Математическая статистика

Практическая работа №7

«Основы математической статистики. Элементы корреляционного анализа»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме

Вопросы теории ( исходный уровень)

1. Основные понятия математической статистики

2. Генеральная совокупность и выборка.

3. Вариационный и интервальный статистические ряды.

4. Полигон частот и гистограмма.

5. Точечная и интервальная оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

6. Порядок статистической обработки экспериментальных данных.

7. Статистическая обработка данных лабораторного эксперимента.

8. Теория погрешностей.

9. Обработка результатов непосредственных и косвенных измерений

10. Правила оформления результатов лабораторных работ.

11. Элементы корреляционного анализа (лекция №2)

Содержание занятия:

1.ответить на вопросы по теме занятия

2.решить примеры

Задачи и примеры

Определить соответствие вариационного распределения измеренной величины нормальному закону распределения

1. Произвести измерения N величин и записать результаты измерений в протокол.
2. По результатам измерений построить вариационный ряд.

2.1.- в измеренных величинах найти величину ( х_min) с наименьшим значением и величину (х_max) с наибольшим значением.

2.2.-определить размах вариации R , представляющий собой разность между максимальной и минимальной вариантами совокупности ( R = x_max- x_min).

2.3.-по числу элементов совокупности N определим число классов К на которые следует разбить совокупность измеренных величин. При N≤100 К определим по формуле

K= 1+3,32 lg N, при N›100 К определим по формуле K= 5 lg N .

2.4.-определить величину классового интервала λ , как частное от деления размаха вариации R на число классов К , λ =R/К = (x_max- x_min)/ К.

Если окажется , что λ=1, собранный материал распределяется в безынтервальный вариационный ряд; если λ≠1, исходные данные необходимо распределить в интервальный ряд. При этом точность величины классового интервала должна соответствовать точности принятой при измерении величин.

2.5.- определить ширину классов входящих в интервальный вариационный ряд в которых расположатся все измеренные величины от x_max до x_min.

Ширина первого класса имеет протяженность от x_min до x_min+λ, т.е.[ x_min ÷ x_min+λ].

Ширина второго класса имеет протяженность от x_min+ λ +10^-5λ до x_min+2λ , т.е.

[ x_min+ λ +10^-5λ ÷ x_min+2λ] , где 10^-5λ незначащее число и применяется для того, чтобы разграничить числа находящиеся на границе классовых интервалов и используется во всех классах для различия начала нового класса от конца предыдущего класса.

Ширина К-того класса имеет протяженность от x_min+(К-1) (λ +10^-5λ ) до x_max, т.е.

[x_min+(К-1) (λ +10^-5λ ) ÷ x_max], где x_max= x_min +К λ.

2.6.- найти среднее значение каждого класса х_m . Среднее значение каждого класса равно полусумме значений начала и конца класса без незначащего числа 10^-5λ, т.е.

х_m=( x_min+(I-1) λ +x_min+Iλ)/2, где I принимает значения от 1 до К (I =1;2;…К).

2.7.- определить количество элементов n из измеренных N величин входящих в каждый класс, т.е. получить n₁, n₂,… n_К

2.8. – определить относительную частоту р_i попадания количества элементов n_i из измеренных N величин в каждый класс, т.е. р_i= n_i/ N. Найти р₁, р₂,… р_К.

1. На основании пункта 2 заполнить таблицу:

1. По полученным данным построить графики вариационных рядов.

4.1. - полигон частот; по оси абсцисс откладывают среднее значение классов, по оси ординат частоту попадания величин в класс. Высота перпендикуляров, восставляемых на ось абсцисс, соответствует частоте классов. Соединяя вершины перпендикуляров прямыми линиями, получают геометрическую фигуру в виде многоугольника называемую полигоном распределения частот. Линия соединяющая вершины перпендикуляров, называют вариационной кривой или кривой распределения частот вариационного ряда.

4.2. – гистограмма; по оси абсцисс откладывают границы классовых интервалов , по оси ординат – частоты интервалов. В результате получается совокупность прямоугольников . т.е. гистограмма распределения.

4.3. – кумулята; по оси абсцисс откладывают среднее значение классов, по оси ординат – накопление частоты интервалов ( накопление частот находят последовательным суммированием или кумуляцией частот в направлении от первого класса до конца вариационного ряда , т.е. например в третьем классе накопленная частота будет соответствовать сумме частот трех классов) с последующим соединением точек прямыми линиями, получается график называемый кумулятой. Имеет вид S-образной кривой.

4.4. – огива; по оси абсцисс откладывают частоты , а по оси ординат значение классов с последующим соединением геометрических точек прямыми линиями, полученный график называют огивой.

При построении вариационной кривой масштабы на осях прямоугольных координат следует выбирать с таким расчетом, чтобы основание кривой было в 1,5 –2,0 больше ее высоты.

5. Определить основные характеристики варьирующих величин .

5.1. – средняя арифметическая ; найти произведение среднего значения каждого класса (х_evi) _i на относительную частоту р_i попадания количества элементов n_i из измеренных N величин в каждый класс, т.е. р_i*(х_m)_i. Найти р_1*(х_m) ₁, р_2*(х_m)₂,... р_К*(х_m)_К. и по формуле определить среднее арифметическое

5.2. – дисперсия s_x² или σ²;

5.2.1. - найти отклонение среднего значение каждого класса х_m от среднего арифметического ,т.е. (х_m)_I- ,

5.2.2. – возвести в квадрат отклонение среднего значение каждого класса х_m от среднего арифметического ,т.е.[ (х_m)_i- ]²,

5.2.3. – умножить квадрат отклонений среднего значение каждого класса х_m от среднего арифметического на относительную частоту попадания в класс р_i, т.е.

[ (х_m)_i- ]²*р_i и по формуле определить дисперсию;

5.2.4.Установлено, что рассчитываемая по формуле дисперсия оказывается смещенной по отношению к своему генеральному параметру на величину , равную N/(N-1). Эта величина называется поправкой Бесселя. Разность (N-1)=k называют числом степеней свободы под которыми понимают число свободно варьирующих величин в составе численно ограниченной совокупности.

Несмещенная дисперсия и среднеквадратичное отклонение определяются;

5.2.4.1. – умножить квадрат отклонений среднего значение каждого класса х_evi от среднего арифметического на количество элементов n из измеренных N величин входящих в каждый класс, т.е. найти [ (х_m)_i- ]²*n_i и по формуле определить несмещенную дисперсию,

5.2.4.2. – среднее квадратическое отклонение s_x есть показатель, представляющий корень квадратный из дисперсии,

6.На основании пункта 5 заполнить таблицу:

			…	К
(хm)I- ,	(хm)1- ,	(хm)2- ,	…	(хm)К- ,
[ (хm)i- ]2,	[ (хm)1- ]2	[ (хm)2- ]2	…	.[ (хm)К- ]2
умножить ква[ (хm)i- ]2*рi	[ (хm)1- ]2*р1	[ (хm)2- ]2*р2	…	[ (хm)К- ]2*рК
определить дисперсию
[ (хm)i- ]2*ni	[ (хm)1- ]2*n1	[ (хm) 2- ]2*n2		[ (хm)К- ]2*nК
определить несмещенную дисперсию,
Определить среднее квадратическое отклонение sx

7. Определить соответствие вариационного распределения нормальному закону;

7.1. – найти нормированное отклонение t . Отклонение той или иной варианты от средней арифметической, отнесенное к величине среднего квадратического отклонения , называют нормированным отклонением и находят по формуле,

7.1. – Для соответствующих классов найдем функцию нормированного отклонения f(t) по таблице или по формуле,

7.2. – найдем выравнивающие частоты вариационного ряда f^I (t). Для того чтобы ордината выражала не вероятность, а абсолютные значения случайной величины, т.е. выравнивающие частоты вариант эмпирического распределения нужно f^I (t) найти по формуле,

8. На основании пункта 7 заполним таблицу:

			…	К
нормированное отклонение t			…
нормированного отклонения f(t)			…
выравнивающие частоты вариационного ряда fI (t)			…

9. На графике полигона частот построить точки соответствующие выравнивающей частоте вариационного ряда, вычисленная по нормальному закону.

10. Записать значение исследуемой величины с границами доверительного интервала.

Таблица: Значения функции

(ординаты нормальной кривой)

Лекция 2.

Элементы математической статистики. Случайная величина. Распределение дискретных и непрерывных случайных величин и их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение. Примеры различных законов распределения. Нормальный закон распре­деления.

Генеральная совокупность и выборка. Гистограмма. Оценка пара­метров нормального распределения по опытным данным. Доверительные ин­тервалы для средних. Интервальная оценка истинного значения измеряемой величины. Применение распределения Стьюдента для определения доверительных ин­тервалов. Методы обработки медицинских данных.

Теория погрешностей, порядок обработка результатов прямых и косвенных измерений. Понятие о корреляционном анализе.

Математическая статистика

Методы математической статистики позволяют систематизи­ровать и оценивать экспериментальные данные, которые рассматриваются как случайные величины.

Основные понятия математической статистики

В главе 2 были рассмотрены некоторые понятия и закономерности, которым подчинены массовые случайные явления. Одной из практических задач, связанных с этим, является создание методов отбора данных (статистические данные) из большой сово­купности и их обработки. Такие вопросы рассматриваются в математической статистике.

Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистиче­ских данных для решения научных и практических задач.

Ма­тематическая статистика тесно примыкает к теории вероятностей и базируется на ее понятиях. Однако главным в математической статистике является не распределение случайных величин, а ана­лиз статистических данных и выяснение, какому распределению они соответствуют.

Предположим, что необходимо изучить множество объектов по какому-либо признаку. Это возможно сделать, либо проведя сплош­ное наблюдение (исследование, измерение), либо не сплошное, выбо­рочное.

Выборочное, т. е. неполное, обследование может оказаться предпочтительнее по следующим причинам. Во-первых, естест­венно, что обследование части менее трудоемко, чем обследование целого; следовательно, одна из причин — экономическая. Во-вто­рых, может оказаться и так, что сплошное обследование просто нереально. Для того чтобы его провести, возможно, нужно унич­тожить всю исследуемую технику или загубить все исследуемые биологические объекты. Так, например, врач, имплантирующий электроды в улитку для кохлеарного протезирования (см. § 6.5), должен иметь вероятностные представления о расположении улитки слухового аппарата. Казалось бы, наиболее достоверно та­кие сведения можно было получить при сплошном патологоанатомическом вскрытии всех умерших с производством соответствую­щих замеров. Однако достаточно собрать нужные сведения при выборочных измерениях.

Большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для исследования, называется генеральной сово­купностью, а множество объектов, отобранных из нее, — выбо­рочной совокупностью, или выборкой.

Свойство объектов выборки должно соответствовать свойству объектов генеральной совокупности, или, как принято говорить, выборка должна быть представительной (репрезентативной). Так, например, если целью является изучение состояния здо­ровья населения большого города, то нельзя воспользоваться вы­боркой населения, проживающего в одном из районов города. Ус­ловия проживания в разных районах могут отличаться (различ­ная влажность, наличие предприятий, жилищных строений и т. п.) и, таким образом, влиять на состояние здоровья. Поэтому выбор­ка должна представлять случайно отобранные объекты.

Если записать в последовательности измерений все значения величины х в выборке, то получим простой статистический ряд. Например, рост мужчин (см): 170, 169, ... . Та­кой ряд неудобен для анализа, так как в нем нет последователь­ности возрастания (или убывания) значений, встречаются и по­вторяющиеся величины. Поэтому целесообразно ранжировать ряд, например, в возрастающем порядке значений и указать их повторяемость. Тогда статистическое распределение выборки:171, 172, 172, 168,

 

(3.1)

 

Здесь x_i — наблюдаемые значения признака (варианта); n_i — число наблюдений варианты x_i (частота); р_i* — относительная частота.

Общее число объектов в выборке (объем выборки)

всего k вариант. Статистическое распределение — это совокуп­ность вариант и соответствующих им частот (или относительных частот), т. е. это совокупность данных 1-й и 2-й строки или 1-й и 3-й строки в (3.1).

В медицинской литературе статистическое распределение, со­стоящее из вариант и соответствующих им частот, получило на­звание вариационного ряда.

Наряду с дискретным (точечным) статистическим распределе­нием, которое было описано, используют непрерывное (интер­вальное) статистическое распределение:

 

 

(3.2)

 

Здесь x_i-1, x_i - i-йинтервал, в котором заключено количественное значение признака; n_i — сумма частот вариант, попавших в этот интервал; р*_i — сумма относительных частот.

В качестве примера дискретного статистического распределения укажем массы новорожденных мальчиков (кг) и частоты (табл. 5).

Таблица 5

 

 

Общее количество мальчиков (объем выборки)

 

(3.3)

Можно это распределение представить и как непрерывное (интер­вальное) (табл. 6).

Таблица 6

 

2,65 — 2,75	2,75 — 2,85	2,85 — 2,95	2,95 — 3,05	3,05 — 3,15	…
					…

Для наглядности статистические распределения изображают графически в виде полигона и гистограммы.

Полигон частот — ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (х₁, п₁ , (х₂; п₂), ... или для полигона относительных частот — с координатами (х₁; р₁* ), (х₂; р₂ *), ... (рис. 3.1). Рис. 3.1 относится к распределению, представленному в табл. 5.

Гистограмма частот — совокупность смежных прямоуголь­ников, построенных на одной прямой линии (рис. 3.2), основания прямоугольников одинаковы и равны а, а высоты равны отноше­нию частоты (или относительной частоты) к а:

 

(3.4)

 

Таким образом, площадь каждого прямоугольника равна соответ­ственно

Следовательно, площадь гистограммы частот , а площадь гистограммы относительных частот

Наиболее распространенными характеристиками статистическо­го распределения являются средние величины: мода, медиана и средняя арифметическая, или выборочная средняя.

Мода (Мо) равна варианте, которой соответствует наиболь­шая частота. В распределении массы новорожденных (см. табл. 5) Мо = 3,3 кг.

Медиана (Me) равна варианте, которая расположена в середи­не статистического распределения. Она делит статистический (ва­риационный) ряд на две равные части. При четном числе вариант за медиану принимают среднее значение из двух центральных ва­риант. В рассмотренном распределении (см. табл. 5) Me = 3,4 кг.

Выборочная средняя (х_в) определяется как среднее арифмети­ческое значение вариант статистического ряда:

(3.5)

(3.6)

Для примера (см. табл. 5)

Для характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего значения вводят характеристику, называемую выборочной дисперсией, — среднее арифметическое квадратов отклонения ва­риант от их среднего значения:

(3.7)

Квадратный корень из выборочной дисперсии называют выбороч­ным средним квадратическим отклонением:

 

(3.8)

Для примера (см. табл. 5)

 

123

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.