Рисовые поля и тесты по математике

«СЕМЬЯ ЧЕЛОВЕКА, КОТОРЫЙ КРУГЛЫЙ ГОД ВСТАЕТ ДО ЗАРИ, БЕДСТВОВАТЬ НЕ БУДЕТ»

Если отправиться из Гонконга вглубь страны и добраться до широкой плодородной долины реки Чжуцзян, то можно легко представить, как выглядел юг Китая до того, как превратился в промышленный цех, обслуживающий весь мир. Ни сетей электропередачи, ни дымки смога, ни автострад, забитых тягачами с прицепами. Ни фабрик по производству фотоаппаратов, компьютеров, часов, зонтиков и футболок. Ни тесно прижавшихся друг к другу многоквартирных домов, ни полей с банановыми и манговыми деревьями, сахарным тростником, папайей и ананасами, выращиваемыми на экспорт. Чжуцзян — это Миссисипи Южного Китая, широкая извилистая река, несущая свои воды среди плодороднейших земель. До того как в Китае стала развиваться промышленность, илистые поля, раскинувшиеся по берегам Чжуцзян, были сплошь засеяны рисом.

В верховьях реки расположен город Гуанчжоу, где еще сохранились остатки прошлого. От красоты местных пейзажей захватывает дух. На фоне гор Наньлин возвышаются холмы, усыпанные точками выходящих на поверхность залежей известняка. Тут и там разбросаны домики из сырцового кирпича, в которых живут крестьяне. В маленьких городках на рынках под открытым небом продают цыплят и гусей, усаженных в искусно сплетенные бамбуковые корзины, на земле рядами разложены овощи, огромные куски свинины и связанный в толстые пучки табак. И повсюду на многие километры тянутся рисовые поля. Зимой из голой земли торчат сухие стебли прошлогоднего урожая. Ранней весной дожди приносят влагу, и после посева поля окрашиваются в изумрудно-зеленый цвет, а когда на концах рисовых побегов появляются зерна, превращаются в бескрайнее желтое море.

Рис в Китае выращивают уже много тысяч лет. Все страны Южной Азии — Япония, Корея, Сингапур, Тайвань — заимствовали у Китая способы возделывания риса. Из года в год, с древнейших времен, крестьяне по всей Азии занимаются одной и той же мудреной формой земледелия.

В отличие от пшеничных, рисовые поля не расчищаются, а «возводятся». Недостаточно выкорчевать деревья и кустарник, убрать камни и вспахать поле. Рисовые поля высекаются на горных склонах затейливым каскадом уступов или кропотливо сооружаются на болотах и речных равнинах. Рисовое поле требует орошения, поэтому его должны окружать дамбы. Необходимо выкопать каналы, соединяющие поле с ближайшим водным источником, и соорудить в дамбах заслонку с тем, чтобы поддерживать оптимальный для посевов уровень воды.

Само поле должно иметь толстый слой глиняной основы, иначе вода будет сразу уходить в землю. Но ведь в глину рис не высадишь, значит, на эту основу нужно насыпать толстый мягкий слой ила. Глинистый слой должен быть идеально ровным, в противном случае вода будет стекать к одному краю поля, и часть посева окажется залитой, а остальное засохнет. Рис требует регулярного внесения удобрений — а это само по себе искусство. Крестьяне традиционно использовали для подкормки органические отходы и смесь сожженного компоста, речного ила и конопли. Применять удобрение нужно было в правильно выбранное время и с осторожностью: его избыток вреден так же, как и недостаток.

Когда подходило время посева, китайские крестьяне могли выбирать из сотен разнообразных сортов риса, различающихся по урожайности, скороспелости или устойчивости к засухе. Чтобы не остаться без урожая, крестьяне одновременно высаживали несколько сортов да еще каждый год варьировали сочетания. Зерна проращивали, а через несколько недель молодые ростки высаживали в землю ровными рядами на расстоянии 15 см друг от друга и окружали усердной заботой.

Пропалывать их надо было вручную, ежедневно и старательно, поскольку другие растения легко могли задушить молодые ростки. Иногда каждый росток по отдельности обрабатывался бамбуковым гребнем — так уничтожались насекомые-вредители. При этом крестьянам приходилось регулярно и многократно проверять уровень воды и следить за тем, чтобы она не сильно нагревалась под летним солнцем. А когда рис вызревал, крестьяне созывали всех друзей и родственников и одной слаженной командой собирали урожай как можно скорее, чтобы успеть высадить вторую партию и получить до наступления зимы еще один урожай.

На завтрак в Южном Китае едят конджи — кашу из белого риса с салатом-латуком, побегами бамбука и паштетом из рыбы. На обед тоже конджи. На ужин рис с подливами. Рис продается на рынках, а на вырученные деньги покупается все необходимое. Рис служит мерилом богатства и статуса. Он определяет каждый рабочий момент каждого дня. «Рис — это жизнь, — говорит антрополог Гонкало Сантос, изучающий традиционный уклад деревень Южного Китая. — Без риса обойтись невозможно. Если вы хотите добиться чего-то в этой части страны, вам обязательно нужно выращивать рис. В этом мире рис занимает главное место».

Азиатам хорошо дается математика. Студенты из Китая, Южной Кореи и Японии, а также дети недавних иммигрантов из этих стран успевают по математике намного лучше своих западных сверстников.^[17] В математике азиаты — несомненно первые, и их успех неминуемо влечет за собой вопрос, ответить на который пытались многие исследователи: почему?

Пытаясь вскрыть истоки таланта к математике, обычно обращаются к интеллекту. Мы подсознательно убеждены: сложные подсчеты и высшая математика требуют выдающегося ума. Вот почему способности азиатов к математике вызывают у нас соблазн предположить наличие у них некоего врожденного когнитивного преимущества. Однако это не так.^[18] И, что не менее важно, изначальное предположение также неверно. Талант к математике не связан с одними только когнитивными способностями. Он по большей части обусловлен культурой.

Взгляните, к примеру, на ряд чисел: 4, 8, 5, 3, 9, 7, 6. Назовите их. Отведите глаза и в течение 20 секунд запоминайте эту последовательность, а потом повторите вслух. Если вы говорите по-английски, ваши шансы на правильное запоминание цифр составляют примерно 50 %. Если вы китаец, то, скорее всего, воспроизведете последовательность безошибочно. Почему? Потому что люди хранят цифры в отрезке памяти, не превышающем двух секунд. За эти две секунды мы наиболее легко запоминаем все, что читаем или произносим (вот почему память лучше у тех, кто умеет быстро говорить или читать). Те, для кого китайский является родным, правильно запоминают последовательность цифр 4, 8, 5, 3, 9, 7, 6, потому что этот язык, в отличие от английского, позволяет уложить все семь цифр в две секунды.

Этот пример взят из книги Станисласа Дехэйна «Чувство числа» (Number Sense). Вот что пишет сам автор:

«Китайские слова, обозначающие цифры, очень короткие. Большинство из них можно произнести менее чем за четверть секунды (к примеру, 4 — это „си“, 7 — „ки“). Английские эквиваленты длиннее: „four“ и „seven“ соответственно. На их произнесение требуется около трети секунды. Отмеченная разница в длине слов, очевидно, объясняет различие в свойствах памяти тех, кто говорит по-английски, и тех, кто говорит по-китайски. В таких разнотипных языках, как валлийский, английский, арабский, китайский и иврит, наблюдается повторяемое соотношение между временем, затрачиваемым на произнесение чисел, и объемом памяти носителей данного языка. По данному критерию на первое место выходит кантонский диалект китайского языка, благодаря краткости которого жители Гонконга могут похвастаться уникальной памятью на числа».

Западные и азиатские языки отличаются друг от друга и формами образования слов, обозначающих числа. В английском языке, к примеру, названия чисел довольно беспорядочны. Четырнадцать звучит как «fourteen», 16 — как «sixteen», 17 — как «seventeen», 18 — как «eighteen», 19 — как «nineteen», поэтому можно предположить, что 11 будет звучать как «oneteen», 12 — как «twoteen», а 13 — как «threeteen». Но нет. Для этих чисел существуют иные формы: «eleven» (одиннадцать), «twelve» (двенадцать), <<thirteen>> (тринадцать) и «fifteen» (пятнадцать). Или сравним «forty» (сорок) и «sixty» (шестьдесят) с «fifty» (пятьдесят), «thirty» (тридцать) и «twenty» (двадцать). На слух они воспринимаются как образованные по одному и тому же принципу, но на самом деле это не так. И подумайте еще вот над чем. При формировании чисел больше двадцати мы на первое место ставим десятки, а на второе единицы: «twenty опе» (двадцать один), «twenty two» (двадцать два). Но числа от одиннадцати до девятнадцати образуются иначе. Сначала идут «единицы», а уж потом «десятки»: «fourteen», «seventeen», «eighteen». Разве это не странно? В китайском, японском и корейском языках все совсем не так. Их система счета отличается логичностью. Одиннадцать — это десять-один, двенадцать — десять-два, двадцать четыре — два десятка четыре и т. д.

Это различие дает азиатским детям два преимущества. Во-первых, они гораздо быстрее обучаются считать. Четырехлетний китайский ребенок в состоянии считать до 40. Американские дети в этом возрасте умеют считать до 15, а счетом до 40 овладевают только годам к пяти. Другими словами, в этом базовом математическом навыке американские дети уже на год отстают от своих азиатских сверстников.

Во-вторых, азиатским детям гораздо легче выполнять основные арифметические действия, например складывать. Попросите английского семилетнего ребенка сложить в уме тридцать семь и двадцать два. Сперва ему придется перевести слова в числа (37 + 22) и только потом произвести сложение: 2 плюс 7 равняется девять, 30 плюс 20 равняется 50, в сумме выходит 59. Попросите азиатского ребенка сложить три десятка семь и два десятка два, и в голове у него сразу возникнет готовое решение, заключенное в самих словах: пять десятков девять.

«Азиатская система счета прозрачна, — говорит Карен Фьюзон, психолог Северо-Западного университета, занимающаяся изучением различий между Азией и Западом. — Думаю, это обусловливает совершенно иной подход к изучению математики. Бездумная зубрежка заменяется системой, логика которой поддается постижению. Я понимаю, что могу справиться. Я понимаю, что эта система разумна. Оперируя дробями, мы говорим три пятых. Китайцы говорят буквально: „из пяти частей отнимите три“. На понятийном уровне эта языковая форма сразу разъясняет вам, что такое дробь и каковы взаимоотношения между числителем и знаменателем».

По мысли Фьюзон, эти различия, хоть и кажутся нам, взрослым, незначительными, очень существенны для шести-, семи- и восьмилетних детей, постигающих азы математики. У западных школьников нарастающая неприязнь к математике впервые проявляется в третьем или четвертом классе, и можно предположить, что, по крайней мере отчасти, она объясняется отсутствием в математике логики, смысла. Ее лингвистическая структура слишком громоздка, а основные правила отличаются произвольностью и запутанностью.

Азиатские дети избавлены от подобных трудностей. Они удерживают в голове больше чисел, быстрее производят арифметические расчеты, а словесные формы, которыми в их языке представлены дроби, соответствуют внутренней сути дробей. Возможно, это побуждает их больше любить математику; возможно, чуть большая любовь к математике побуждает их чуть старательнее заниматься, посещать больше занятий и с большей охотой выполнять домашние задания и т. д. и т. п. Получается замкнутый круг. В отношении математики у них имеется готовое преимущество, никак не связанное с интеллектом отдельно взятого азиатского ребенка. Просто их язык идеально приспособлен к определенным типам интеллектуальных задач. Это культурное наследие.

Глубоко укоренившаяся культурная традиция мешает корейцам справляться с управлением самолета. Но мы только что познакомились с иной разновидностью культурного наследия, доставшегося от древних времен, которая прекрасно соответствует требованиям XXI в. Культурное наследие имеет большое значение, в связи с чем встает вопрос: существуют ли какие-либо иные аспекты этого наследия, связанные с математическим талантом? В этой главе я хочу обратить ваше внимание на рисовые поля. Что, если на математических способностях сказывается принадлежность к культуре, сформированной под влиянием тонкостей выращивания риса?

Когда смотришь на рисовое поле — только нужно стоять в самом центре — наибольшее впечатление производит его размер. Оно крошечное. Размер рисового поля составляет, как правило, один му, что равняется одной пятнадцатой гектара. Это размер гостиничного номера. Типичная азиатская рисовая плантация не превышает в размере двух-трех му. Китайская деревня, насчитывающая 1500 жителей, может обеспечивать себя всем необходимым, имея 180 га земли. Это размер обычной семейной фермы на американском Среднем Западе. При таких масштабах, когда семья из пяти-шести человек ведет хозяйство на территории с два гостиничных номера, подход к земледелию в корне меняется.

Западная агрокультура тяготеет к автоматизации. Если западный фермер желает повысить эффективность своего труда или увеличить урожай, он внедряет все больше и больше сложного оборудования, заменяя ручной труд механическим. Молотилка, сноповязалка, зерноуборочный комбайн, трактор. Он расчищает еще одно поле и увеличивает посевную площадь, поскольку теперь в состоянии обрабатывать больше земли, затрачивая прежние усилия. Но в Японии или Китае крестьяне не могли позволить себе покупку техники; к тому же нехватка земли не позволяла разбивать новые поля. Поэтому крестьянам, выращивавшим рис, приходилось повышать урожайность за счет рационального распределения времени и грамотных решений. Как говорит антрополог Франческа Брей, рисовая агрокультура «основана на мастерстве»: если вы готовы чуть тщательнее полоть, учиться правильно удобрять почву, чаще проверять уровень воды, старательнее выравнивать глинистый слой и максимально использовать каждый квадратный сантиметр своего му, то пожнете более богатый урожай. Поэтому нет ничего удивительного в том, что людям, которые выращивали рис, всегда приходилось работать усерднее тех, кто занимался другими видами сельского хозяйства.

Последнее утверждение может показаться странным, ведь считается, что в древности все были вынуждены трудиться в поте лица. Но это не так. Нашими предками, к примеру, были охотники и собиратели, а многие из них, по общему мнению, вели весьма приятную жизнь. Бушмены канг, населяющие пустыню Калахари в Ботсване, — одни из последних людей на Земле, кто ведет подобный образ жизни, — питаются преимущественно орехами монгонго, которые богаты белком, а также фруктами, ягодами и корнями. Они ничего не выращивают и не разводят животных. Время от времени мужчины канг выходят на охоту, но делают это по большей части из спортивного интереса. Мужчины и женщины канг работают не больше 12–19 часов в неделю, все остальное время отдавая танцам, развлечениям и визитам к друзьям и родственникам. В общей сложности на работу у них уходит около тысячи часов в год. (Когда одного бушмена спросили, почему его племя не занимается сельским хозяйством, тот удивленно ответил: «А зачем нам что-то выращивать, когда в мире полным-полно орехов монгонго?»)

Давайте для сравнения рассмотрим жизнь европейского крестьянина XVIII в. В те времена мужчины и женщины работали от рассвета до полудня, двести дней в году, что в сумме составляет 1200 рабочих часов. В период сбора урожая или весеннего посева рабочий день был длиннее. Зимой он существенно сокращался. В своей книге «Открытие Франции» (The Discovery of France) историк Грэм Робб пишет, что жизнь французских крестьян даже в XIX в. представляла собой длительные периоды праздности, прерывавшиеся короткими периодами работы.

«Девяносто девять процентов активной деятельности, описанной в этой и прочих книгах,^[19] — пишет он, — приходилось на период с конца весны и до начала осени». В Пиренеях и Альпах с первым ноябрьским снегом целые деревни буквально впадали в спячку, оживая лишь к марту или апрелю. В районах Франции с более мягким климатом, где редко случаются заморозки, наблюдалась та же тенденция. Далее Робб пишет:

«Поля Фландрии большую часть года пустовали. В одном официальном отчете по департаменту Ньевр от 1844 г. сообщалось о странном поведении поденщиков после сбора урожая и сжигания виноградных лоз. Починив все необходимые инструменты, эти энергичные люди днями напролет валялись в постели, тесно прижавшись друг к другу ради сохранения тепла, и поглощали очень мало пищи. Они ослабляли себя намеренно. Эта зимняя спячка обусловливалась экономической и физической необходимостью. Замедление метаболизма помогало экономить тающие запасы продовольствия и притуплять чувство голода… Люди бездельничали даже летом… После революции чиновники жаловались, что виноделы и независимые фермеры Эльзаса и Па-де-Кале „погрязли в бессмысленной праздности“ вместо того, чтобы в зимний сезон посвятить себя „мирным и малоподвижным занятиям“».

Но если бы вы были крестьянином с юга Китая, вам не удалось бы проспать всю зиму. Короткая пауза, приходящаяся на сухой сезон — с ноября по февраль, — была бы заполнена множеством дел. Надо было бы наплести бамбуковых корзин или шляп и продать их на рынке. Починить дамбы на рисовом поле, подремонтировать дом. Отправить сына на работу к родственнику в ближайшую деревню. Приготовить соевый сыр тофу, наловить змей (деликатесное угощение!), насобирать насекомых. А с наступлением весны вы бы вновь с рассветом выходили в поле. В сравнении с кукурузой или пшеницей выращивание риса требует в 20 раз больше усилий! По некоторым оценкам, азиатский крестьянин, возделывавший рис, трудился около 3000 часов в год.

Задумайтесь на минуту, какую жизнь он вел. Три тысячи часов работы — это колоссальная нагрузка, учитывая, что большую часть времени ему приходилось стоять, согнувшись, под палящим солнцем и пропалывать рисовое поле.

