Алгоритм решения задач методом 2–х узлов

Пособие

Для практических работ по курсу « Электротехника и основы электроники»

Богатырев В.В., доцент кафедры «Теоретическая и общая электротехника»

Методы расчета электрических цепей

Цепи постоянного и однофазного переменного тока

Рассматриваемые методы расчета применимы как для цепей постоянного, так и переменного тока. Расчет цепей переменного синусоидального тока выполняется с использованием символического метода.

Метод непосредственного применения 1 и 2 законов Кирхгофа.

1 закон Кирхгофа – « Алгебраическая сумма токов, проходящих через узел равна нулю». Σ Iк = 0

2 закон Кирхгофа - «В замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях равна алгебраической сумме ЭДС того же контура». Σ Uк = Σ Eк.

Узел – точка, где сходятся 3 и более ветвей.

Ветвь – участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.

Контур – замкнутая конфигурация цепи, проходящая через несколько узлов и ветвей.

Алгоритм решения задач этим методом.

1. Определить общее число уравнений.

Оно равно числу ветвей. m = в.

2, Определить число уравнений по 1 закону Кирхгофа.

Оно равно числу узлов минус 1. m1 = у – 1

3. Определить число уравнений по 2 закону Кирхгофа. m2 = m – m1

4. Указать произвольно направления токов в ветвях.

5. Составить уравнения по 1 закону Кирхгофа.

6. Указать произвольно направления обхода независимых контуров.

Независимым называется контур, в котором хотя бы одна ветвь не входит в другие контуры.

7. Составить уравнения по 2 закону Кирхгофа.

8. Решить систему уравнений.

9. Скорректировать направления токов в ветвях. Если ток получился со знаком минус, изменить его направление на противоположное.

10. Проверить результат по уравнению баланса мощностей.

Сумма мощностей всех источников, работающих в режиме генерирования, равна сумме мощностей всех потребителей энергии.

Если ЭДС источника и ток через него совпадают по направлению – источник работает в режиме генерирования.

Если они противоположны по направлению - источник работает в режиме потребления.

Задача.

Определить токи в ветвях методом непосредственного применения законов Кирхгофа

1. Общее число уравнений m = 3.

2. Число уравнений по 1 закону Кирхгофа m1 = 2 – 1 = 1.

3. Число уравнений по 2 закону Кирхгофа m2 = 3 – 1 =2.

4. Указываем направления токов в ветвях (сплошными стрелками).

5. Составляем уравнение по 1 закону Кирхгофа.

I1 + I2 – I3 = 0

6. Указываем направления обхода контуров.

7. Составляем уравнения по 2 закону Кирхгофа.

R1 I1 - R2 I2 = E1 + E2

R2 I2 + R3 I3 = - E2

8. Решаем систему уравнений.

I1 + I2 – I3 = 0

6 I1 - 4 I2 = 144

4 I2 + 4 I3 = - 64

Результат I1 = 14А; I2 = - 15А; I3 = - 1А.

9. Корректируем направления токов I2 и I3 (стрелки пунктирной линией).

10. Проверка

Оба источника работают в режиме генерирования.

Σ Pист =Σ Pпотр

E1 I1 + E2 I2 = R1 I1² + R2 I2² + R3 I3²

2080 = 2080

Получили тождество, следовательно, решение верно.

Недостаток метода – при большом количестве ветвей, большое число уравнений.

Метод контурных токов

Предполагается, что все независимые контуры обтекаются контурными токами.

Задача сводится к определению контурных токов и последующим определением токов в ветвях.

Алгоритм решения задач методом контурных токов

1. Выбрать независимые контуры.

2. Указать (по часовой стрелке) направления контурных токов.

3. Составить систему канонических уравнений.

R11 I11 + R12 I22 + R13 I33 = E11

R21 I11 + R22 I22 + R23 I33 = E22

R31 I11 + R32 I22 + R33 I33 = E33

4. Определить собственные сопротивления контуров (R11, R11, R11).

Они равны арифметической сумме всех сопротивлений, входящих в контур.

5. Определить общие сопротивления смежных контуров (R12 = R21, R13 = R31, R32 = R23). Они равны сопротивлениям ветвей на границе контуров со знаком минус. Если контуры не граничат, то эти сопротивления равны 0.

6.Определить собственные ЭДС контуров (E11, E22, E33). Они равны алгебраической сумме ЭДС, входящих в контур. Если ЭДС направлена против контурного тока, она берется со знаком минус.

7. Решить систему уравнений.

8. Если контурный ток получился со знаком минус, изменить его направление на противоположное.

9. Определить токи в ветвях.

10. Проверить результат по уравнению баланса мощностей.

Задача.

Определить токи в ветвях методом контурных токов.

1. Выбираем 2 контура.

2. Указываем направления контурных токов (сплошными стрелками).

3. Составляем систему канонических уравнений.

R11 I11 + R12 I22 = E11

R21 I11 + R22 I22 = E22

4. Определяем собственные сопротивления контуров.

R11 = R1 + R2 = 10 Ом; R22 = R2 + R3 = 8 Ом;

5. Определяем общие сопротивления смежных контуров.

R12 = R21 = - R2 = - 4 Ома

6.Определить собственные ЭДС контуров.

E11 = E1 + E2 = 144 В; E22 = - E2 = - 64 В

7. Решаем систему уравнений.

I11 =14 А; I22 = - 1 А

8. Меняем направление тока I22 на противоположное (стрелка пунктирной линией)

9. Определяем токи в ветвях.

I1 = I11 =14 А; I2 = I11 + I22 = 15 А; I3 = I22 =1 А

10. Проверяем результат по уравнению баланса мощностей

Оба источника работают в режиме генерирования.

Σ Pист =Σ Pпотр

E1 I1 + E2 I2 = R1 I1² + R2 I2² + R3 I3²

2080 = 2080

Получили тождество, следовательно, решение верно.

Метод позволяет уменьшить количество уравнений при небольшом количестве независимых контуров.

Недостаток – метод применяется только для расчета линейных цепей.

Метод 2-х узлов

Метод является частным вариантом метода узловых потенциалов. Применяется только в цепях с 2-мя узлами.

Алгоритм решения задач методом 2–х узлов

1. Направить токи от узла в к узлу а.

2.Указать направление напряжения Uав узла а к узлу в.

3. Определить Uав

Uав = ( Σ ± Eк Gк) / Σ Gк, где Gк = 1/ Rк – проводимость

Знак минус, если ЭДС противоположна току.

4.Определить токи в ветвях.

Iк = ( ± Eк – Uав ) / Rк

Знак минус, если ЭДС противоположна току.

5. Если ток получился со знаком минус, изменить его направление на противоположное.

6. Проверить результат по уравнению баланса мощностей.

Задача.

Определить токи в ветвях методом 2-х узлов.

1. Направляем токи от узла в к узлу а(стрелки сплошной линией).

2.Указываем направление напряжения Uав узла а к узлу в

3. Определяем Uав.

4. Определяем токи в ветвях.

5. Меняем направление тока I2 (стрелка пунктирной линией).

10. Проверяем результат по уравнению баланса мощностей

Оба источника работают в режиме генерирования.

Σ Pист =Σ Pпотр

E1 I1 + E2 I2 = R1 I1² + R2 I2² + R3 I3²

2080 = 2080

Получили тождество, следовательно, решение верно.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: