|
Статистическое оценивание.
Пусть имеется некоторая генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком X. При случайном извлечении объекта из генеральной совокупности становится извлеченным значение x признака X этого объекта. Таким образом, можно рассматривать извлечение объекта из генеральной совокупности как испытание, X – как случайную величину, а x – как одно из возможных значений X.
Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, к какому типу распределений относится признак X. Естественно, возникает задача оценки (приближенного нахождения) параметров, которыми определяется это распределение.
Обычно в распоряжении имеются лишь данные выборки генеральной совокупности, например, значения количественного признака x1, x2, …, xn, полученные в результате n наблюдений. Через эти данные и выражается оцениваемый параметр.
Статистической оценкой параметра распределения называется приближённое значение параметра, вычисленное по результатам выборки.
Оценки параметров подразделяются на точечные и интервальные. Точечные оценки задаются одним числом, интервальные – границами доверительного интервала.
Точечные оценки должны удовлетворять определённым требованиям.
Несмещенной называется точечная оценка , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки.
Оценка называетсясостоятельной, если при увеличении объёма выборки она сходится по вероятности к значению параметра , т.е. 
Несмещенной и состоятельнойоценкойматематического ожидания является выборочная средняя: .
Несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсия: 
Несмещенной и состоятельной оценкой среднего квадратического отклонения является корень из несмещённой оценки дисперсии: .
При большом числе опытов точечная оценка, как правило, близка к неизвестному параметру. Если же число наблюдений мало, то случайный характер величины может привести к значительному расхождению между и q. Тогда возникает задача о приближении параметра q не одним числом, а целым интервалом так, чтобы вероятность поглощения этим интервалом параметра q, т.е. вероятность двойного неравенства была не меньше заданного числа g.
Интервал называется доверительным для параметра q с доверительной вероятностью (надежностью) если неравенство выполняется с вероятностью, не меньшей чем g, т.е. 
Интервальной оценкой (с надежностью g ) математического ожидания нормально распределенного количественного признакаX по выборочной средней 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Статистическое оценивание. Стр. 1
при известном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности служит доверительный интервал где t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором n – объем выборки.
Интервальной оценкой (с надежностью g ) математического ожидания нормально распределенного количественного признакаX по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности служит доверительный интервал где находят по таблице значений по заданным n и g .
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ
| 0,95
| 0,99
| 0,999
|
| 0,95
| 0,99
| 0,099
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2,78
| 4,60
| 8,61
|
| 2,093
| 2,861
| 3,883
|
| 2,57
| 4,03
| 6,86
|
| 2,064
| 2,797
| 3,745
|
| 2,45
| 3,71
| 5,96
|
| 2,045
| 2,756
| 3,659
|
| 2,37
| 3,50
| 5,41
|
| 2,032
| 2,720
| 3,600
|
| 2,31
| 3,36
| 5,04
|
| 2,023
| 2,708
| 3,558
|
| 2,26
| 3,25
| 4,78
|
| 2,016
| 2,692
| 3,527
|
| 2,23
| 3,17
| 4,59
|
| 2,009
| 2,679
| 3,502
|
| 2,20
| 3,11
| 4,44
|
| 2,001
| 2,662
| 3,464
|
| 2,18
| 3,06
| 4,32
|
| 1,996
| 2,649
| 3,439
|
| 2,16
| 3,01
| 4,22
|
| 1,991
| 2,640
| 3,418
|
| 2,15
| 2,98
| 4,14
|
| 1,987
| 2,633
| 3,403
|
| 2,13
| 2,95
| 4,07
|
| 1,984
| 2,627
| 3,392
|
| 2,12
| 2,92
| 4,02
|
| 1,980
| 2,617
| 3,374
|
| 2,11
| 2,90
| 3,97
|
| 1,960
| 2,576
| 3,291
|
| 2,10
| 2,88
| 3,92
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения.
№1. В итоге пяти измерений некоторой детали получены следующие результаты
(в мм): 52, 54, 53, 55, 56. Найти несмещённые оценки для математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения.
№2. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,99 неизвестного математического ожидания нормально распределённого признака Х генеральной совокупности, если объём выборки равен 25, выборочное среднее равно 16,8, а среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности равно 5.
| -2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| №3. Из генеральной совокупности извлечена выборка
Найти доверительный интервал для математического ожидания с надёжностью 0,95.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Статистическое оценивание. Стр. 2
Домашнее задание к практической работе №12.
№1. Из генеральной совокупности извлечена выборка
Найти несмещённые оценки генерального среднего и дисперсии.
№2. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределённого признака Х генеральной совокупности, если объём выборки равен 50, выборочное среднее равно 20, а генеральное среднее квадратическое отклонение равно 6.
№3. Произведено 5 независимых опытов над СВ Х, распределённой нормально. Получены следующие результаты опытов: -25, -20, 10, 21, 34. Найти доверительный интервал для математического ожидания с надёжностью 0,99.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Статистическое оценивание. Стр. 3
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2025 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|