Утешением для него служила лишь природа этой работы. Во-первых, в выращивании риса есть прямая взаимосвязь между вложенными усилиями и получаемым вознаграждением. Чем усерднее вы работаете на поле, тем богаче будет урожай. Во-вторых, это сложный процесс. Крестьянин не просто бездумно высеивал зерна весной и собирал урожай осенью. Фактически он был мелким предпринимателем, координирующим работу семейного подряда, преодолевающим сомнения при отборе семян, возводящим сложную систему ирригации и следящим за ее функционированием, управляющимся со сбором первого урожая и одновременно подготавливающим к посеву второй.

Но самое главное, эта работа позволяла китайским крестьянам быть независимыми. Европейские крестьяне, как правило, трудились как рабы на полях землевладельцев-аристократов, не будучи властными над своей судьбой. Но в Китае и Японии, странах с рисовой экономикой, деспотические феодальные системы не прижились. Выращивание риса требует слишком много знаний и мастерства, чтобы в стране могла укорениться система, силой принуждающая крестьян каждое утро выходить в поле. К XIV–XV вв. в Центральном и Южном Китае сложилась ситуация, когда землевладельцы лишь собирали фиксированную арендную плату с крестьян и оставляли за ними право вести дела на свое усмотрение.

«Процесс выращивания риса требует не только феноменального трудолюбия, но и большой тщательности, — рассказывает историк Кеннет Померанц. — Крайне важно идеально выровнять поле перед поливом. Малейшие расхождения в уровне воды могут отрицательно сказаться на урожайности. Вода должна находиться на поле определенное количество времени. Есть большая разница между высаживанием семян на равном расстоянии друг от друга и их беспорядочным разбрасыванием. Вы не можете просто кинуть зерно в землю в середине марта и рассчитывать на то, что в конце месяца пройдет дождь. Вам нужно держать под контролем абсолютно все. А когда вы вкладываете столько труда, господин должен установить систему, при которой работник имел бы личную заинтересованность в высоком урожае: чем больше урожай, тем больше доля крестьянина. Вот поэтому устанавливается фиксированная плата: землевладелец получает, скажем, двадцать бушелей вне зависимости от объема урожая, а если урожай богатый, вы получаете все излишки. Для возделывания этой культуры не годится рабский или наемный труд. Слишком велика вероятность того, что ворота, контролирующие уровень воды, останутся открытыми на несколько секунд дольше положенного — и тогда урожая можно не дождаться».

Вам ничего не напоминает описание жизни китайских фермеров? Очень похоже на жизнь еврейских иммигрантов вроде Луиса и Реджины Боргенихтов, только-только перебравшихся в Нью-Йорк. Они трудились не покладая рук и не разгибая спины. Но их труд был содержательным. Независимость, сложность и прямая связь между вложенными усилиями и результатами труда, отличавшие швейную промышленность, помогли еврейским иммигрантам настраиваться на восхождение по экономической и профессиональной лестнице. Выращивание риса служило той же цели.

Историк Дэвид Аркуш провел сравнение китайских и русских пословиц, и разница между ними производит поразительное впечатление. «Бог не даст — и земля не родит» — вот типичная русская пословица. Она отражает фатализм и пессимизм, характерные для репрессивной феодальной системы, при которой крестьяне не верили в эффективность собственного труда. С другой стороны, пишет Аркуш, китайские пословицы поражают верой в то, что «упорный труд, грамотное планирование и уверенность в собственных силах или взаимодействие с небольшой группой со временем принесут награду».

Вот что говорили друг другу бедные крестьяне, 3000 часов в году вкалывавшие под палящим солнцем на заболоченных рисовых полях (которые, кстати сказать, кишат пиявками):

— «Без крови и пота нет пищи»;

— «Зимой ленивый человек замерзнет до смерти»;

— «Крестьяне трудятся, все время трудятся; а если они не будут трудиться, откуда возьмется зерно, когда наступит зима?»;

— «Не ждите пищу с небес; надейтесь на свои две руки, несущие тяжесть»;

— «Бесполезно просить об урожае, он зависит от тяжкого труда и от удобрения»;

— «Если человек упорно трудится, земля тоже не будет лениться».

И наконец, самая выразительная из всех:

«Семья человека, который круглый год встает до зари, бедствовать не будет».

Встает до зари? Круглый год? Для племени канг, неторопливо собирающего орехи монгонго, и для французских крестьян, впадавших в зимнюю спячку, и для любой другой культуры, не знакомой с выращиванием риса, подобное просто немыслимо.

И это не отвлеченное суждение об азиатской культуре. В любом колледже вам подтвердят, что азиатские студенты всегда уходят из библиотеки позже всех. Некоторые азиаты обижаются, когда об их культуре рассуждают подобным образом, и это понятно, ведь им кажется, что этот стереотип отдает некоторым пренебрежением. Однако вера в труд — это красиво. И каждая история успеха, описанная в этой книге, рассказывает о восхождении человека или группы людей, работавших усерднее своих сверстников. Билла Гейтса в детстве нельзя было оторвать от монитора. Как и Билла Джоя. В Гамбурге группа «Битлз» выступала в общей сложности несколько тысяч часов. Джо Флом годами шлифовал свое мастерство, проводя слияния компаний, прежде чем на его долю выпал шанс. Успешные люди трудятся не покладая рук, поэтому культура, сформировавшаяся на рисовых нолях, гениальна тем, что помогала узреть смысл в тяготах и бедности всем, кто работал на земле. Этот урок сослужил азиатам хорошую службу во многих областях, но ни в одной не пригодился так, как в математике.

Несколько лет назад Алан Шонфельд, профессор математики из Калифорнийского университета в Беркли, записал на видео, как женщина но имени Рене пытается решить математическую задачу. Ей лет двадцать пять. У нее длинные черные волосы, она носит круглые очки в серебристой оправе. На видео Рене работает с программой по обучению алгебре. На экране видны две оси: хи у. Программа просит ввести нужные координаты, а затем проводит по заданным координатам линию. Таким образом, если вы введете 5 на оси х и 5 на оси у, то получите следующее:

Подозреваю, где-то в глубине вашей памяти забрезжили смутные воспоминания об уроках алгебры в средней школе. Но будьте уверены, нет нужды вспоминать школьную программу, чтобы оценить важность примера на видео. Читая запись монолога Рене, думайте не о том, что, а о том, почему и как она говорит.

Компьютерная программа, разработанная Шонфельдом, позволяет студентам учиться рассчитывать угловой коэффициент. Угловой коэффициент — как, я уверен, вы помните (или, точнее сказать, уверен, вы не помните, во всяком случае, я не помнил) — есть отношение противолежащего катета к прилежащему. Угловой коэффициент равен 1, поскольку интервал изменения абсциссы равен 5 и интервал изменения ординаты также равен 5.

Итак, Реве сидит за клавиатурой и пытается сообразить, какие числа нужно ввести, чтобы программа нарисовала абсолютно вертикальную линию, совпадающую с осью у. Те, кто еще помнит уроки математики, понимают, что это в принципе невозможно. У вертикальной линии «неопределенный» угловой коэффициент. Ее интервал изменения ординаты бесконечен: любое число на оси у, начиная с нуля и до бесконечности. А интервал изменения абсциссы на оси х равняется нулю. Бесконечность, поделенная на нуль, не является числом.

Но Рене и не догадывается, что она пытается решить задачу, у которой нет решения. По выражению Шонфельда, девушка пребывает в блаженном заблуждении. Профессору особенно нравится показывать эту запись, поскольку она наглядно демонстрирует, как Рене постепенно выходит из этого заблуждения.

Рене — медсестра. Она никогда прежде не интересовалась математикой и на работе ни имела с ней дела. Но случайно получив доступ к этой программе, уже не может от нее оторваться.

— Я хочу провести прямую линию, параллельную оси у, — начинает девушка. Шонфельд сидит рядом с ней. Рене взволнованно смотрит на него. — Я уже пять лет всем этим не занималась.

Она принимается экспериментировать, вводя различные числа.

— Если я изменю угловой коэффициент вот так… минус один… Мне нужно сделать эту линию прямой.

Линия на экране монитора меняется в зависимости от вводимых чисел.

— Ой, так не получается. У Рене удивленный вид.

— Что ты хочешь сделать? — спрашивает ее Шонфельд.

— Я хочу провести линию, параллельную оси у. Что мне для этого нужно? Кажется, мне нужно что-то изменить вот здесь (она показывает на рамку, куда вводится число для оси у). Вот что я поняла: если ты ставить вместо единицы двойку, то график резко меняется. Так, если мне нужно подняться выше, нужно менять дальше.

Это и есть «блаженное заблуждение» Рене. Она установила, что чем выше координата на оси у, тем больше поднимается линия. Из чего она делает вывод: вертикальную линию можно нарисовать, введя достаточно большую координату на этой оси.

— Думаю, двенадцати или тринадцати будет достаточно. А может быть, даже пятнадцати.

Она хмурится, пытаясь вместе с Шонфельдом разобраться, что к чему. Задает ему вопросы. Он осторожно подталкивает ее в нужном направлении. Она предпринимает одну попытку за другой, пробует один вариант за другим.

В какой-то момент она вводит 20. Линия немного поднимается.

Она вводит 40. Линия поднимается еще выше.

— Тут есть очевидное соотношение. Но никак не могу сообразить, что к чему… А если я введу восемьдесят? Если при сорока линия поднялась наполовину, тогда при восьмидесяти она должна подняться точно до оси у. Посмотрим, что у нас выйдет.

Она вводит 80. Линия поднимается еще выше, но все еще не вертикальна.

— А-а-а, это бесконечность, да? Линия никогда не будет совпадать с осью.

Рене близко подошла к решению. Но затем вновь возвращается к изначальному заблуждению:

— Так что же мне нужно сделать? Ввести сто? Каждый раз, когда число удваивается, линия приближается к оси наполовину. Но так и не доходит до нее. — Она вводит 100. — Уже ближе. Но все равно не совпадает.

Рене начинает думать вслух. Очевидно, ответ вот-вот будет найден.

— Ага, я так и знала… но… я знала. Больше число, выше линия. Только никак не могу понять, почему…

Она умолкает, глядя на экран монитора.

— Совсем запуталась. Одна десятая расстояния до единицы. Но я не хочу, чтобы…

И тут ее осеняет.

— Ага! Любое число, поделенное на нуль! — Ее лицо светится от радости. — Вертикальная линия есть любое число, поделенное на нуль, а это неопределенное число. О-о-о! Ладно. Теперь все ясно. Угловой коэффициент вертикальной линии нельзя определить. А-а-а! Теперь в этом есть смысл. Никогда этого не забуду!

За годы своей работы Шонфельд записал на видео многих студентов, пытающихся решить те или иные математические задачи. Но запись с Рене — одна из его любимых, поскольку она идеально иллюстрирует то, что он считает ключом к изучению математики. От начала эксперимента до фразы «А-а-а, теперь в этом есть смысл» прошло двадцать две минуты. Это много. «Это задача для восьмого класса, — говорит Шонфельд. — Но если я посажу на место Рене обычного восьмиклассника, уверен, после нескольких попыток он скажет: „Я не понимаю“, „Объясните мне“».

Однажды Шонфельд спросил у учеников средней школы, как быстро они сдаются, решая какую-либо задачу, если она не выходит с первого раза. Ответы варьировались от тридцати секунд до пяти минут, средняя продолжительность попыток равнялась двум минутам.

Однако Рене не отступалась. Она экспериментировала, снова и снова перебирая разные варианты. Размышляла вслух. Не бросала дело на полпути. Не сдавалась. На каком-то подсознательном уровне она чувствовала, что с ее «теорией» рисования вертикальной линии не все гладко, и не останавливалась до тех пор, пока не уверилась в своей правоте.

Рене не имела врожденных способностей к математике. Абстрактные понятия вроде «угловой коэффициент» и «неопределенный» давались ей с трудом. Именно поэтому Шонфельд считает ее пример наиболее впечатляющим.

«Ею движет желание разобраться, — говорит он. — Она не из тех, кто довольствуется поверхностным „да, вы правы“ и успокаивается. И это очень необычно. — Он отматывает кассету назад и показывает на Рене, с искренним удивлением вглядывающуюся в экран монитора. — Смотрите, как она внимательно изучает график. Многие студенты ограничились бы беглым просмотром. Она же размышляет: „Это не согласуется с моими представлениями. Я не понимаю. Это важно. Я хочу вникнуть“. И когда она наконец находит объяснение, то говорит: „Да, теперь все сходится“».

В Беркли Шонфельд ведет курс по решению задач, в ходе которого он, по его собственному утверждению, старается отучить студентов от математических привычек, усвоенных в школе. «Я выбираю задачу, ответ на которую мне неизвестен, — поясняет он, — и предупреждаю студентов: через две недели вам предстоит показать решение. Ваши привычки мне хорошо знакомы. Первую неделю вы будете валять дурака и приметесь за работу только на второй неделе. Так что хочу вас предупредить. За одну неделю с заданием вам не справиться. Начав с середины отведенного срока, вы не успеете, придете ко мне и скажете: „Это невозможно“. Советую начинать работать сразу же, и к началу второй недели вы увидите, что значительно продвинулись вперед».

Зачастую мы считаем математический талант врожденной способностью. Он либо есть, либо нет. Но для Шонфельда этот талант связан не столько со способностями, сколько с отношением. Математику осваивает тот, кто не боится пробовать. Этому Шонфельд И пытается научить своих студентов. Успех складывается из настойчивости, упорства и готовности на протяжении 22 минут разбираться с задачей, которую большинство людей бросили бы после 30 секунд. Посадите в классе целую группу из одних Рене, дайте им возможность и время самостоятельно изучать математику — и результаты будут ошеломляющими. А представьте страну, где упорство, свойственное Рене, является не исключением, а культурной характеристикой, укоренившейся так же глубоко, как культура чести на плато Камберленд. Жители этой страны наверняка проявляют способности к математике.

Каждые четыре года международная группа работников образования проводит всесторонние тесты по математике и естественным наукам, в которых принимают участие ученики начальных и средних школ по всему миру. Эти тесты называются TIMMS (Тенденции в международном математическом и естественно-научном образовании), их цель — сравнить академические достижения разных стран.

При сдаче тестов TIMMS ученикам предлагается заполнить анкету, содержащую самые разнообразные вопросы: об их отношении к математике, об уровне образования их родителей, о друзьях и т. д. Эта анкета, включающая 120 пунктов, настолько скучна и подробна, что очень часто 10–20 вопросов остаются без ответа.

Но вот что интересно. Как выясняется, количество ответов в анкетах TIMMS варьируется в зависимости от страны. По большому счету все страны-участницы можно проранжировать по количеству ответов учеников. Если же сравнить результаты тестирования и ранжирования по анкетам, то они почти полностью совпадают. Другими словами, те студенты, которые могут сохранять концентрацию в течение длительного времени и терпеливо отвечать на вопросы нескончаемой анкеты, лучше остальных справляются с решением математических задач.

Этот факт был установлен исследователем из Пенсильванского университета Эрлингом Боу, но сам он признается, что обнаружил это совпадение по чистой случайности. «На меня снизошло какое-то озарение», — говорит он. Из-за необычности этого исследования Боу даже не удалось опубликовать его ни в одном научном журнале. Не забывайте, он не говорит о том, что способность заполнить всю анкету и способность к математике каким-то образом связаны. Он говорит о том, что они совпадают: если сравнить два списка, они оказываются идентичными.

Взгляните на это с другой стороны. Представим, что в некоем городе ежегодно проводятся математические Олимпийские игры, на которые каждая страна посылает команду из тысячи восьмиклассников. По утверждению Боу, мы можем предсказать, какое место займет каждая из стран, не задавая ни единого вопроса по математике. Нужно лишь дать участникам задание, показывающее, насколько усердно они умеют работать. По большому счету можно даже обойтись и без такого задания. Чтобы определить, какие страны покажут лучшие результаты по математике, достаточно определить, в каких культурах приоритет отдается стараниям и усердному труду. Теория Шонфельда об истоках успеха в математике верна не только на уровне индивидов, но и на уровне стран.

Так какие же страны наиболее сильны в математике? Опять-таки, думаю, вы понимаете, к чему я клоню. В 2003 г. в пятерку лидеров по тестам TIMMS среди восьмиклассников входили Сингапур, Корея, Гонконг, Китай (Тайбэй) и Япония. В 1999 г. в пятерку лидеров по тестам для восьмиклассников входили Сингапур, Корея, Гонконг, Китай (Тайбэй) и Япония, а в 1995 г. — Сингапур, Корея, Япония, Гонконг и Бельгия. Сингапур, Корею, Гонконг, Китай и Японию объединяет, вне всяких сомнений, культура, сформированная под влиянием выращивания риса и содержательного труда.^[20]

В этих странах нищие крестьяне на протяжении сотен лет работали по 3000 часов в год на рисовых полях, подбадривая друг друга словами: «Семья человека, который круглый год встает до зари, бедствовать не будет».

ГЛАВА 9

Сделка Мариты

«ТЕПЕРЬ Я ДРУЖУ ТОЛЬКО С РЕБЯТАМИ ИЗ КIРР»

В середине 1990-х гг. в Нью-Йорке на четвертом этаже средней школы имени Луи Герига открылась экспериментальная бесплатная школа под названием «академия КIРР». Школа Луи Герига находится в Южном Бронксе. Это один из беднейших районов города. Приземистое серое здание, построенное в 1960-х гг., стоит на улице, застроенной унылыми многоэтажками. Через несколько кварталов отсюда, на другом конце центрального в Бронксе проспекта Гранд-Конкурс, находится стадион «Янки».

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: