Численные методы решения нелинейных уравнений
Цель работы: изучить решения систем нелинейных уравнений в среде MathCAD.
Теоретические сведения
Для решения нелинейных уравнений (нелинейных систем) можно рекомендовать метод Ньютона, который относится к классу приближенных или итерационных методов. Идея метода состоит в приближенной замене нелинейной системы линейной, которая решается методом Гаусса.
Метод Ньютона рассмотрим на примере системы из двух уравнений:
1) Выбираем начальное приближение (с помощью графика или пробных расчетов). Пусть (х1(0), х2(0)) – начальное приближение.
2) Строим линейную систему
где частные производные вычисляются в точке (x1(0), x2(0)), h1, h2 – приращения для x1, x2.
Решив систему, находим h1 и h2 и вычисляем следующее приближение:
x1(1) = x1(0)+h1
x2(1) = x2(0)+h2.
Если | |<ε, то считается, что решение с требуемой точностью найдено. Если нет, то повторяем снова для x1(1) и x2(1) и т. д.
Задание. (Исходные данные в приложении 5.).
1. Найти начальное приближение.
2. Решить задачу с помощью MathCAD.
3. Записать результат.
Пример расчета.
f1 = x1 + 0.3029 Ln(x1) – x22 = 0; (1)
f2 = 2x12- x1x2 – 5x1 + 1 = 0; (2)
ε = 0,01.
1. Поиск начального приближения.
Для поиска начального приближения преобразуем уравнение
Составим таблицу начальных приближений для х1
Х1
|
|
|
|
| (1’) Х2
|
| 1,7
| 2,1
| 2,4
| (2’) Х2
| -2
| -0,5
| 1,3
| 3,25
| | ↑
| ↑
| ↑
| ↓
|
Вычисляем левые части уравнений при различных х1. Решение где-то при 3 < х < 4. Например, возьмем х1 = 3,4.
При х1 = 3,4 получаем:
х2 = 2,23 из (1’)
х2 = 2,1 из (2’),
т.е. 2,1 ≤ х2 ≤ 2,23. Например, возьмем х2 = 2,2.
Итак, в качестве начального приближения мы выбрали:
x1(0) = 3,4; x2(0) = 2,2.
2. Вычисление приращения.
Вычисляем значения функции из (1’), (2’) при полученных x1, x2.
f1 (3,4; 2,2)= 0,1544;
f2 (3,4; 2,2)= - 0,3600.
Мы не получили решение с точностью ε = 0,01, то нужно уточнить значения x1, x2. Для этого строим матрицу частных производных:
.
Решаем систему:
h1 = 0.0899; h2 = 0.0633.
3. Вычисление следующих приближений для x1, x2.
x1(1) = x1(0) + h1 = 3,4 + 0,0899 = 3,4899;
x2(1) = x2(0) + h2 = 2,2 + 0,0633 = 2,2633.
f1 (3,4899; 2,2633)= -0,00417;
f2 (3,4899; 2,2633)= 0,0106.
Вновь не получили решение с точностью ε = 0,01, поэтому необходимо еще построить матрицу частных производных уже по новым значениям x1, x2 и повторить все дальнейшие действия
.
4. Решение с помощью MathCad
Искомым переменным x1 и x2 присваиваем найденное вручную начальное приближение. Затем в блоке Given записываем выражения функций приведенных к виду f(x) = 0 при помощи панелей инструментов «Арифметика» и «Булево» (рис. 1, 2).
Рис. 1 Панель «Арифметика»
Рис. 2 Панель «Булево»
После этого с помощью функции Find найти значения переменных. Решенная задача в MathCAD будет выглядеть следующим образом:
;
| .
|
Контрольные вопросы и задания
1. Какой метод применяется для решения систем нелинейных уравнений?
2. Назовите способы нахождения начального приближения.
3. В каком блоке записываются ограничения в виде равенств или неравенств?
Лабораторная работа № 6
Моделирование стационарных режимов
Цель работы: изучить моделирование стационарных режимов.
Теоретические сведения
Понятие статических систем, как правило, не существует. Речь может идти о стационарных состояниях или режимах функционирования какой-либо системы, которая в каждый момент под действием внешних воздействий может выйти из этого состояния.
Стационарное состояние является основным рабочим режимом непрерывных технологических процессов.
Существуют 2 класса исследования стационарных состояний:
1) Задача анализа – определение неизвестных режимных переменных системы, при которых достигается заданное стационарное состояние.
2) Задача оптимального синтеза – выбор оптимального стационарного состояния среди множества возможных.
Таким образом, видим, что первая задача – это составная часть второй. Решением первой задачи является конечный набор числовых значений.
Основа моделей стационарных режимов – уравнение материального и энергетического баланса в системе. Всегда входной поток материи равен выходному потоку. Накопления не происходит.
Состояние системы называется стационарным (статическим), если параметры системы не изменяются во времени.
Рассмотрим технологическую систему, в которой происходит обработка некоторого продукта. В схеме возможны рециклы (т.е. возврат части продукта на повторную обработку).
Задача состоит в том, чтобы при заданных значениях относительных интенсивностей материальных потоков между операциями Рi j составить модель схемы для нахождения нагрузки на каждую операцию.
Обозначим:
Рi j – доля потока, выходящего с i – операции и направляемая на j-операцию. Справедливы следующие соотношения:
.
П – объем выпускаемой продукции (единиц/час);
Ni – абсолютная интенсивность потока, выходящего с i-ой операции;
N0 – выход с нулевой операции (склад сырья);
Ri – коэффициент выхода с i-ой операции.
Тогда на основании условий материального баланса при отсутствии накоплений, выходной поток с каждой операции равен входному с поправкой на коэффициент выхода: Ni+1 = Ri+1 · Ni
Задание. (Исходные данные вприложении 6.)
1. Записать уравнения материальных потоков.
2. Решить систему с помощью MathCad.
3. Записать результат.
Примеры расчетов
Пример 1. Рассмотрим схему (рис. 1).
Рис. 1. Технологическая схема
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Полученное соотношение можно записать в виде:
.
Если число операций равно m, то имеем (m + 1) уравнений от (2m + 2) параметров N0, N1, N2, … , Nm, П, R1, R2, … Rm. Коэффициенты выхода обычно зависят от режимных параметров технологических операций. Если эти параметры заданы, то можно определить Rj. Среди оставшихся (m + 2) параметров должно быть задано либо N0, либо П. Оставшиеся (m + 1) параметры можно найти из системы.
Пример 2. Имеется каскад из двух химических реакторов (рис. 2), в которых происходит превращение исходного вещества в конечный продукт.
Рис. 2. Каскад реакторов
F– расход сырья (моль/час);
XF – концентрация исходного вещества в сырье (моль/м3).
Необходимо определить концентрацию исходного вещества в готовом продукте, т.е. долю не прореагировавшего вещества. Обозначим:
si - количество исходного сырья, расходуемого в 1 м3 объема i-го реактора за час;
Vi– объем i-го реактора, м3;
Ki – константа скорости реакции, определяемая по закону Аррениуса.
Уравнения баланса:
где V1 и V2 – объемы соответствующих аппаратов.
Получили два уравнения с четырьмя неизвестными. Заменим уравнение связи. Пусть .
Получим аналитическое решение:
Контрольные вопросы и задания
1. Какое состояние системы называется стационарным?
2. Назовите классы исследования стационарных состояний.
3. Запишите уравнение материального баланса.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|