Радиальное уравнение. Главное и орбитальное квантовые числа.
Основы квантовой физики атомов.
Водородоподобные атомы. Уравнение Шредингера для электрона в водородоподобном атоме.
Водородоподобные атомы представляют собой системы, состоящие из ядра, заряд которого и одного электрона (заряд ). Примеры: Н, D, T, He+, Li++ и т.д.
Рассмотрим систему, состоящую из ядра и электрона. Потенциальная энергия взаимодействия ядра и электрона равна
.
Движение двух частиц осуществляется вокруг общего центра масс, тогда ( ),
кинетические энергии и .
Отношение энергий ядра и электрона для атома водорода
.
В приближении прямоугольной потенциальной ямы минимальная энергия обратно пропорциональна массе частицы
.
Поэтому ядро можно считать неподвижной частицей, создающей потенциальную яму для электрона.
Потенциальная энергия электрона в атоме водорода
Уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона в водородоподобном атоме с учетом вида
,
где - полная энергия электрона;
или
,
где - оператор Лапласа:
.
Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид:
.
Уравнение Шредингера в сферических координатах для электрона в водородоподобном атоме
Движения по координатам в сферически симметричном поле являются независимыми, и функцию можно представить в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной:
или ,
- радиальная функция, описывающая радиальное движение электрона,
- угловая функция, описывающая вращение электрона относительно ядра в водородоподобном атоме (ротатор).
Полную энергию электрона можно представить в виде:
Уравнение Шредингера примет вид
Разделим это выражение почленно на , получим:
Это уравнение содержит слагаемые, зависящие от , и . Вследствие независимости движений по координатам , это уравнение должно выполняться при любых значениях и при их независимом изменении. Оно распадается на части, зависящие от и от :
- радиальная часть
или после преобразований
;
- угловая часть
или
- это оператор Лежандра,
- оператор момента импульса, поэтому угловое уравнение можно записать в виде
.
Применим оператор к :
,
т.к. и , где - орбитальное квантовое число.
Тогда можно записать
.
Собственные значения энергии
.
Таким образом, уравнение Шредингера можно представить в виде системы из двух уравнений, радиального и углового:
.
Радиальное уравнение. Главное и орбитальное квантовые числа.
Мы получили радиальное уравнение:
;
или
,
т.к. ,
где - полная энергия электрона.
Радиальная функция имеет вид:
,
где .
- полином Лагерра, имеющий ( ) корней,
Из свойств полиномов Лагерра следует, что решение существует только при .
В системе координат, вращающейся с электроном потенциальная энергия электрона будет:
.
Второе слагаемое этого выражения –потенциальная энергия в поле центробежных сил.
Если энергия электрона , то его движение инфинитно.
Если , то электрон находится в потенциальной яме (его движение финитно).
По теории Бора
и .
Эти результаты подтверждаются опытом, и для квазиклассического случая (при больших n) является справедливым
.
Тогда по Бору
,
где ,
.
Откуда , следовательно, .
При , при . Отсюда следует, что .
Суть проблемы: в квантовой яме микрообъект не может покоиться.
Основное состояние электрона в атоме водорода: , , .
Это состояние сферически симметрично, т.е. зависит только от . Для нахождения необходимо решить радиальное уравнение:
,
Решением этого уравнения будет функция вида:
.
Находим
; .
Подставляя эти выражения в радиальное уравнение, получим:
,
или
.
Для того, чтобы это равенство выполнялось при любых , коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны нулю:
при , откуда ;
при , откуда .
Тогда .
Строгое решение уравнения Шредингера для основного состояния электрона в атоме согласуется с выводами теории Бора.
С теорией Бора не совпадает следующее: орбитальное движение электрона полностью отсутствует, но радиус Бора, как параметр волновой функции есть.
Волновая функция для электрона в основном состоянии в атоме водорода:
.
Вероятность локализации электрона в некотором объеме
.
Вследствие сферической симметрии, распределение плотности вероятности зависит от модуля радиуса , независимо от его направления. Поэтому элемент объема целесообразно выбрать в виде сферического слоя между радиусами и :
.
Тогда
, где .
Функция имеет максимум при
Значение можно найти из условия , т.е.
.
Откуда . - это радиус первой боровской орбиты.
Первая боровская орбита соответствует области, где плотность вероятности локализации электрона в зависимости от модуля радиуса максимальна.
Тогда
.
Из условия нормировки:
следует, что . И волновая функция имеет вид:
.
Для водородоподобного атома .
При - электрон принимает любые значения кинетической энергии – он свободе.
При полная энергия электрона в водородоподобном атоме
.
- главное квантовое число, оно определяет энергию электрона в атоме.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|