Статистическая оптимизация процессов управления

Курс « Статистические основы документационного управления»

Знания о поведении объекта в процессе его эксплуатации могут быть получены с помощью пассивного и активного эксперимента.

Пассивным называют эксперимент, при проведении которого экспериментатор не вмешивается в процесс функционирования изучаемого объекта. Его роль заключается лишь в том, чтобы снять информацию с функционирующего объекта и обработать ее в соответствии с принятой математической моделью объекта. Однако проведение даже простых наблюдений за объектами затрудненно из-за технико-экономических изобретений, т.е. большие потери времени и средств. Поэтому возникает проблема получения необходимых сведений об объекте при минимальном числе опыта. Изучением этой проблемы занимается математическая теория планирования эксперимента, которая представляет собой раздел математической статистики.

Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и условий проведения опыта, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Решение подобных задач по силам лишь активному эксперименту, под которым понимают опыты, постановка которых осуществляется по заранее принятой программе. Чем активнее вмешательство в исследуемый процесс, тем больше информации можно извлечь для построения математической модели процесса и его управления. Планирование эксперимента особенно эффективно в применении к так называемым "плохо организованным" системам, т.е. таким, в которых невозможно четко выделить отдельные доминирующие факторы (явления). Таким образом, при активном эксперименте исследователь вмешивается в исследуемый процесс, а при пассивном его роль сводится только к наблюдению.

В активном эксперименте изучаются и анализируются отклики (реакции) на варьируемые (изменяемые) экспериментатором параметры, а в пассивном - отклики, сопровождающие естественный ход исследуемого процесса.

Планирование эксперимента целесообразно лишь в тех случаях, когда четко ясна конечная цель исследования. Реальная система управления характеризуется влиянием большого числа факторов. Часть из них мы не контролируем, другие просто не можем вовремя предусмотреть и изменить. Вследствие этого выходные параметры объекта характеризуются случайными величинами.

Обработать их можно только статистическими методами, которые широко используются как при активном, так и пассивном эксперименте.

Как правило, объект оптимизации теории планирования эксперимента рассматривают как "черный ящик", имеющий к – входов и m - выходов.

Входы называют факторами, их мы можем задать и измерить. Выходы "черного ящика" называют параметрами оптимизации. Их тоже можно измерить или оценить. То, что внутри "черного ящика", считается неизвестным. Фактор принято обозначать буквой Х, а параметры оптимизации У. Х и У могут принимать различные значения, и они называются их уровнями. Композиция, составленная из всех сочетаний уровней факторов определяет все возможные состояния "черного ящика". Множество значений, которые могут принимать Х и У, называется областью их определения. Области определения могут быть дискретными и непрерывными, а также ограниченными и неограниченными.

Варьируя факторы Хi на разных уровнях, мы всякий раз на выходе "черного ящика" будем получать некоторые значения параметров оптимизации Уi, характер изменения которых определяется свойствами исследуемого объекта. Изменения Уi в зависимости от Хi могут быть описаны математическим соотношением. Например:

Уj = fj (Х₁, Х₂ ……Хn)

j = 1, 2………..m.

Эту систему уравнений можно считать математической моделью исследуемого объекта. Функцию fj называют функцией отклика или целевой функцией. Задача поиска оптимальных условий поведения исследуемого объекта может быть сформулирована для двух случаев:

1) определить условия поведения объекта, при которых несколько параметров оптимизации принимают определенные значения. Это многокритериальные задачи.

2) Определение одного оптимального параметра оптимизации (его называют целевой функцией).

Оптимизировать систему сразу по нескольким параметрам невозможно, поэтому при многокритериальных задачах вводят один обобщенный параметр оптимизации

,

где j_i - весовой коэффициент, показывающий степень важности данного параметра

.

Планировать эксперимент можно только при управляемых факторах. При этом надо выбрать те факторы, влияние которых является определяющим. И, кроме того, они должны быть совместимыми и желательно независимыми.

Совместимость факторов характеризуется возможностью практической реализации любой их комбинации. А независимость - отсутствие между ними корреляции.

После того, как определены влияющие факторы, приступают к планированию эксперимента. При планировании эксперимента для каждого фактора выбирают два уровня, на которых они варьируются в эксперименте. Уровень, на котором фактор принимает большее значение, называется верхним уровнем, а меньшее значение - нижним уровнем. Ровно посередине располагается основной уровень. Разность между верхним уровнем и основным, а также между основным и нижним называется интервалом варьирования. При выборе интервала варьирования какого-либо фактора имеют место два рода ограничений:

1) ограничение снизу, заключающееся в том, что интервал варьирования не может быть меньше ошибки измерения уровня факторов.

2) ограничение сверху, заключающееся в том, что как верхний, так и нижний уровень не должны выходить за область определения фактора.

Для упрощения записи условий эксперимента и удобства последующего анализа полученных результатов масштабы факторов выбираются так, чтобы нижнему уровню соответствовало -1, верхнему +1, основному уровню - 0.

Для количественных факторов это достигается с помощью следующего преобразования:

, то есть переходим к кодированному значению факторов,

где - натуральное значение фактора,

Х_j0 - натуральное значение основного уровня,

- интервал варьирования для j - фактора.

В зависимости от природы исследуемого объекта параметры оптимизации могут быть: экономическими, технико-экономическими, статистическими, психологическими , техническими и т.д.

К экономическим относят: прибыль, себестоимость.

К технико-экономическим: производительность, надежность.

К техническим: выход годного продукта, его качество.

Экспериментатору всегда удобнее иметь дело с целевой функцией, выраженной количественно одним числом, но это не всегда представляется возможным.

Если параметр оптимизации невозможно оценить количественно, то используют ранговый подход. В этом случае параметрам ставят в соответствие, т.е. приписывают, некоторые оценки (ранги). Делается это априорно. Экспериментатор приписывает качественному признаку некоторое число рангов. Ранг - количественная оценка У. Она носит субъективный характер и в этом ее основной недостаток. Это ранжирование дает возможность перейти от качественных к приближенным количественным оценкам. Например: двухбалльная шкала используется для оценки годных и бракованных изделий (0 и 1), или пятибалльная шкала для оценки знаний учащихся. Ранговый подход характеризуется дискретной ограниченной областью определения. Он менее точен и чувствителен, чем физический подход, и поэтому используется для приближенных оценок.

Математические модели при планировании эксперимента

В математической теории планирования эксперимента широкое распространение получили алгебраические полиномы, называемые уравнениями регрессии. Они представляют собой наиболее простой и результативный способ представления формальных математических моделей.

Применение полиномиальных моделей особенно эффективно при изучении объектов, зависящих от многих факторов, механизм действия которых не известен исследователю. Уравнение регрессии У , записанное, например, для двух факторов выглядит

y = bо + b₁x₁+b₂ x₂+b₁₂ x₁ x ₂ .

При выборе моделей основная задача состоит в том, чтобы подобрать такой полином, который с необходимой точностью удовлетворял бы требованиям к математическим моделям и содержал возможно меньшее количество коэффициентов.

Минимизация числа коэффициентов уравнения регрессии важна потому, что при прочих равных условиях для определения меньшего числа коэффициентов требуется меньше опытов.

А это составляет основную цель и преимущество активного эксперимента. Главное требование математической модели - это ее способность предвидеть отклики тех состояний объектов, где эксперимент не проводился, т.е. предсказывать с требуемой точностью направление дальнейших опытов, и, в конечном счете , указывать в факторном пространстве последовательность точек, в которых необходимо проводить эксперимент для достижения искомого оптимума с минимальным числом опытов. Направление движения в факторном пространстве, приводящее к наискорейшему улучшению целевой функции (вплоть до достижения ее оптимума) называется направлением градиента.

Градиент показывает направление на вершину или впадину функции в зависимости от того, куда мы стремимся. Полином первой степени может задать такое направление. Эта модель содержит минимальное число коэффициентов и является простейшей моделью.

Чтобы использовать линейную модель для поиска оптимума целевой функции, надо проверить ее адекватность (идентичность). Адекватной называют такую математическую модель, если предсказанные с ее помощью значения функции отклика не отличаются от фактических больше, чем на некоторую заранее заданную величину (погрешность). Адекватная модель показывает направление градиента, в котором и ставят последующие опыты с целью достижения оптимума.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: