Основные методы интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование предполагает использование свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и различных формул из элементарной математики.

Пример. .

Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (квадрат суммы), свойствами степеней, свойствами 3-4 и формулой 1 таблицы интегралов:

Замена переменной.

Пусть требуется найти интеграл с непрерывной подынтегральной функцией .

Сделаем замену переменных, положив , где функция удовлетворяет следующим двум условиям:

1) - непрерывная функция;

2) - непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию.

Тогда .

После интегрирования возвращаются к старой переменной обратной подстановкой.

Пример. .

Решение.

Пример. .

Решение.

Интегрирование по частям.

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:

где и — непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

Применяется формула в следующих случаях:

1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.

Это интегралы вида: , , .

В этом случае в качестве выбирается многочлен .

Пример. .

Решение. Подынтегральная функция есть произведение многочлена на тригонометрическую функцию (1 случай). Поэтому в качестве выбирается многочлен.

2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

Это интегралы вида: , , , , .

В качестве следует принимать обратную тригонометрическую или логарифмическую функцию.

Пример. .

Решение. Подынтегральная функция есть логарифмическая функция (2 случай). Поэтому в качестве выбирается логарифмическая функция.

Интегрирование рациональных дробей.

Пример. .

Решение. Сначала разложим дробь на простейшие:

Решая систему, получим: .

Тогда исходный интеграл примет вид:

Пример. .

Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть. В результате получим:

Теперь вычислим интеграл:

Пример. .

Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим дробь на простейшие:

Решая систему, получим: .

Тогда исходный интеграл примет вид:

Интегрирование тригонометрических выражений.

Пример. .

Решение.

б) Оба числаm, n- четные неотрицательные.

Применим формулы:

Пример. .

Решение.

Интегрирование иррациональных выражений.

Пример. .

Решение. Сделаем замену , откуда , . В результате получим:

Исходный интеграл сведен к интегралу от рациональной функции – неправильной дроби, которую интегрируем с помощью выделения ее целой части:

Таким образом, , где .

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Если — некоторая первообразная функции , непрерывной на отрезке , то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:

Пример. .

Решение.

Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах.

В декартовой системе координат элементарной фигурой является криволинейная трапеция (рис.1), ограниченная линиями , , , , площадь которой вычисляется по формуле: