Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые, лежащие в одной плоскости образуют четыре неразвёрнутых угла острый угол α называется углом между пересекающимися прямыми a и b

На экране изображение с постепенным появлением отметок углов и обозначением

На фоне рисунка появляется надпись a^b=α, где 0° <α≤90°

Рассмотри известную нам фигуру параллелепипед Все его грани являются прямоугольниками, что доказывает что угол между прямыми АА₁и АВ равен 90 градусов. Такие прямые в пространстве называются перпендикулярными или взаимно перпендикулярными.

На экране изображение

На экране выделяются прямые АА₁ и АВ На экране определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними 90°.

Таким образом, на данном рисунке DD₁ и D₁C₁ взаимно перпендикулярные прямые. Перпендикулярность прямых DD₁ и D₁C₁обозначается так.

На экране изображение

На экране изображение DD₁

D₁C₁

Рассмотрим модель куба. Известно, что его грани это квадраты, следовательно, прямые AA₁ , АD перпендикулярные прямые. Справедливы и другие утверждения: Прямая DD₁перпендикулярна прямой АD. Прямая АА₁параллельна прямой DD₁. Совсем не случайно каждая из двух параллельных прямых оказалась перпендикулярна прямой АD.

На экране изображение (желательно анимировать проговариваемые прямые одновременно):

AA₁⊥АD

На экране обновляется изображение с анимацией.

DD₁⊥АD AA₁ ∥ DD₁

Данная конфигурация рисунка соответствуют известной в геометрии лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Докажем её. Рассмотрим параллельные прямые а и b перпендикулярные прямые а и c. Докажем, что прямая b перпендикулярна прямой с. Для доказательства через произвольную точку пространства проведем прямые МА и МС, такие, что прямая МА параллельна прямой а и прямая МС параллельна прямой с. Так как прямые а и с перпендикулярны, то угол АМС равен 90 градусов. Так как прямая b параллельна прямой а по условию, а прямая а параллельна прямой МА по построению, следовательно, прямая b параллельна прямой МА. Итак, прямая b параллельна прямой МА, а прямая с параллельна прямой МС. Прямые МА и МС взаимно перпендикулярные прямые, следовательно, прямая b перпендикулярна прямой с. Лемма доказана.

На экране текст: Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. На экране изображение и текст:

Дано: а∥b, a⊥c .

На экране соответствующие тексту автора изменения

Дано: а∥b, a⊥c . Доказать: b⊥c

На экране последовательные изменения соответственно тексту :

Доказательство: 1) Проведём точку М, М

a, М

b. 2) Проведём МА, МА ∥ a . 3) Проведём МС, МС ∥ b .

На экране соответствующие изменения изображения и текста

4) т.к. a⊥c, то ∠ АМС=90°.

На экране соответствующие изменения изображения и текста

Доказанная лемма упрощает решение задач и доказательство теорем. Рассмотрим один из примеров.

В тетраэдре МАВС ребра МА и ВС перпендикулярны, Р - точка ребра АВ, причём АР относится к АВ как 2 к 3. Q-точка ребра АС, причём АQ относиться к QC, как 2 к 1. Доказать, что прямая АМ перпендикулярна прямой PQ. Для доказательства рассмотрим два треугольника APQ и АВС с общим углом А. Так как Точка Q делит сторону АC в отношении 2 к 1, то сторона АQ треугольника АРQ составляет

стороны АС треугольника АВС. Таким образом в треугольниках АРQ и АВС сторона АР относиться стороне АВ как 2 к 3, сторона АQ относиться к стороне АС как 2 к 3 и угол А у них общий, значит треугольник APQ подобен треугольнику АВС . Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов APQ и АВС, АQР и АСВ, это доказывает параллельность прямых РQ и ВС. Итак прямая АМ перпендикулярна прямой ВС, а прямая PQ параллельна прямой ВС, тогда согласно доказанной лемме АМ перпендикулярна прямой PQ.