Сделай Сам Свою Работу на 5

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые, лежащие в одной плоскости образуют четыре неразвёрнутых угла     острый угол α называется углом между пересекающимися прямыми a и b На экране изображение с постепенным появлением отметок углов и обозначением На фоне рисунка появляется надпись a^b=α, где 0° <α≤90°  
Рассмотри известную нам фигуру параллелепипед     Все его грани являются прямоугольниками, что доказывает что угол между прямыми АА1 и АВ равен 90 градусов. Такие прямые в пространстве называются перпендикулярными или взаимно перпендикулярными. На экране изображение На экране выделяются прямые АА1 и АВ   На экране определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними 90°.
Таким образом, на данном рисунке DD1 и D1C1 взаимно перпендикулярные прямые.     Перпендикулярность прямых DD1 и D1C1 обозначается так. На экране изображение На экране изображение DD1 D1C1  
Рассмотрим модель куба. Известно, что его грани это квадраты, следовательно, прямые AA1 , АD перпендикулярные прямые.   Справедливы и другие утверждения: Прямая DD1 перпендикулярна прямой АD. Прямая АА1 параллельна прямой DD1.     Совсем не случайно каждая из двух параллельных прямых оказалась перпендикулярна прямой АD. На экране изображение (желательно анимировать проговариваемые прямые одновременно):
AA1⊥АD

 

На экране обновляется изображение с анимацией.

DD1⊥АD AA1 ∥ DD1

 

Данная конфигурация рисунка соответствуют известной в геометрии лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Докажем её.   Рассмотрим параллельные прямые а и b перпендикулярные прямые а и c.   Докажем, что прямая b перпендикулярна прямой с.     Для доказательства через произвольную точку пространства проведем прямые МА и МС, такие, что прямая МА параллельна прямой а и прямая МС параллельна прямой с.     Так как прямые а и с перпендикулярны, то угол АМС равен 90 градусов.   Так как прямая b параллельна прямой а по условию, а прямая а параллельна прямой МА по построению, следовательно, прямая b параллельна прямой МА.     Итак, прямая b параллельна прямой МА, а прямая с параллельна прямой МС. Прямые МА и МС взаимно перпендикулярные прямые, следовательно, прямая b перпендикулярна прямой с. Лемма доказана.       На экране текст: Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.   На экране изображение и текст:
Дано: аb, ac .

На экране соответствующие тексту автора изменения



Дано: аb, ac . Доказать: bc

 

На экране последовательные изменения соответственно тексту :

 

Доказательство: 1) Проведём точку М, М a, М b. 2) Проведём МА, МА ∥ a . 3) Проведём МС, МС ∥ b .

На экране соответствующие изменения изображения и текста

4) т.к. ac, то ∠ АМС=90°.  

 

На экране соответствующие изменения изображения и текста

5)  

 

 

На экране соответствующие изменения изображения и текста

6)  

 

Доказанная лемма упрощает решение задач и доказательство теорем. Рассмотрим один из примеров.  
В тетраэдре МАВС ребра МА и ВС перпендикулярны, Р - точка ребра АВ, причём АР относится к АВ как 2 к 3. Q-точка ребра АС, причём АQ относиться к QC, как 2 к 1.   Доказать, что прямая АМ перпендикулярна прямой PQ.     Для доказательства рассмотрим два треугольника APQ и АВС с общим углом А. Так как Точка Q делит сторону АC в отношении 2 к 1, то сторона АQ треугольника АРQ составляет стороны АС треугольника АВС. Таким образом в треугольниках АРQ и АВС сторона АР относиться стороне АВ как 2 к 3, сторона АQ относиться к стороне АС как 2 к 3 и угол А у них общий, значит треугольник APQ подобен треугольнику АВС .   Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов APQ и АВС, АQР и АСВ, это доказывает параллельность прямых РQ и ВС.   Итак прямая АМ перпендикулярна прямой ВС, а прямая PQ параллельна прямой ВС, тогда согласно доказанной лемме АМ перпендикулярна прямой PQ. На экране изображение и текст
Дано: МАВС-тетраэдр, АМ Р∈АВ, Q∈АС, АР:АВ=2:3, АQ:QC=2:1

На экране изменяется изображение и текст с выделением прямых

Дано: МАВС-тетраэдр, Р∈АВ, Q∈АС, АР:РВ=2:3, АQ:QC=2:3   Доказать: АМ PQ

На экране обновляется рисунок и текст под слова автора.

Доказательство: 1) так как АQ:QС=2:1, то АQ:АС=2:3 2)

 

    3) так как , то ∠ АРQ = ∠ А ВС, ∠ АQР = ∠ АСВ, значит по признаку параллельных прямых РQ ∥ВС.

 

    4)  

 

 

Комментарий: сценарий написан очень хорошо подробно разобрано задание, профессионально разобраны этапы доказательства леммы и задачи.



©2015- 2019 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.