Понятие многочлена. Операции над многочленами.

Глава 2. Многочлены и рациональные дроби

Многочлены.

Понятие многочлена. Операции над многочленами.

1.1.1. Определение. Пусть F — некоторое числовое множество (например, это может быть множество действительных чисел R или множество комплексных чисел C). Тогда выражение f(x) вида

a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n-1x+a_n, (1.1.1)

где a₀, a₁, ... , a_n-1, a_n — элементы множества F, x — некоторая переменная величина из, вообще говоря, произвольного (необязательно F) числового множества, называется многочленом над F. При этом, если a₀¹0, то n называется степенью многочленаf(x) и обозначается через ст.f(x).

Многочлены будем обозначать также через g(x), h(x) и т.д., иногда снабжая их индексами: f₁(x), f₂(x) и т.д.

Иногда многочлен будем записывать в виде

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀. (1.1.1¢)

Наконец, для того, чтобы подчеркнуть степень многочлена, его обозначают через P_n(x), Q_m(x) и т.д. Здесь n и m - степени соответственно P_n(x) и Q_m(x).

Многочлен может быть записан не только в виде (1.1.1) и (1.1.1¢), то есть в порядке понижения степеней, но и в произвольном порядке их следования. Если многочлен имеет вид (1.1.1) (соответственно, (1.1.1¢)), то говорят, что он записан в стандартном виде.

f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀, (1.1.2)

g(x)=b_mx^m+b_m-1x^m-1+...+b₁x+b₀ (1.1.3)

называются равными, если m=n и a_i=b_i для любого индекса i. В частности, степени равных многочленов равны.

1.1.5. Упражнение. Определить, равны ли многочлены:

а) f(x)=x⁴-2x³+3x²-4x+5 и g(x)=x⁴-x³+3x²-4x+5;

б) f(x)=x⁴-2x³+3x²-4x+5 и g(x)=x⁴+3x²-4x-2x³+5.

Решение. а) Данные многочлены не равны, так как коэффициенты при x³ у них различны.

б) Данные многочлены равны, так как равны все коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

1.1.6. Упражнение. Какие из следующих многочленов равны между собой:

f(x)=0,5x³+2x²-5х+7;

g(x)=lg x³+ x²+ х+7;

h(x)=sin30^o×x³+lg100×x²- х+ ;

s(x)=cos120^o×x³+ ×x²+ х+ ;

p(x)=cos90^o×x+5;

q(x)=5.

1.1.7. Упражнение. При каких значениях a, b, c многочлены f(x)=ax⁴+bx³+3x²+5 и g(x)=x³+(c-1)x²+5 равны между собой?

1.1.8. Определение. Пусть n>m. Суммой многочленов (1.1.2) и (1.1.3) называется многочлен h(x), обозначаемый как f(x)+g(x) и такой, что

h(x)=c_nxⁿ+c_n-1x^n-1+...+c₁x+c₀,

где c_n=a_n+b_n, c_n-1=a_n-1+b_n-1, ... , c₁=a₁+b₁, c₀=a₀+b₀. При этом если n>m, то считаем b_m+1, b_m+2, ... b_n равными нулю.

1.1.9. Определение. Произведением многочленов (1.1.2) и (1.1.3) называется многочлен h(x), обозначаемый как f(x)g(x) и такой, что

h(x)=d_n+mx^n+m+d_n+m-1x^n+m-1+...+d₁x+d₀,

где d_i= , i=0, 1, ... , n+m-1, n+m (например, d₀=a₀b₀, d₁=a₀b₁+a₁b₀, d₂=a₀b₂+a₁b₁+a₂b₀ и т.д.)

1.1.10. Теорема. Пусть f(x), g(x) иh(x) — многочлены. Справедливы следующие свойства операций сложения и умножения многочленов:

1. ст.(f(x)+g(x)) не выше максимального из ст.f(x) и ст.g(x).

2. ст.(f(x)g(x))=ст.f(x)+ст.g(x).

3. f(x)+g(x)=g(x)+f(x).

4. f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x).

5. Существует такой многочлен 0(x), чтоf(x)+0(x)=f(x) для любого f(x). 0(х)называется нулевым. Роль нулевого многочлена играет 0.

6. Для любого многочленаf(x) существует многочленg(x) такой, что f(x)+g(x)=0. g(x) называется противоположным к f(x) и обозначается через -f(x). Ясно, что если f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n-1x+a_n, то -f(x)=-a₀xⁿ-a₁x^n-1-...-a_n-1x-a_n.

7. f(x)g(x)=g(x)f(x).

8. f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x).

9. Существует такой многочлен e(x), чтоf(x)e(x)=f(x) для любого f(x). e(x) называется единичным. Роль единичного многочлена играет 1.

10. (f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x).

1.1.11. Определение. Разностью многочленов f(x) и g(x) называется многочлен h(x), обозначаемый через f(x)-g(x) и равный f(x)+(-g(x)). Таким образом, по определению полагаем f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x)).

1.1.12. Упражнение. Даны многочлены f(x)=3x³+2x²-5 и g(x)=4x⁴-x³+2x²-x. Найти:

а) f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x);

б) f(x)g(x)+f ²(x).

Решение. а) Согласно определению суммы многочленов f(x) и g(x) имеем

f(x)+g(x)=(0+4)x⁴+(3+(-1))x³+(2+2)x²+(0+(-1))x+(-5+0)=4x⁴+2x³+4x²-x-5.

Далее, -g(x)=-4x⁴+x³-2x²+x. Поэтому

f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))=-4x⁴+4x³+x-5.

Наконец, согласно определению произведения имеем

f(x)g(x)=(3×4)x⁷+(3×(-1)+2×4)x⁶+(3×2+2×(-1)+0×4)x⁵+

+(3×(-1)+2×2+0×4+(-5)×4)x⁴+(3×0+2×(-1)+0×2+(-5)×(-1))x³+

+((-5)×2+0×(-1)+2×0))x²+((-5)×(-1)+0×0)x+(-5)×0=

=12x⁷+5x⁶+4x⁵-19x⁴+3x³-10x²+x.

б) Заметим, что по свойству 10) имеем

f(x)g(x)+f ²(x)=(f(x)+g(x))f(x).

Поэтому

f(x)g(x)+f ²(x)=(4x⁴+2x³+4x²-x-5)(3x³+2x²-5)=

=12x⁷+14x⁶+16x⁵-15x⁴-27x³-30x²+5x+25.

Ответ:а) f(x)+g(x)=4x⁴+2x³+4x²-x-5,

f(x)-g(x)=-4x⁴+4x³+x-5,

f(x)g(x)=12x⁷+5x⁶+4x⁵-19x⁴+3x³-10x²+x.

б) f(x)g(x)+f ²(x)=12x⁷+14x⁶+16x⁵-15x⁴-27x³-30x²+5x+25.

1.1.12. Упражнение. Даны многочлены f(x)=2x³-3x²+7х+1 и g(x)=3x²+2x+5. Наиболее рациональным способом найти:

а) f(x)±g(x), f(x)g(x);

б) f(x)g(x)+f (x), f ²(x)-f (x).

1.2. Делимость многочленов.

1.2.1. Теорема. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) существуют такие многочлены q(x) и r(x), что

f(x)=g(x)q(x)+r(x), (1.2.1)

причем степень r(x) меньше степени q(x) или r(x)=0. Многочлены q(x) и r(x) определяются однозначно.

Многочлен q(x) называется частным от деленияf(x) наg(x), а r(x) — остатком.

Укажем два метода нахождения частного и остатка.

1. Метод деления “уголком”. Этот метод проиллюстрируем на следующем примере.

1.2.2. Пример. Найти частное от деления многочлена f(x)=3x⁴-2x³+x²-x-1 на многочлен g(x)=x²-3.

Решение. Будем вести запись процесса деления аналогично записи деления “уголком” целых чисел, пронумеровав каждый этап деления в круглых скобках. Итак:

(1) 3x⁴-2x³+x²-x-1| x²-3

3x² (берем по 3x² )

(2) _3x⁴-2x³+x²-x-1| x²-3

(умножаем 3x² на g(x)) ® 3x⁴-9х² 3x²

(вычитаем из f(x) 3x⁴-9х²)® -2x³+10x²-x-1

(3) _3x⁴-2x³+x²-x-1| x²-3

3x⁴-9х² 3x²-2х(берем по -2x)

_-2x³+10x²-x-1

(умножаем -2x на g(x)) ® -2x³+6х

(вычитаем -2х³+6х из -2x³+10х²-х-1)® 10x²-x-1

(4) _3x⁴-2x³+x²-x-1| x²-3

3x⁴-9х² 3x²-2х+10(берем по 10)

-2x³+10x²-x-1

-2x³+6х

_10x²-x-1

(умножаем 10 на g(x)) ® 10x²-30

-7х+29 остаток

Таким образом, частное от деления q(x)=3x²-2х+10, остаток r(x)=-7х+29. При этом 3x⁴-2x³+x²-x-1=(x²-3)(3x²-2х+10)+(-7х+29).

2. Метод неопределенных коэффициентов также проиллюстрируем на предыдущем примере. Так как ст.f(x)=4 и ст.g(x)=2, то ст.q(x)=2, поэтому q(x)=аx²+bх+c. Далее, ст.r(x)<ст.g(x), поэтому r(x)=dx+e. Следовательно, равенство (1.2.1) для данных многочленов (f(x) и g(x)) и искомых (q(x) и r(x)) принимает вид

3x⁴-2x³+x²-x-1=(x²-3)(аx²+bх+c)+(dx+e). (1.2.2)

Выполнив операции в правой части и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему

решая которую, получаем

то есть имеем q(x)=3x²-2х+10 и r(x)=-7х+29.

1.2.3. Упражнение. Выполнить деление с остатком (двумя методами):

а)2x⁴-3x³+4x²-5х+6 на x²-3x+1;

б) x³-3x²-x-1 на 3x²-2x+1;

в) x⁴-2x³+4x²-6х+8 на х-1;

г) 2x⁵-5x³-8x на х+3;

д)4x³+x² на х+1+i;

е) x³-x²-х на х-1+2i.

1.2.4. Определение. Если в представлении (1.2.1) r(x)=0, то говорят, что f(x) делится на g(x) нацело или что g(x) делитf(x).

1.2.5. Упражнение. При каких значениях а многочлен f(x) делится на многочлен g(x).

а) f(x)=х⁴+ах+6, g(x)=х²+2;

б) f(x)=x⁶+x³+а, g(x)=x³+2.

Р е ш е н и е. а) Разделим “уголком”:

_х⁴+ах+6 |х²+2

x⁴+2x² x²+(a-2)

_(a-2)x²+6

(a-2)x²+2(a-2)

6-2(a-2)

Таким образом, f(x) делится на g(x), если остаток 6-2(a-2)=0, откуда а=5.

Ответ: а) при а=5.

Корни многочленов.

1.3.1. Определение. Если

f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ — (1.3.1)

многочлен над числовым множеством F, cÎF, то

f(a)=a_naⁿ+a_n-1a^n-1+...+a₁a+a₀ —

элемент из F. f(a) называется значнием многочлена f(x) при х=a. Если f(a)=0, то a называется корнем многочленаf(x).

1.3.2. Упражнение. Пусть дан многочлен f(x)=x³-3x+2. Найти:

а) f(2); б) f(1); в) f(-2); г) f(-1); д) f(-3); е) f(4).

Решение. а) f(2)=2³-3×2+2=4; б) f(1)=1³-3×1+2=0 (в частности, 1 — один из корней многочлена f(x)=x³-3x+2).

Ответ: а) f(2)=4; б) f(1)=0.

1.3.3. Упражнение. Найти многочлен второй степени f(x), если:

а) f(2)=6; f(1)=1; f(-1)=9;

б) f(3)=4; f(-1)=1; f(1)=2;

в) f(-2)=6; f(-1)=-1; f(-2)=5.

Решение. а) По условию имеем, что искомый многочлен имеет вид f(x)=ax²+bx+c. Поэтому f(2)=4a+2b+c, f(1)=a+b+c и f(-1)=a-b+c. Следовательно, для нахождения коэффициентов многочлена f(x)=ax²+bx+c необходимо решить систему Ее решением является а=3, b=-4 , c=2.

Ответ: f(x)=3x²-4x+2.

1.3.4. Упражнение. Найти корни многочлена f(x):

а) f(x)=3х-4;

б) f(x)=2x³+8x²-10х;

в) f(x)=x⁴-2x³+x²;

г) f(x)=-x³+x²-4x+4 .

Решение. Для нахождения корней многочлена достаточно решить уравнение f(x)=0.

а) Решением уравнения 3х-4=0 является х= . Следовательно, — корень многочлена 3х-4.

б) Решениями уравнения 2x³+8x²-10х=0 являются х₁=0, х₂=-5, х₃=1. Следовательно, 0, -5, 1 — корни многочлена 2x³+8x²-10х.

О т в е т: а) ; б) 0, -5, 1.

1.3.5. Теорема. a — корень многочлена f(x) тогда и только тогда, когдаf(x)=(х-a)g(x) для некоторого многочлена g(x).

1.3.6. Теорема (основная теорема алгебры).Всякий многочлен n-й степени, где n>0, имеет по крайней мере один корень (действительный или комплексный).

Из теорем 1.3.5 и 1.3.6 вытекает

1.3.7. Следствие. Всякий многочлен P_n(x) n-й степени, где n>0, имеет в точностиn корней; и если a₁, a₂, …, a_n - все корни многочлена, то его можно представить в виде

P_n(x)=a₀(x-a₁)(x-a₂)…(x-a_n), (1.3.2)

гдеa₀ - старший коэффициент многочлена.

1.3.8. Определение. Представление многочлена в виде (1.3.2) называется разложением его на линейные множители.

1.3.9. Упражнение. Разложить на линейные множители многочлены упражнения 1.3.4.

Решение. б) Так как корнем многочлена 2x³+8x²-10х являются х₁=0, х₂=-5, х₃=1, то 2x³+8x²-10х=2(х-0)(х+5)(х-1), то есть

2x³+8x²-10х=2х(х+5)(х-1).

Ответ: б) 2x³+8x²-10х=2х(х+5)(х-1).

1.3.10. Упражнение.Разложить на линейные множители многочлены:

а) x⁴-2x²+1;

б) x³+2x²-x-2;

в) x³-7x-6;

г) x⁴+x³-11x²-9x+18;

д) x⁵+9x⁴+27x³+23x²-24x-36.

Решение. г) Заметим, что х=1 - корень многочлена. Поэтому, разделив его (многочлен) на х-1, получим

x⁴+x³-11x²-9x+18=(х-1)(x³+2x²-9x-18).

Далее, множитель x³+2x²-9x-18 разложим, группируя слагаемые и вынося за скобку общий множитель:

x³+2x²-9x-18=(x³+2x²)-(9x+18)=x²(x+2)-9(x+2)=(x²-9)(x+2).

Наконец, x²-9=(x-3)(x+3) как разность квадратов. Окончательно получаем

x⁴+x³-11x²-9x+18=(х-1)(x+2)(x-3)(x+3).

Ответ: x⁴+x³-11x²-9x+18=(х-1)(x+2)(x-3)(x+3).

1.3.11. Определение.Если в разложении (1.3.2) многочлена какой-либо корень встречается в точности k раз, то этот корень называется корнем кратностиk. Если k=1, то корень называется простым.

С учётом кратностей корней разложение (1.3.2) можно записать в виде

, (1.3.3)

где a₁, a₂, …, a_k - попарно различные корни многочлена, k₁ - кратность корня a₁, k₂ - кратность корня a₂, и т.д. Ясно, что k₁+k₂+…+k_r=n.

Например,

(х-3)(х+5)(х-1)(х-1)(х+5)(х-2)(х-3)(х+5)(х-3)=(х-2)(х-3)³(х+5)³(х-1)².

Здесь 2- простой корень данного многочлена, 3 и -5 - корни кратности 3, 1 - корень кратности 2.

1.3.12. Теорема.Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами:

. (1.3.3)

При этом k₁+k₂+…+k_r+2(s₁+s₂+…+s_l)=n, и все квадратные множители x²+p_ix+q_i не имеют действительных корней (другими словами, их дискриминанты отрицательны: -4q_i<0.

1.3.13. Определение.Представление многочлена в виде (1.3.3), где -4q_i<0, называется разложением многочлена на неприводимые множители; соответственно, x-a_i (i=1, …, r), x²+p_jx+q_j (j=1, …, l) - неприводимые множители многочлена.

1.3.14. Упражнение.Разложить на неприводимые множители с действительными коэффициентами многочлены.

а) x⁴+x³-x-1;

б) x⁴+x³-11x²-9x+18. (Указание: сгруппировать первые 2 слагаемые и 3-е, 4-е, 5-е слагаемые отдельно и заметить, что х=2 - корень многочлена).

Рациональные дроби.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: