Бесконечно большие функции

Основные элементарные функции

Основными элементарными функциями являются:

1) степенная функция: R;

частные случаи:

а) (рис.1)

область определения – R;

множество значений – R;

б) (рис.2)

область определения – R;

множество значений – ;

б) (рис.3)

область определения – ;

множество значений – ;

в) (рис.4)

область определения – ;

множество значений – ;

рис.1 рис.2

рис.3 рис.4

2) показательная функция: (рис.5);

частный случай: ;

область определения – R;

множество значений – ;

3) логарифмическая функция: (рис.6);

частный случай: ;

область определения – ;

множество значений – R;

рис.5 рис.6

4) тригонометрические функции:

а) (рис.7)

область определения – R;

множество значений – ;

б) (рис.8)

область определения – R;

множество значений – ;

в) (рис.9)

область определения – , Z;

множество значений – R;

г) (рис.10)

область определения – , Z;

множество значений – R;

рис.7 рис.8

рис.9 рис.10

5) обратные тригонометрические функции:

а) (рис.11)

область определения – ;

множество значений – ;

б) (рис.12)

область определения – ;

множество значений – ;

в) (рис.13)

область определения – R;

множество значений – ;

г) (рис.14)

область определения – R;

множество значений – .

рис.11 рис.12

рис.13 рис.14

Гиперболические функции:

1) гиперболический синус (рис.15);

2) гиперболический косинус (рис.16);

3) гиперболический тангенс (рис.17);

4) гиперболический тангенс (рис.18).

рис.15 рис.16

рис.17 рис.18

Пример 1. Найдите область определения функций:

1) ; 2) .

Решение.

1) Учитывая область определения функции , получим:

: .

2) Учитывая область определения функций и , получим систему неравенств:

Решая полученную систему методом интервалов (рис.19), получим искомую область определения функции : .

рис.19

Ответ: 1) ; 2) .

1.2. Преобразования графика функции. Числовые промежутки

Преобразования графика функции

1. График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси Oy на единиц (вверх, если , и вниз, если ).

2. График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси Oх на единиц (вправо, если , и влево, если ).

3. График функции получается из графика функции растяжением (сжатием) вдоль оси Oy в k раз ( раз), если ( ).

4. График функции получается из графика функции сжатием (растяжением) вдоль оси Oх в m раз ( раз), если ( ).

5. График функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси Ох.

6. График функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси Оу.

7. График функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси Ох части графика, находящегося в нижней полуплоскости.

8. График функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси Ох части графика, находящегося в верхней полуплоскости.

Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть a и b – действительные числа, причем .

Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

– отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

– интервал (открытый промежуток);

– полуоткрытые интервалы;

бесконечные интервалы (промежутки):

; ;

Пусть a – любое действительное число (точка на числовой прямой). – окрестностью точки называется интервал , где – сколь угодно малое положительное число. Число а называется центром окрестности, а число – радиусом окрестности.

Если , то выполняется неравенство (рис.20а).

Если , то неравенство определяет проколотую – окрестность точки (рис.20б).

рис.20а рис.20б

1.3. Бесконечно малые функции. Предел функции в точке. Свойства пределов

Бесконечно малые функции

Определение. Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при , если для любого сколь угодно малого положительного числа существует положительное число такое, что для всех x из проколотой – окрестности точки выполняется неравенство .

Это определение можно кратко записать так:

– б.м.ф. при

Свойства бесконечно малых функций:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция.

3. Произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

4. Произведение бесконечно малой функции на число есть бесконечно малая функция.

5. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Предел функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке (или при ), если разность является бесконечно малой функцией при , т.е. если , где – б.м.ф. при , то .

Определение 2. Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует положительное число такое, что для всех x из проколотой – окрестности точки выполняется неравенство , т.е. .

Это определение можно кратко записать так:

Из определения 1 следует, что если число А является пределом функции в точке (или при ), то функцию можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции при . Верно и обратное, т.е.

, где – б.м.ф. при .

Если функция – бесконечно малая функция при , то ее предел в точке равен нулю, т.е. .

Геометрический смысл предела функции в точке: , если для любой – окрестности точки найдется такая – окрестность точки , что для всех из этой – окрестности соответствующие значения функции лежат в – окрестности точки . Точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми и (рис.21).

рис.21

Свойства пределов функций:

Пусть функции и имеют пределы при : и . Тогда:

1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

2. Функция может иметь только один предел при .

3. Предел числа равен этому же числу:

число.

4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

6. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

7. Предел частного двух функций равен частному их пределов, если предел делителя не равен нулю:

8. Если – сложная функция, то .

1.4. Предел функции при . Бесконечно большие функции

Определение. Пусть функция определена в промежутке . Число А называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , что при

всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. .

Это определение можно кратко записать так:

Бесконечно большие функции

Определение. Функция называется бесконечно большой функцией (б.б.ф.) при , если для любого числа существует такое число , что для что для всех x из проколотой – окрестности точки выполняется неравенство .

Коротко:

– б.б.ф. при

Например, функция – б.б.ф. при .

Определение. Функция называется бесконечно большой функцией (б.б.ф.) при , если для любого числа существует такое число , что для что для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. .

Коротко:

– б.б.ф. при

Например, функция – б.б.ф. при и б.м.ф. при , т.е. при и . При и .

Многочлен n-ой степени – б.б.ф. при , т.е. .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями: если функция – бесконечно малая при ( ), то функция – бесконечно большая при , и наоборот, если функция – бесконечно большая при , то функция – бесконечно малая при :

;

Для того чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения этой функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение.

Пример 2. Вычислите пределы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) Подставляем вместо его предельное значение 3, получим

2) Знаменатель дроби при является бесконечно малой величиной, тогда по теореме о связи бесконечно малой и бесконечно большой функциями получим

3) Знаменатель дроби при является бесконечно большой величиной, тогда по теореме о связи бесконечно малой и бесконечно большой функциями получим

Ответ. 1) 8; 2) 0; 3) .

1.5. Раскрытие неопределённостей вида .

Раскрытие неопределенностей вида , , ,

Далеко не всякая подстановка предельного значения в функцию вместо независимой переменной может сразу привести к нахождению предела. Случаи, в которых подстановка предельного значения в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями; к ним относятся неопределенности видов

, , , , , , .

Устранить, т.е. раскрыть, неопределенность удается часто с помощью алгебраических преобразований.

Неопределенность вида

Рассмотрим пределы вида с неопределенностью вида , где и – многочлены степени n и m соответственно.

Правило 1. Для раскрытия неопределенности вида необходимо вынести за скобку в числителе и знаменателе дроби с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность устраняется.

Правило 2.

1) Если степень n числителя больше степени m знаменателя дроби , т.е. , то ;

2) если , то ;

3) если , то , где и – старшие коэффициенты многочленов и соответственно.

Пример 3. Вычислите .

Решение.

1-й способ. . Вынося за скобку и в числителе и в знаменателе в наибольшей степени, получим

2-й способ. Степени числителя и знаменателя дроби равны, тогда по правилу 2 получим

Ответ: .

Пример 4. Вычислите .

Решение.

1-й способ. . Вынося за скобку и в числителе и в знаменателе в наибольшей степени, получим

2-й способ. Степень числителя меньше степени знаменателя ( , ), тогда по правилу 2 получим

Ответ: 0.

Пример 5. Вычислите .

Решение.

1-й способ. . Вынося за скобку и в числителе и в знаменателе в наибольшей степени, получим

2-й способ. Степень числителя больше степени знаменателя ( , ), тогда по правилу 2 получим

Ответ: .

Пример 6. Вычислите .

Решение. . Чтобы выяснить, какова наибольшая степень среди слагаемых дроби, следует сначала вынести с наибольшим показателем степени в выражениях под знаком радикала:

Наибольшая степень вторая; вынося за скобку , получим

Ответ: .

1.6. Раскрытие неопределённостей вида .

Неопределенность вида

Случай 1. Рассмотрим пределы вида с неопределенностью вида , где и – многочлены степени n и m соответственно.

Правило 1. Для раскрытия неопределенности вида необходимо разложить и числитель и знаменатель дроби на множители. После сокращения дроби на множитель неопределенность устраняется. Правило можно применять неоднократно.

Замечание. Если число является корнем многочлена , то многочлен можно разложить на множители по формуле , где – многочлен степени n-1, полученный делением «уголком» многочлена на . Также многочлен можно разложить на множители методом группировки слагаемых. Если квадратный трехчлен имеет корни и , то разложение этого трехчлена на множители примет вид .

Пример 7. Вычислите .

Решение. Имеем неопределенность вида . Знаменатель имеет корни и . Разложив числитель и знаменатель дроби на множители, получим

Ответ: .

Пример 8. Вычислите .

Решение. Имеем неопределенность вида . Числитель имеет корни и . Используя метод группировки слагаемых, получим разложение знаменателя на множители:

Тогда

Ответ: .

Случай 2. Рассмотрим пределы вида с неопределенностью вида , где функции и (или одна из них) содержат иррациональность.

Правило 2. Для раскрытия неопределенности вида необходимо избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на сопряженный множитель. После сокращения дроби на множитель неопределенность устраняется.

Замечание. Для иррациональности сопряженный множитель имеет вид , при этом . Для иррациональности сопряженным является множитель , при этом .

Пример 9. Вычислите .

Решение. Имеем неопределенность вида . Для того чтобы избавиться от иррациональности, умножим и числитель и знаменатель дроби на сопряженный множитель . Тогда

Ответ: .

Пример 10. Вычислите .

Решение. Имеем неопределенность вида . Для того чтобы избавиться от иррациональности, умножим и числитель и знаменатель дроби на сопряженные множители и . Тогда

Ответ: .

Пример 11. Вычислите .

Ответ: .

1.7. Первый замечательный предел

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: