СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА

Элементы квантовой механики

ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ

Универсальность корпускулярно-волнового дуализма

______________________________________________________________________________________

Гипотеза де Бройля_______________________________________________________________

Корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер и распространяется не только на фотоны, но и на все частицы материи: частицы вещества (в частности, электроны) обладают наряду с корпуску­лярными также и волновыми свойствами.

Уравнения, связывающие корпускулярные свойства (энергия и импульс) и волновые (частота (длина волны)) характеристики микрочастиц_____________________________

Формулы такие же, что и для фотона.

[ к — волновое число; постоянная Планка; циклическая частота]

Длина волны де Бройля___________________________________________________

[h— постоянная Планка; р — импульс; т — масса частицы; υ — скорость части­цы; Т — кинетическая энергия частицы; с — скорость распространения света в вакууме; Е — полная энергия частицы]

Экспериментальное подтверждение

волновых свойств микрочастиц_____________________________________________

Опыты Девиссона и Джермера___________________________________________________

Пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки — кристалла никеля, дает отчетливую дифракционную карти­ну. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа— Брэггов 5.50, а брэгговская длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычисленной по формуле X = Н/р.

Опыты Тартаковского и Томсона________________________________________________

Наблюдалась дифракционная картина при прохождении пучка быстрых электронов (« 50 кэВ) через металлическую фольгу (толщиной » 1 мкм).

Опыты Тартаковского__________________________________________________________

Даже в случае столь слабого электронного пучка, когда каждый элект­рон проходит через прибор независимо от других (промежуток времени между двумя электронами в 10⁴ раз больше времени прохождения элект­роном прибора), возникающая при длительной экспозиции дифракцион­ная картина не отличается от дифракционных картин, получаемых при короткой экспозиции для потоков электронов, в десятки миллионов раз

более интенсивных. Следовательно, волновые свойства частиц не являют­ся свойством их коллектива, а присущи каждой частице в отдельности.

♦ Дифракционные явления обнаружены также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило доказательством наличия волновых свойств микрочастиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося определенной длиной волны, рассчитываемой по формуле де Бройля.

6. 16 Плоская волна де Бройля_________________________________________________________

Согласно корпускулярно-волновому дуализму материи и гипо­тезе де Бройля, с движением частицы, обладающей определенны­ ми энергией иимпульсом, связывается плоская волна де Бройля.

Рассмотрен одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид или в комплексной записи . При записи плоской волны де Бройля учтено, что (ω — циклическая частота, k— волновое число). Показатель экспоненты в плоской волне де Бройля берется со знаком минус, но это несущественно, так как физический смысл имеет 6.22.

6. 17 Свойства волн де Бройля _____________________________________

Фазовая скорость 4.47______________________________________________

Дисперсия волн де Бройля______________________________________________________

Нерелятивистский случай

Фазовая скорость, как для нерелятивистских, так и релятивистских частиц, зависит от длины волны (частоты), поскольку релятивистскийслучай

[ω — циклическая частота; k— волновое число; — постоянная Планка; Е — полная энергия частицы; р — импульс частицы; υ — скорость движения частицы; с — скорость распространения света в вакууме; т — масса частицы]

СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА

Во многих случаях классические представления (например, в каждый момент времени частица занимает в пространстве строго определенное 1 место и обладает определенным импульсом) неприменимы для описания микрообъектов. Гейзенберг выдвинул идею о принципиальной невоз­можности измерения определенных пар связанных между собой харак­теристик так, чтобы они одновременно имели точные значения.

6.18 Соотношение неопределенностей для координат и импульсов_______

Микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно точных зна­чений координаты (х, у, z) и соответствующих компонентов импульса ( ), причем произведение неопределенностей координаты и соот­ветствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка .

Физический смысл соотношения____________________________________________

Из соотношения неопределенностей следует, что, например, если микро­частица находится в состоянии с точным значением координаты ( ), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается совершенно неопределенной ( ), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и им­пульс имели бы одновременно точные значения.

6.19 Соотношение неопределенностей для энергии и времени______________

[ — неопределенность энергии некоторого состояния системы; — промежуток времени, в течение которого оно существует]

Физический смысл соотношения _____________ _________________

Из-за конечности времени жизни атомов в возбужденном состоянии энер­гия возбужденных состояний атомов не является точно определенной, поэтому частота излученного фотона также должна иметь неопределен­ность . Тогда линии спектра должны иметь частоту . Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты.

6.20 Соотношение неопределенностей — следствие

специфики микрообъектов________________________ _________

Невозможность одновременно точно определить координату и соответст­вующую проекцию импульса не связана с несовершенством методов из­мерения или измерительных приборов, а является следствием специфи­ки микрообъектов, отражающей особенности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярно-волновой природы. Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании класси­ческих характеристик движения частицы (координаты, импульса) и на­личия у нее волновых свойств. Так как в классической механике прини­мается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, та­ким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

♦ Повышение точности в знании одной переменной, таким образом, ведет к понижению точности в знании другой, и наоборот. Поэтому если в клас­сической механике наличие координат и импульсов (скоростей) системы точно задает ее поведение во времени и пространстве, то предсказание поведения квантовой системы должно носить вероятностный характер.

6.2.3. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

В общем случае (произвольное движение частицы в произвольных силовых полях) состояние частицы в квантовой механике задается волновой е функцией (или пси-функцией) , зависящей от координат и времени. Она — основной носитель информации о корпускулярных и волновых свойствах микрочастиц. В частном случае свободного движения частицы волновая функция — плоская волна де Бройля 6.16.

6.21 Статистическая интерпретация волновой функции_________________

На основании статистической интерпретации вероятность нахождения частицы в момент времени tс координатами х и х + Δх, у и у + Δу, г + Δzопределяется интенсивностью волновой функции, т. е. квадратом пси-функции. Поскольку в общем случае Ψ — комплексная функция а вероятность должна быть всегда действительной и положительной величиной, то за меру интенсивности принимается квадрат модуля во волновой функции.

[Ψ* — функция, комплексно сопряженная Ψ]

6.22 Физический смысл Ψ-функции________________________________

Вероятность А\У нахождения частицы в элементе объем в момент времени I.

Плотность вероятности, т. е. вероятность нахождения частицы в момент времени tв окрестности данной точки пространства. Плотность вероятности — величина, наблюдаемая на опыте, в то время как сама волновая функция, являясь комплексной, наблюдению недоступна. В этом заключается существенное отличие в описании состояний частиц в квантовой и классической механике (в классической механике величины, описывающие состояние частиц, наблюдаемы).

Вероятность найти частицу в момент времени tв некотором объеме V.

Условие нормировки вероятностей. Так как dV определяется как вероятность, то, проинтегрировав это выражение в бесконечных пределах, получим вероятность того, что частица в момент времени tнаходится где-то в пространстве. Это есть вероятность достоверного события, а ее в теории вероятностей считают равной 1.

♦ Волновая функция — объективная характеристика состояния микрочастиц должна удовлетворять ряду ограничений. Она должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком)

6.23 Принцип суперпозиции состояний для волновых функций_________

Если какая-либо система (частица или их совокупность) может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ'₁, Ψ₂, ... , Ψ_п, ... , то она может находиться в состоянии Ψ, описываемом линейной комбинацией этих функций.

[С_п (п = 1, 2, ...) — произвольные (в общем случае комплексные) числа, при этом квадрат модуля коэффициента С _n, т. е. |С_n|², равен вероятности обнаружить, что система, представленная состоянием Ψ, может оказаться в состоянии Ψ _n. Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей]

6.2.4.ВРЕМЕННОЕ И СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

6.24 Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики___________________

Статистическое толкование волн де Бройля 6.22 и соотношение неопределенностей Гейзенберга 6.18 привели к выводу, что уравнением движе­ния в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытека­ли наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции ЧХх, у, г, I), так как именно она, или, точнее, величина I^х?!², определяет вероятность пребывания частицы в момент времени I в объеме (IV, т. е. в области с координатами х и х + Ах, у иг/ + Ау, гшг + Аг. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему элек­тромагнитные волны.

Временное уравнение Шредингера__________________________________________________

Это уравнение постулируется, а его правильность подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов.

Условия, накладываемые на волновую функцию______________________________________

♦ Волновая функция должна: быть конечной, однозначной и непрерывной.

♦ Производные —должны быть непрерывны.

♦ Функция |Ψ|² должна быть интегрируема (это условие сводится к усло­вию нормировки вероятностей 6.22).

♦ Уравнение Шредингера справедливо для нерелятивистских частиц (скорости υ « с). [ , т — масса частицы, Δ — оператор Лапласа , i- мнимая единица, U(x,y,z,t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ(x,y,z,t) — искомая волновая функция частицы]

6.25 Стационарное уравнение Шредингера________________________________________

Представление волновой функции для стационарных состояний

(состояний с фиксированными значениями энергии)_______________________________

В случае стационарного силового поля (функция U = U (x,y,z)не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии) волновая функция пред­ставляется в виде произведения двух функций: одна — функция только координат, другая функция — только времени (зависимость от времени выражается множителем )

Стационарное уравнение Шредингера____________________________________________

Получилось после подстановки волновой функции во временное уравнение Шредингера и преобразований.

[Ψ - координатная (амплитудная) часть волновой функции Ψ(x,y,z,t) - ее потенциальная энергия; Δ - оператор Лапласа]

Собственные значения энергии_______________________________________________________

В уравнение Шредингера в качестве параметра входит полная энергия Е. Реальный физический смысл имеют только решения, которые выражаются регулярными функциями Ψ (Ψ должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными). Регулярные решения имеют место лишь при определенном наборе Е, отвечающем данной задаче. Эти значения энергии называются собственными. Онимогут образовывать как непрерывный, так и дискретный спектр энергий.

 

12345

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.