Основные методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование предполагает использование свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и различных формул из элементарной математики.
Пример. .
Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (квадрат суммы), свойствами степеней, свойствами 3-4 и формулой 1 таблицы интегралов:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image678.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image679.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image680.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image681.png)
Замена переменной.
Пусть требуется найти интеграл с непрерывной подынтегральной функцией .
Сделаем замену переменных, положив , где функция удовлетворяет следующим двум условиям:
1) - непрерывная функция;
2) - непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию.
Тогда .
После интегрирования возвращаются к старой переменной обратной подстановкой.
Пример. .
Решение.
.
Пример. .
Решение.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image691.png)
.
Интегрирование по частям.
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:
,
где и — непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
Применяется формула в следующих случаях:
1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.
Это интегралы вида: , , .
В этом случае в качестве выбирается многочлен .
Пример. .
Решение. Подынтегральная функция есть произведение многочлена на тригонометрическую функцию (1 случай). Поэтому в качестве выбирается многочлен.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image705.png)
.
2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.
Это интегралы вида: , , , , .
В качестве следует принимать обратную тригонометрическую или логарифмическую функцию.
Пример. .
Решение. Подынтегральная функция есть логарифмическая функция (2 случай). Поэтому в качестве выбирается логарифмическая функция.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image714.png)
.
Интегрирование рациональных дробей.
Пример. .
Решение. Сначала разложим дробь на простейшие:
.
.
.
Решая систему, получим: .
Тогда исходный интеграл примет вид:
.
Пример. .
Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть. В результате получим:
.
Теперь вычислим интеграл:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image724.png)
.
Пример. .
Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим дробь на простейшие:
.
.
.
Решая систему, получим: .
Тогда исходный интеграл примет вид:
.
Интегрирование тригонометрических выражений.
Пример. .
Решение.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image733.png)
.
б) Оба числаm, n- четные неотрицательные.
Применим формулы:
.
Пример. .
Решение.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image737.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image738.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image739.png)
.
Интегрирование иррациональных выражений.
Пример. .
Решение. Сделаем замену , откуда , . В результате получим:
.
Исходный интеграл сведен к интегралу от рациональной функции – неправильной дроби, которую интегрируем с помощью выделения ее целой части:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image746.png)
.
Таким образом, , где .
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Если — некоторая первообразная функции , непрерывной на отрезке , то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:
.
Пример. .
Решение.
.
Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах.
В декартовой системе координат элементарной фигурой является криволинейная трапеция (рис.1), ограниченная линиями , , , , площадь которой вычисляется по формуле:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image760.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image761.png)
Рис.1
Площадь фигуры (рис.2) вычисляется по формуле:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image762.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image763.png)
Рис.2
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image764.png)
Решение.Построим чертеж к задаче (рис. 3).
— это парабола (ветви направлены вверх, вершина находится в точке с координатами (0;-2));
— прямая, проходящая через начало координат.
Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений: .
Отсюда ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image768.png)
Площадь фигуры вычислим по формуле:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image762.png)
(кв.ед.).
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza1/3690765739860.files/image770.png)
Рис. 3
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|