

; ; ;

; ; .

ЛЕКЦИЯ 19.

Уравнения Максвелла – Лоренца

Не все уравнения Максвелла есть уравнения движения поля. Действительно, только из четырех уравнений (8) содержат производные по времени, т.е. определяют, как поле изменяется во времени. В третьем и четвертом уравнениях таких производных нет, т.е. эти уравнения являются только условиями, накладываемыми на и . Эти условия связывают компоненты полей при любых изменениях их во времени. А так как этих условиях два, то из шести компонент полей и только четыре независимы.

Поля и проявляются в действии на электрические заряды. Действие их на точечный заряд определяется силой Лоренца:

, (11)

где q – заряд частицы, – скорость ее движения.

Выражение для силы Лоренца является фундаментальным законом физики

электромагнитных явлений. Он определяет действие электромагнитного поля на заряженные частицы.

Уравнения Максвелла (8.) совместно с уравнениями движения для заряженных частиц под действием силы Лоренца (11) составляют фундаментальную систему уравнений Максвелла-Лоренца. Эта система уравнений в принципе достаточна для описания всех электромагнитных явлений, в которых не проявляются квантовые закономерности (т.е. в классической электродинамике).

Для того, чтобы система уравнений Максвелла-Лоренца имела единственное решение, т.е. давала однозначное предсказание хода рассматриваемого электромагнитного процесса, необходимо задание:

- начального состояния частиц и полей (т.е. координат и скоростей частиц, а также полей и при );

- граничных условий для полей и .

Конкретный вид начальных и граничных условий зависит от свойств уравнений Максвелла. Вот эти свойства:

1) Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей по времени и пространственным координатам и первые степени плотности заряда и тока. Свойство линейности прямо связано с принципом суперпозиции.

2) Уравнения Максвелла содержат закон сохранения электрического заряда. Действительно, продифференцируем третье уравнение (8.) по времени, будем рассматривать процесс в вакууме ( ), имеем: