Тема 9. Обыкновенные дифференциального уравнения.

Математический анализ (2)

Варианты контрольной работы.

Оформление контрольной работы

Контрольная работа выполняется рукописным или печатным способом на листах формата А4, скрепленных скрепкой или степлером в верхнем левом углу, листы нумеруются внизу страницы по центру. Не используйте пластиковых обложек.

На первом листе в верхней части укажите: 1) номер группы; 2) фамилию, имя и отчество; 3) название дисциплины; 4) номер варианта задания; 5) номер курса, семестра; 6) оставьте место для оценки.

При печатном способе используйте следующие параметры: шрифт: Times New Roman, размер: 12-14, интервал полуторный, поля: верхнее, нижнее - 2 см, левое 3,5 см, правое: 1,5 см.

Номер варианта равен последней цифре номера зачетной книжки

Задачник: В.С.Шипачев. Задачник по высшей математике.

Перед тем, как решать задачи контрольной работы, необходимо изучить теоретические вопросы.

Таблица – Номера задач контрольной работы для каждого варианта (главы – из задачника)

Теоретические вопросы.

Тема 1. Неопределенный интеграл.

Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Интегрирование заменой переменной и по частям. Разложение алгебраического многочлена на множители над полем действительных чисел. Теорема о разложении правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами. Проблема интегрирования рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных выражений.

Тема 2. Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла. Интегрируемость (в смысле Римана) функции на сегменте. Теорема о неинтегрируемости неограниченной на сегменте функции. Верхние и нижние суммы Дарбу. Свойства верхних и нижних сумм Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу. Лемма Дарбу. Теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости (по Риману) функции на сегменте. Теорема об интегрируемости (по Риману) непрерывной на сегменте функции. Основные свойства определенного интеграла. Первая и вторая формулы среднего значения определенного интеграла. Теорема о существовании первообразной для непрерывной на интервале функции. Формула Ньютона-Лейбница вычисления определенного интеграла. Замена переменной под знаком определенного интеграла. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Тема 3. Геометрические приложения определенного интеграла.

Спрямляемость и длина дуги плоской кривой. Вычисление длины дуги плоской кривой при различных способах ее задания. Квадрируемость и площадь плоской фигуры. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах. Площадь плоской фигуры в полярных координатах. Кубируемость и объем пространственного тела. Объем тела вращения.

Тема 4. Несобственный интеграл.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (общие понятия; сходимость и расходимость). Критерий Коши сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования. Абсолютная сходимость несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования. Теорема о сходимости (в обычном смысле) абсолютно сходящегося несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования (общий признак сравнения). Несобственные интегралы от неограниченных функций (общие понятия; сходимость и расходимость). Критерий Коши сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций. Абсолютная сходимость несобственных интегралов от неограниченных функций. Теорема о сходимости (в общем смысле) абсолютно сходящегося несобственного интеграла от неограниченной функции.

Тема 5. Функции нескольких переменных.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Понятие n-мерного координатного и n-мерного евклидова пространств. Конкретные множества в Rⁿ (n-мерный шар, n-мерная сфера, n-мерный координатный параллелепипед). Понятие функции n переменных. Сходящиеся последовательности точек в Rⁿ. Предельное значение и непрерывность функции нескольких переменных. Теорема о необходимом и достаточном условии непрерывности функции нескольких переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных; теорема об эквивалентности двух условий дифференцируемости функции. Теорема существования частных производных дифференцируемой функции нескольких переменных. Теорема о дифференцируемости функции нескольких переменных, имеющих непрерывные частные производные. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции нескольких переменных. Дифференциал функции нескольких переменных. Теорема о дифференцируемости сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных. Неявные функции. Теорема существования и дифференцируемости неявной функции (без доказательства). Частные производные неявной функции. Геометрическая иллюстрация условия дифференцируемости функции двух аргументов. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл частной производной и первого (полного) дифференциала функции двух аргументов. Частные производные высших порядков функции нескольких переменных. Теорема о независимости значения второй смешанной частной производной от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент. Экстремум функции нескольких переменных. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Теорема о необходимости условия локального экстремума функции нескольких переменных. Теорема о достаточном условии существования локального экстремума функции нескольких переменных. Теорема о достаточном условии существования локального экстремума функции двух переменных. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

Тема 6. Кратные интегралы. Двойные интегралы. Понятие двойного интеграла; его геометрический смысл. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интегралов. Замена переменных в двойном интеграле. Кратные несобственные интегралы; интеграл Пуассона.

Тема 7. Ряды.

Числовые ряды. Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Ряды с положительными членами: необходимое и достаточное условие их сходимости. Признаки сравнения, устанавливающие сходимость (расходимость) числовых рядов. Признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Коши-Маклорена. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Арифметические операции над сходящимися числовыми рядами. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов. Функциональные последовательности и ряды. Функциональные ряды. Сходимость функционального ряда (в точке, на множестве). Свойства сходящихся функциональных рядов (непрерывность предельной функции и суммы ряда); предельный переход под знаком интеграла и почленное интегрирование; предельный переход под знаком производной и почленное дифференцирование. Степенные ряды; область сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Необходимое и достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Достаточные условия разложимости функции в степенной ряд

Тема 8. Комплексные числа и действия над ними. Понятия модуля и аргумента комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Возведение комплексного числа в n-степень. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.

Тема 9. Обыкновенные дифференциального уравнения.

Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Построение решений уравнения первого порядка методом изоклин.

Тема 10. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные, сводящиеся к однородным уравнения. Линейное уравнение 1-ого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах.

Тема 11. Дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Задача Коши. Дифференциальные уравнения 2-ого порядка, допускающие понижение порядка.

Тема 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Линейно зависимые и независимые функции. Определитель Вронского. Структура общего решения линейного однородного дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-ого порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения для различных типов корней. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Структура частного решения для линейного неоднородного дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Литература. В.С.Шипачев. Высшая математика. Задачник: В.С.Шипачев. Задачник по высшей математике.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: