ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРВЛЕНИЮ.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Рассмотрим функцию:

Th.1 Пусть :

1. g(x) определена в , функция f(t) определена в , где .

2. g(x) дифференцируема в точке (т.е. ).

3.

Тогда :

(1)

Доказательство:

а) пусть n=1. g(x) дифференцируема в точке

, . Причем

.

Пусть при :

(*)

Т.к. непрерывна в точке при

. Кроме того

= переходим к пределу в (*)при :

б) n>1. Это частный случай пункта а), т.к. рассматриваемая функция т.е. имеем y=g(x).

, т.к. ч. и т. д.

Выпишем формулу (1) для всех частных случаев: n=1, k=2:

ПРИМЕР.

.

n=2, k=2:

Пусть , где

ПРИМЕР.

.

Замечание 1. Пусть сложная функция вида где

А

При определенных условиях эта сложная функция является сложной функцией своих аргументов .

При этом частные производные указанной сложной функции по аргументам выражаются через частные производные функции

и через частные производные функции Апо следующим формулам:

Эти формулы обозначим за В.

Замечание 2. Частный случай, когда функции А зависят от одного аргумента t. Тогда мы имеем сложную функцию одной переменной t:

, где

Производная этой сложной функции определяется формулой:

df.1 Пусть ,

и удовлетворяет условиям Th.1 в точке . Тогда

- полная производная.

Доказательство формулы следует из Th.1 при . При .

Th.2 (Инвариантность формы записи первого дифференциала)

Пусть y=g(x) – дифференцируема в точке - дифференцируема в точке

1. Сложная функция y=g(x(t))=F(t) – дифференцируема в точке .

2. (Б/Д).

ЗАМЕЧАНИЕ.

Пусть функция f(x), дифференцируема во всех точках некоторого открытого множества . Тогда в каждой точке можно вычислить дифференциал: .

Он будет функцией 2n переменных причем при

фиксированных дифференциал есть линейная функция . Правила дифференцирования такие же, как и для функции одной переменной.

а)

б)

в) , если .

Докажем б).

Из Th о дифференцируемости сложной функции следует, что функция

U(x)V(x) дифференцируема, если дифференцируемы U(x) и V(x). Далее имеем: =

= .

ПРИМЕР.

Найти дифференциал функции .

Решение. Пусть , тогда:

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

Пусть дана функция . Определенные ранее частные производные называют также частными производными первого порядка.

Пусть теперь для -ет частная производная по в точке . Тогда называют частными производными второго порядка.

Аналогично. Частной производной порядка называется частная производная (по любой переменной ) от частной производной порядка .

Частная производная, полученная дифференцированием по различным переменным, называется смешанной.

Например: и т.д.

Пусть , т.е. - определена в некоторой области E. - также являются функциями двух переменных и определены в области E или ее части.

Частные производные по x и y от функций в точке (x,y) если они существуют, называются частными производными второго порядка в точке (x,y) и т.д.

Аналогично определяются частные производные более высокого порядка.

Для функции , f определена в области E, z=f(x,y) –частные производные третьего порядка определяются формулами:

ПРИМЕР.

.

Имеем: , , , .

В этом примере смешанные частные производные равны друг другу. Вообще говоря, значения смешанных производных зависит от порядка, в котором производится последовательные дифференцирования.

Нетрудно заметить, что число частных производных с увеличением порядка возрастает. Однако, некоторые из них при наличии условий совпадают.

Th.1 Пусть определена вместе со своими частными производными в окрестности до порядка ”m”.

Пусть смешанные частные производные m-го порядка непрерывны в точке .

Тогда смешанные частные производные порядка ”m” не зависят от порядка дифференцирования. (Б/Д).

Следует отметить, что это условие достаточное.

Перефразируем Th.1 для случая функции двух переменных.

n=2 m=1:

Пусть определены в точке непрерывны в точке . Тогда, частные производные . (Б/Д).

df.1 Пусть имеет на G непрерывные частные производные до порядка ”m” включительно. Это обозначаем: .

ПРИМЕР.

.

.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

Пусть = и (дифференцируема в окрестности точки ) , .

Рассмотрим дифференциал:

- это дифференциал первого порядка. (1)

df.1 Вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) функции в (.) определяется как дифференциал в (.) от дифференциала первого порядка при следующих условиях:

1. рассматривается как функция только независимых переменных (при вычислении дифференциала от нужно рассматривать как постоянные множители).

2. При вычислении дифференциалов от приращения независимых переменных берутся такими же, как и в выражении для , т.е. равными .

На основании этого определения получается формула (2):

,

где .

Формулу (2) можно записать в более компактном виде. Введем следующие понятия. Символ будем называть оператором частной производной по переменной . При действии этого оператора на функцию получается новая функция – частная производная .

Аналогично определяется оператор частной производной по .

Определим степени и производные степеней операторов следующим образом:

оператор второй частной производной по .

При действии его на функцию получится .

оператор смешанной второй производной по .

оператор смешанной производной го порядка раз по и раз по .

Символ назовем оператором дифференциала.

При действии этого оператора на функцию получается дифференциал функции:

Определим ю степень оператора дифференциала как ю степень двучлена . В частности, при , получаем:

При действии оператора на функцию получится второй дифференциал функции.

Формулу (2) запишем в операторном виде:

Дифференциал произвольного ого порядка функции определяется индуктивно по формуле:

, при выполнении всех условий, ранее сформулированных.

в операторной форме.

df.2 Дифференциалом порядка “m” функции f в точке

называется дифференциал от дифференциала порядка “m-1” при тех же предположениях, что и в предыдущем определении.

Th.2 Пусть функция , тогда :

(Б/Д).

СЛЕДСТВИЕ.

(n=2) Пусть , тогда :

, где

(Б/Д).

В частности если функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то, воспользовавшись теоремой о равенстве смешанных производных, получаем:

Применим формулу (1) к получаем:

Поэтому

В силу непрерывности смешанных производных они равны и поэтому (2)

Если в некоторой области G функция U имеет непрерывные частные производные третьего порядка, то при фиксированных дифференциал , как функция от имеет в области G дифференциал, которым по отношению к исходной функции называется ее дифференциал третьего порядка или третьим дифференциалом и обозначается через .

Из (2) легко найдем

(3)

По методу математической индукции легко убедиться, что (при фиксированных ) и для дифференциала ого порядка справедлива формула:

Дадим сокращенную символическую запись дифференциалов высших порядков.

Для этого в выражении 1-ого дифференциала условно «вынесем букву U за скобки»

Если в выражении также условно «вынести U за скобки», то оставшиеся в скобках выражения (формально в скобках в раскрытом виде квадрат двучлена) (4). Правую часть этой формулы следует понимать как двучлен, стоящий в скобках, формально следует возвести в квадрат и результат умножить на U, причем U следует поставить рядом с .

Аналогично можно записать символический третий дифференциал:

Вообще при будем иметь символическое равенство:

(5)

Правую часть следует понимать так же, как и в равенстве (4). Двучлен, стоящий в скобках, формально возводится по формуле бинома Ньютона в ю степень с последующей заменой степеней , умноженных на U, частными производными функции U соответствующих порядков.

Формулу (5) легко обобщить и на случай функции число переменных.

При выполнении соответствующих условий будем иметь:

ЗАМЕЧАНИЕ.

Если ввести формально дифференциальный оператор:

(1)

то выражение для дифференциалов можно записать в удобной символической форме:

Под произведением дифференциальных операторов понимается их последовательное применение. Например, если , то

(2)

; При применении дифференциальных операторов вида (1) нужно пользоваться правилом (2). При этом дифференциалы независимых переменных перемножаются как вещественные числа.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Для дифференциалов высших порядков инвариантность формы записи не сохраняется.

Th.3 (Формула Тейлора)

Пусть функция

Справедлива формула Тейлора:

, где .

Следует иметь ввиду . (Б/Д).

Если n=2 , тогда справедлива формула Тейлора:

+ .

. Если - в форме Пеано.

Следует иметь ввиду: , где

.

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРВЛЕНИЮ.

df,1 Пусть (дифференцируема в точке ), . Рассмотрим прямоугольную декартовую систему координат с базисом . Тогда вектор, координаты которого имеют вид:

- называется градиентом функции f в токе .

Пусть - ортонормированный базис прямоугольной декартовой системы координат.

Тогда . Часто используют символическую запись, вводя, векторный оператор Гамильтона (гамильтонян или набла).

, тогда (т.е. произведение числа на вектор ).

Частные производные, определенные нами ранее, можно назвать производными в направлении координатных осей.

Поставим вопрос о производных по любому фиксированному направлению.

1) Рассмотрим функцию f(x,y,z) определенную в .

2) Дан вектор .

3) .

z L

●

●

y

Пусть , L – прямая, , -некоторый вектор.

df.1 , если он существует называется производной f(x,y,z) в точке по направлению вектора .

Обозначение: .

Пусть - единичный вектор. - направляющие вектора, косинусы вектора .

Th.1 Пусть f(x,y,z) дифференцируема в точке . Тогда существует и .

Доказательство:

Очевидно, , с другой стороны , тогда:

(1)

Рассмотрим функцию , f(x,y,z) удовлетворяет теореме о производной сложной функции. Тогда, =

= .

Но из (1) следует , т.е. = (2)

Можно записать так:

(3)

Следует отметить, что не зависит от выбора системы координат. Можно показать, что наличие производных по любому направлению не является достаточным условием дифференцируемости функции f(x,y,z). Из (3) также следует, независимость от выбора системы координат (т.к. не зависит). В (3) - угол между достигает максимума при (т.е. ) т.е. при совпадении направления с направлением , причем производная в этом направлении равна . Таким образом, для дифференцируемой функции показывает направление наибыстрейшего роста функции f , причем это направление единственно.

Формальные свойства градиента:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

df.2 Плоскость называется касательной к поверхности z=f(x,y) в точке ,

.

Такая плоскость для дифференцируемой в точке функции f(x,y) существует. Это следует из определения дифференцируемой функции.

(1) , касательная плоскость имеет вид:

(2)

Уравнение (2) единственно, т.к. представление (1) для дифференцируемой функции единственно. При этом нормальный вектор плоскости из уравнения (2).

(3)

т.е. геометрический смысл дифференциала – приращение аппликаты, касательной к графику функции, при переходе от точки к точке .

df.3 Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно к касательной плоскости в этой точке, т.е. уравнение:

(4)

Рассмотрим поверхность, заданную уравнением F(x,y,z,)=0 (5)

(где F имеет непрерывные частные производные), то считая z неявной функцией x и y и дифференцируя это равенство по x и по y, получим:

Т.е. за нормальный вектор можно взять:

Уравнение плоскости касательной в точке имеет вид:

(6)

Следовательно, что уравнение нормали (т.е. перпендикуляра к касательной плоскости в точке ) имеет вид:

(7)

Формулы (6)и (7)имеют силу лишь для неособых (ординарных) точек поверхности.

Точка поверхности F(x,y,z)=0 называется неособой, если в ней не обращаются в нуль.

Можно показать, что в достаточно малой окрестности неособой точки уравнение F(x,y,z)=0 однозначно разрешимо относительно одной из координат, причем это решение имеет непрерывные частные производные.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: