СКАЛЯРНЫЙ И ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Мы показали, что ротор магнитного поля отличен от нуля. Такое поле нельзя описывать потенциалом φ, так как оно непотенциально, работа по замкнутому контуру сил поля отлична от нуля.

Для описания магнитного поля вводят векторный потенциал , причем

(5.13)

Векторный потенциал , также как и скалярный φ, определяется неоднозначно. Для однозначного его определения необходимо задать граничные условия.

Подобно уравнению Пуассона для скалярного потенциала φ ( ), запишем уравнение для векторного потенциала для поля постоянного тока. В выражение для закона полного тока в дифференциальной форме

подставим , учитывая, что для постоянного тока , . Имеем:

.

Известно из математики, что Дивергенция от ротора равна нулю, , тогда , или

где - оператор Лапласа.

Подставим выражение (5.13) в уравнение Максвелла для :

Это соотношение можно переписать в виде

Так как ротор вектора равен нулю, этот вектор можно представить в виде градиента некоторой функции φ:

Функция φ называется скалярным потенциалом электромагнитного поля. В нестационарном случае она зависит от радиус-вектора точки и времени t. Потенциалы φ и имеют одинаковую размерность.

Таким образом, напряженность электрического поля в общем случае определяется не только скалярным потенциалом φ, но и векторным потенциалом

(5.14)

Второе слагаемое обусловлено явлением электромагнитной индукции. В случае стационарного поля =0, и выражение (5.14) переходит в известное в электростатике

Найдем уравнения, с помощью которых можно вычислить потенциалы и φ для поля в однородной и изотропной среде с постоянными диэлектрической ε и магнитной проницаемостью μ. Возьмем второе уравнение Максвелла

где - скорость света в среде, имеем

Из третьего уравнения Максвелла . Подставим и :

Но, учитывая, что и , имеем

или

(5.15)

Уравнения (5.15) – это и есть искомые уравнения для и φ.

Потенциалы и φ определяются неоднозначно, поэтому имеется некоторая свобода в их выборе. В частности, например, к можно прибавить произвольный постоянный вектор , а к φ - произвольную постоянную без того, чтобы изменились значения и . Выбор потенциалов следует осуществлять наиболее удобным для данного случая образом. Такой наиболее целесообразный выбор потенциалов называется их калибровкой.

Рассмотрим самый общий вид калибровочных преобразований потенциалов и φ, при которых поля и остаются неизменными. Поле не изменится, если к добавить градиент произвольной скалярной функции f (ротор градиента равен нулю), т.е. перейти от к

(5.16)

Чтобы при этом не изменилось электрическое поле ( ), нужно совершить переход от φ к φ΄

(5.17)

где f - та же функция. Поле , определяемое потенциалами φ΄ и , в этом случае равно

.

Здесь использовано

Таким образом, эти преобразования не меняют полей и . Все уравнения, описывающие поля, должны быть инвариантными по отношению к калибровочным преобразованиям. Эта инвариантность называется калибровочной или градиентной инвариантностью.

На практике часто применяется калибровка, называемая условием Лоренца:

(5.18)

Для поля в вакууме условие Лоренца принимает вид:

Покажем, что условие (5.18) может быть удовлетворено надлежащим выбором функции f в формулах (5.16) и (5.17). Для этого подставим в уравнение (6) значения φ΄ и , определяемые этими формулами:

здесь Получаем уравнение для нахождения функции f

где - есть заданная функция и t. Подставив функцию f , получающуюся из решения этого уравнения, в формулы (5.16) и (5.17), мы найдем значения потенциалов φ΄ и , удовлетворяющие условию (5.18).

Условие Лоренца сильно ограничивает набор значений потенциалов, пригодных для описания данного поля, но все же не делает выбор потенциалов вполне однозначным. Действительно, не нарушая условия (5.18), можно осуществить преобразования

(5.19)

при этом оба набора потенциалов предполагаются удовлетворяющими условию Лоренца. Функция ψ является решением уравнения

(5.20)

Действительно, подставив в левую часть выражения (5.18) вместо и φ штрихованные потенциалы из (5.19), получим выражение

которое согласно (5.18) и (5.20) равно нулю. Таким образом, если и φ принадлежат к лоренцевой калибровке, то и определяемые преобразованиями (5.19) потенциалы и φ` принадлежат той же калибровке. Это обстоятельство позволяет наложить на потенциалы кроме условия (5.18) еще одно дополнительное условие. Например, можно потребовать, чтобы . Для этого, согласно второму из уравнений (5.18), достаточно выбрать функцию ψ так, чтобы ее производная по времени была равна φ.

В качестве дополнительного условия также может быть принято требование

(5.21)

Из (5.19) следует, что поэтому для выполнения требования необходимо соблюдение равенства месте с тем, из (5.20) имеем поэтому, если взять в качестве ψ решение уравнения и подставить это решение в (5.19), мы получим значения потенциалов φ΄ и , удовлетворяющие и условию Лоренца, и требованию (5.21).

Лоренцева калибровка, удовлетворяющая дополнительному условию (5.21) называется кулоновской или поперечной калибровкой. В случае этой калибровки скалярный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона

т.е. является кулоновским потенциалом (отсюда и название «кулоновская калибровка»).

УРАВНЕНИЕ ДАЛАМБЕРА

При соблюдении условий ((5.18) последнее слагаемое в первом из уравнений (5.15) обращается в ноль. Кроме того, производная по времени от имеет значение

следовательно,

(5.22)

(5.23)

Таким образом, вместо двух взаимосвязанных уравнений мы получили два раздельных уравнения, причем уравнения для и φ приобрели сходную форму.

Дифференциальное уравнение вида

(5.24)

называется уравнением Даламбера. Его можно записать очень компактно, если ввести оператор Даламбера

ٱ

Тогда уравнение (5. 24) принимает вид ٱ f=

В стационарном случае производные по времени обращаются в ноль, и уравнение Даламбера переходит в уравнение Пуассона.

С использованием символа ٱ (Даламбера) уравнения (5.22) и (5.23) принимают вид

ٱ ٱ

Эти уравнения описывают электромагнитные поля проще, чем уравнения Максвелла, поэтому бывает легче вычислить потенциалы и φ, а потом по формулам вычислить и .

Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле способно существовать в отсутствие электрических зарядов и токов. При этом уравнение его состояния обязательно носит волновой характер. Поле такого рода называют электромагнитными волнами.

Лекция 22

5.9.ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА В ИЗОЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЕ ПРОИЗВОЛЬНО ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ

Как всякий материальный объект, электромагнитное поле обладает импульсом, энергией и моментом импульса. Эти величины для поля сохраняются, если оно оказывается изолированным. Условие изолированности выполняется в тех случаях, когда в области существования поля нет электрических зарядов и токов. Такое поле называется свободным. Сохранение энергии, импульса и момента импульса изолированного поля является следствием однородности пространства и времени и изотропности пространства. При взаимодействии электромагнитного поля с зарядами и токами сохраняются суммарные величины для поля и заряженных частиц. Так, сохраняется полная сумма импульсов электромагнитного поля и заряженных частиц.

Поскольку поле всегда занимает некоторую область пространства, энергия, импульс и момент импульса всегда характеризуются их удельными значениями, т.е. соответствующей величиной, отнесенной к единице объема в данном месте пространства. Эти величины называются соответственно плотностью энергии w, импульса , и момента импульса . Каждая из этих функций зависит от времени t и радиус-вектора данной точки пространства.

Из уравнений Максвелла-Лоренца можно получить значения этих плотностей и законы их сохранения.

5.10. РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ ПОЛЕМ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ ЗАРЯДОВ

Определения кинетической и потенциальной энергии, а также импульса и момента импульса, данные в механике для материальной точки и системы материальных точек, отнюдь не распространяются на поля.

Рассмотрим систему заряженных материальных точек, взаимодействующих между собой. Такая система описывается уравнениями Максвелла-Лоренца. Пользуясь этими уравнениями, распространим понятия энергии и импульса на поля, находя величины, сохраняющиеся для изолированной системы поле - заряды. Макроскопические электрические заряды, так или иначе, связаны с материальными телами, на которых они расположены. Пусть частица массой

несет заряд . Тогда по второму закону Ньютона уравнения движения имеют вид:

. (5.25)

Умножим это выражение на , получим выражение для энергии

В правой части этого выражения стоит работа силы Лоренца. Она совершается только электрической составляющей этой силы, так как магнитная составляющая равна нулю ( векторы и коллинеарны).

Левую часть преобразуем с помощью тождества

.

Действительно, , тогда в левой части

в правой части

Тогда окончательно получаем

- элементарная работа силы Лоренца равна приросту релятивистской кинетической энергии заряженной материальной точки.

Просуммируем теперь элементарные работы по всем точкам системы и разделим на dt:

(5.26)

( здесь на dt разделили левую и правую части).

Формула (5.23) выражает теорему об изменении энергии системы материальных точек в единицу времени за счет работы поля, совершенной над ними. Выведенная формула для точечного заряда обобщается и на случай непрерывно распределенного в пространстве заряда. Для работы поля в единицу времени имеем:

причем - плотность тока, - заряд одного носителя, - число носителей в единице объема. Тогда

. (5.27)

Мощность, заключенная в единице объема ( плотность мощности) равна

Итак, за счет работы поля изменяется кинетическая энергия находящихся в поле заряженных частиц. При этом энергия поля превращается в кинетическую энергию частиц.

5.11. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ПЛОТНОСТЬ И ПОТОК ЭНЕРГИИ. ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Найдем энергию электромагнитного поля по заданным значениям векторов и . Для этого используем уравнения Максвелла

Умножим первое уравнение на , второе – на получаем

Из равенства (5.28) вычтем (5.29), имеем

(5.30)

Из математики известно, что

Левая часть выражения (5.30) есть частная производная по времени от функции Тогда имеем:

или

Проинтегрируем это выражение по объему V:

Преобразуем: Получаем

(5.31)

Но - работа поля за единицу времени в пределах конечного объема V. Тогда - плотность энергии электромагнитного поля. Она равна сумме плотностей энергий электрического и магнитного полей. - плотность потока энергии, называемая вектором Пойтинга. Этот вектор направлен в сторону перемещения энергии и по абсолютному значению равен энергии, которая в единицу времени переносится полем через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно потоку.

Тогда энергия поля в заданном объеме V равна

Поток энергии поля через замкнутую поверхность в единицу времени определяет полную мощность излучения системы зарядов и равен

Таким образом, равенство (5.31) – это математическое выражение закона изменения энергии электромагнитного поля. Его можно переписать в виде:

(5.32)

(W не зависит от координат точек поля и частную производную можно заменить полной). Теорема (5.32) читается так: убыль энергии в некотором объеме равна потоку энергии, выходящему из объема, и работе , совершаемой полем над зарядами в этом объеме. В дифференциальной форме эта теорема имеет вид:

В области, где нет зарядов и токов ( ), плотность электромагнитной энергии связана с ее потоком уравнением непрерывности:

(5.33)

Это уравнение является локальным выражением закона сохранения энергии для электромагнитного поля при отсутствии зарядов. Оно выражает теорему Пойтинга.

Проинтегрируем (5.33) по объему V, ограничивающему поверхность s:

Таким образом, при отсутствии зарядов убыль энергии поля в объеме V в единицу времени равна интегральному потоку энергии через поверхность, ограничивающую этот объем.

Если потока энергии через границы поля нет, , и энергия поля убывает, если - заряды движутся под действием сил поля. Если же , то энергия поля растет, но в этом случае работают не силы поля, а сторонние силы, не сводящиеся к силе Лоренца.

5.12. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ИЗОЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ПОЛЕ – ЗАРЯДЫ

Рассмотрим изолированную систему поле-заряды. Изолированность системы следует понимать как отсутствие потока энергии через ограничивающую ее поверхность и отсутствие потока массы , который тоже уносил бы энергию. В таком случае убыль энергии электромагнитного поля в единицу времени равна

- работе, совершаемой полем над зарядами.

Ясно, что работа, производимая над зарядами, является мерой превращения энергии поля в другие виды: в кинетическую энергию заряженных частиц и тел, потенциальную энергию деформации, внутреннюю энергию среды и т.д. Для дискретной системы зарядов

тогда подставляя в (5.31) выражение (5.25), получаем

.

Из этого выражения следует, что

В последнем равенстве объем V может быть или конечным, или охватывать все пространство. Это соотношение выражает закон сохранения энергии в изолированной системе поле-заряды: в изолированной системе поле-заряды сохраняется сумма энергии поля и релятивистской энергии заряженных материальных точек.

5.13. ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Просуммируем все уравнения движения частиц, находящихся в поле, в выражении (5.24)

.

Будем считать распределение зарядов в пространстве непрерывным, поэтому сумму заменим интегралом по объему системы:

(5.34)

Подставим значения и из уравнений Максвелла:

. (5.35)

Чтобы в правой части этого равенства получить производную по времени, дополним его слагаемым . Это равенство всегда равно нулю, так как , т.е. , тогда

Таким образом, равенство (5.35) не нарушается. Кроме того, добавим еще . Очевидно, , так как . Получаем:

Сгруппируем:

Подставив в выражение (5.34), получаем

В случае изолированной системы поле-заряды второй и третий интегралы можно свести к поверхностным, и при интегрировании по всему пространству они дают 0. В результате имеем

,

или

(5.36)

- это закон сохранения импульса для изолированной системы поле-заряды.

Величина

(5.37)

есть плотность импульса.

Выражение (5.36) можно сформулировать так: в изолированной системе поле-заряды полный импульс, равный релятивистскому импульсу заряженных частиц и импульсу электромагнитного поля, сохраняется.

Из выражения (5. 37) следует, что плотность импульса отлична от нуля только в том случае, если существуют оба поля и , непараллельные друг другу.

Взаимодействие между заряженными телами осуществляется посредством поля. Это приводит к несохранению импульса замкнутой механической системы материальных точек, если система обменивается импульсом с полем так, что импульс поля изменяется. В такой системе может не выполняться третий закон Ньютона. Например, излучающее, рассеивающее, отражающее или поглощающее электромагнитные волны тело испытывает со стороны поля действие силы, т.к. импульс тела меняется, но эта сила не имеет противодействующей – к полю не может быть приложена сила.

Обладая импульсом, электромагнитное поле оказывает давление на тела, с которыми взаимодействует. Примером тому – световое давление.

Плотность момента импульса электромагнитного поля найдем по правилу, известному из механики:

где - радиус-вектор точки, в которой определяются и . Умножая (5.37) векторно справа на , получаем закон сохранения момента импульса в изолированной системе поле-заряды:

.

Из (5.37) следует, что .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: