А теперь опять: градусы и радианы.

Самостоятельная работа 8.

Задание: Разобрать примеры на вычисление линейной скорости при вращательном движении.

Цели: повторить два определения основных тригонометрических функций, выучить формулы перехода от радианного измерения к градусному, длины дуги окружности, линейную скорость при вращательном движении, связь угловой скорости с периодом вращения, центробежное ускорение и центробежная сила.

Методические рекомендации: знать, какие величины принимаются за единицу при градусном и радианном измерении дуг и углов, формулы перехода от градусного изменения к радианному и наоборот, чему равна градусная мера дуги в 1 радиан и радианная мера дуги в 1 градус, формулу вычисления площади сектора, центральный угол которого измерен в радианах.

Ход выполнения работы

Для выполнения методических рекомендаций обратитесь к теоретическому материалу.

Радиан. Радианная мера угла.Радиан (от лат. radius — луч, радиус) — основная единица измерения плоских углов в математике.
Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности:

Таким образом, величина полного угла равна 2π (два Пи) радиан, так как длина окружности - это 2π (два Пи) радиусов.
Радиан - это безразмерная величина, поскольку отражает соотношение длины дуги окружности к длине радиуса.
Радианной мере угла можно поставить в соответствие меру угла в градусах. Эту зависимость можно выразить следующими формулами:

Наиболее часто встречающиеся величины углов выражаются следующим образом в радианной и градусной мере:

• Роль перемещения во вращательном движении играет угол;
• Величина угла поворота за единицу времени - это угловая скорость;
• Изменение угловой скорости за единицу времени - это угловое ускорение.

Равномерное вращательное движение

Во время равномерного вращательного движения тело совершает движение по окружности с одинаковой скоростью, но с изменяющимся направлением. Например, такое движение совершают стрелки часов по циферблату.
Допустим, шар равномерно вращается на нити длиной 1 метр. При этом он будет описывать окружность с радиусом 1 метр. Длина такой окружности:

C = 2πR = 6,28 м

Время, за которое шар полностью делает один полный оборот по окружности, называется периодом вращения - T.
Чтобы вычислить линейную скорость шара, необходимо разделить перемещение на время, т.е. длину окружности на период вращения:
V = C/T = 2πR/T
Период вращения: T = 2πR/V
Если наш шар будет делать один оборот за 1 секунду (период вращения = 1с), то его линейная скорость: V = 6,28/1 = 6,28 м/с.

Внимание, это пригодится тебе при изучении физики и электротехники!

Центробежное ускорение

В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением.

Во время равномерного вращательного движения меняется только направление вектора скорости, но не величина! Поэтому линейное ускорение равно 0. Изменение линейной скорости поддерживается центробежным ускорением, которое направлено к центру окружности вращения перпендикулярно вектору скорости - a_ц.
Центробежное ускорение можно вычислить по формуле: a_ц = V²/R.
Чем больше линейная скорость тела и меньше радиус вращения, тем центробежное ускорение больше.

Центробежная сила

Из прямолинейного движения мы знаем, что сила равна произведению массы тела на его ускорение. При равномерном вращательном движении на вращающееся тело действует центробежная сила: F_ц = ma_ц = mV²/R
Если наш шарик весит 1 кг, то для удержания его на окружности понадобится центробежная сила: F_ц = 1·6,28²/1 = 39,4 Н
С центробежной силой мы сталкиваемся в повседневной жизни при любом повороте.

А теперь задачи, связанные с твоей профессиональной деятельностью.

Задача №1: Рассчитать, какую максимальную скорость может развить тело в повороте с радиусом 30 метров при коэффициенте трения 0,9, чтобы "вписаться" в этот поворот.

Сила трения должна уравновесить центробежную силу:

F_ц = mV²/R; F_тр = μmg

V = √μmgR/m = √μgR = √0,9·9,8·30 = 16,3 м/с = 58,5 км/ч. Ответ: 58,5 км/ч
Обратите внимание, что скорость в повороте не зависит от массы тела!

Наверняка вы обращали внимание, что некоторые повороты на шоссе имеют некоторый наклон внутрь поворота. Такие повороты "легче" проходить, вернее, можно проходить с большей скоростью. Рассмотрим какие силы действуют на автомобиль в таком повороте с наклоном. При этом силу трения учитывать не будем, а центробежное ускорение будет компенсироваться только горизонтальной составляющей силы тяжести:

F_ц = mV²/R или F_ц = F_нsinα

В вертикальном направлении на тело действует сила тяжести F_g = mg, которая уравновешивается вертикальной составляющей нормальной силы F_нcosα:
F_нcosα = mg, отсюда: F_н = mg/cosα
Подставляем значение нормальной силы в исходную формулу:
F_ц = F_нsinα = (mg/cosα)sinα = mg·sinα/cosα = mg·tgα
угол наклона дорожного полотна: α = arctg(F_ц/mg) = arctg(mV²/mgR) = arctg(V²/gR)

Опять обратите внимание, что в расчетах не участвует масса тела!

Задача №2: на некотором участке шоссе имеется поворот с радиусом 100 метров. Средняя скорость прохождения этого участка дороги автомобилями 108 км/ч (30 м/с). Каким должен быть безопасный угол наклона полотна дороги на этом участке, чтобы автомобиль "не вылетел" (трением пренебречь)?

α = arctg (V²/gR) = arctg (30²/9,8·100) = 0,91 = 42°

Ответ: 42°. Довольно приличный угол. Но, не забывайте, что в наших расчетах мы не принимаем во внимание силу трения дорожного полотна.

А теперь опять: градусы и радианы.

Вы часто путаетесь в понимании угловых величин.

При вращательном движении основной единицей измерения углового перемещения является радиан.

• 2π радиан = 360° - полная окружность
• π радиан = 180° - половина окружности
• π/2 радиан = 90° - четверть окружности

Чтобы перевести градусы в радианы, необходимо значение угла разделить на 360° и умножить на 2π.

Например,

• 45° = (45°/360°) · 2π = π/4 радиан
• 30° = (30°/360°) · 2π = π/6 радиан

Заполните таблицу, представьте основные формулы прямолинейного и вращательного движения.

Рекомендуемая литература:

1. Математика. Богомолов Н.В. СПО. Москва. «Дрофа». 2010.129-131с.

2. Сборник задач по математике. Соловейчик И.Л. И.Д. «Оникс 21 век» 2010. 123-131с.

3. Математика. Гусев В.А. НПО и СПО. И.Ц. Академия. 2010. 24-29с.

Самостоятельная работа №9.

Задание: Составить конспект о положительных и отрицательных дугах и углах.

Цели: научить пользоваться книгой, составлять конспект, закрепить понятия: тригонометрическая окружность, значения тригонометрических углов и дуг в четвертях. Знать, как в общем виде обозначаются множества положительных и отрицательных чисел, каким условиям удовлетворяет единичная числовая окружность, в чем заключается соответствие между точками числовой единичной окружности, имеющие общие нулевые точки, закрепить знаки тригонометрических функций по четвертям.

Методические рекомендации: при составлении конспекта необходимо обратить на вопросы:

1. Определение единичной окружности.

2. Какие дуги в единичной окружности называются положительными (отрицательными).

3. Как в общем виде обозначить множество положительных (отрицательных) дуг и углов.

4.Каким условиям должна удовлетворять единичная числовая окружность.

Ход выполнения работы

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: