Для расчёта разветвлённых цепей

Линейные разветвлённые электрические цепи

Постоянного тока

Законы Кирхгофа

Рассмотрим расчётную схему заданной электрической цепи (рис.2.1). Она имеет три ветви и два узла. В каждой ветви проходит ток определённой силы. Ветвь – это участок цепи, который состоит из последовательно соединённых элементов, включённых между двумя узлами. В свою очередь, узел – это точка, в которой сходятся не менее трёх ветвей.

Цепи, которые подобны цепи, приведенной на рис.2.1, называют разветвлёнными. Разветвлённые электрические цепи рассчитываются разными методами, в основу которых
положены законы Кирхгофа.

1-й закон Кирхгофа формулируется так: алгебраическая сумма сил токов в узле равна нулю, т.е.

. (2.1)

Условно принимают, что силы токов, которые входят в узел, берутся со знаком «+», а силы токов, которые выходят из узла, берутся со знаком «–».

Например, для узла а расчётной схемы электрической цепи, приведенной
на рис.2.1, уравнение по 1-му закону Кирхгофа имеет следующий вид:

I₁ + I₂ – I₃ = 0 .

2-й закон Кирхгофа формулируется так: в замкнутом контуре
электрической цепи ал­гебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме падений напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, т.е.

. (2.2)

Условно принимают, что э.д.с. и силы токов берутся со знаком «+»,
если их направления совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура; если не совпадают – со знаком «–».

Например, для контура a–d–b–c–а (рис.2.1), приняв направление обхода
по часовой стрелке, имеем:

Е₁ + Е₂ = R₁I₁ – R₂I₂ .

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое узел разветвлённой электрической цепи?

2. Что такое ветвь разветвлённой электрической цепи?

3. Приведите пример расчётной схемы разветвлённой цепи.

4. Сформулируйте 1-й закон Кирхгофа.

5. Запишите математически 1-й закон Кирхгофа.

6. Что такое условно положительное направление тока?

7. Когда условно положительное направление тока
является действительным направлением тока?

8. Обозначьте условно положительные направления токов
на приведенной расчётной схеме (пункт 3)
и запишите уравнение по 1-му закону Кирхгофа для одного из узлов.

9. Сформулируйте 2-й закон Кирхгофа.

10. Запишите математически 2-й закон Кирхгофа.

11. Запишите уравнения по 2-му закону Кирхгофа для одного из контуров
приведенной расчётной схемы (пункт 3).

Применение законов Кирхгофа

для расчёта разветвлённых цепей

Для решения задач анализа разветвлённых электрических цепей с помощью законов Кирхгофа необходимо составить уравнения электрического равновесия заданной расчётной схемы цепи в следующей последовательности:

1) выбрать произвольно направления токов
во всех ветвях схемы электрической цепи;

2) составить уравнения по 1-му закону Кирхгофа для узлов схемы цепи
(количество анализируемых узлов должно быть на один узел меньше,
чем суммарное количество узлов схемы цепи);

3) выбрать направления обходов всех независимых контуров схемы цепи;

4) составить уравнения по 2-му закону Кирхгофа
для всех независимых контуров схемы цепи;

5) решить полученную систему уравнений.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа на примере расчётной схемы цепи, приведенной на рис.2.2. Схема имеет шесть ветвей (m = 6) и четыре узла (n = 4).

Составляем уравнения

по 1-му закону Кирхгофа

(количество уравнений равно

n – 1 = 3):

для узла 1:

I₁ + I₆ – I₄ = 0 ;

для узла 2:

I₂ + I₄ – I₅ = 0 ;

для узла 3:

I₃ + I₅ – I₆ = 0 .

При составлении уравнений по 2-му закону Кирхгофа необходимо учитывать, что уравнения должны быть взаимно независимыми. Для этого контуры надо выбирать так, чтобы каждый контур (для которого составляется уравнение) невозможно было получить из контуров (для которых уже составлены уравнения) путём удаления из них общих ветвей. Например, контур 0–2–1–3–0 можно получить из контуров 0–1–2–0 и 0–1–3–0 путём удаления из них общей ветви 0–1.

Всего уравнений по 2-му закону Кирхгофа должно быть m – n +1 = 3.

Выбираем независимые контуры 0–1–3–0; 0–1–2–0 и 1–2–3–1. Составляем для них уравнения по 2-му закону Кирхгофа, выбрав направления обходов контуров по часовой стрелке:

для контура 0–1–3–0: R₁I₁ – R₆I₆ – R₃I₃ = Е₁ – Е₃ ;

для контура 0–1–2–0: R₂I₂ – R₄I₄ – R₁I₁ = Е₂ – Е₁ ;

для контура 1–2–3–1: R₄I₄ + R₅I₅ + R₆I₆ = 0 .

Таким образом, мы получили шесть уравнений с шестью неизвестными: I₁, I₂, I₃, I₄, I₅ и I₆ . Совместное решение этих уравнений позволяет получить значения сил токов во всех ветвях схемы цепи. Если при решении уравнений сила тока будет иметь отрицательное значение, то это означает, что направление тока на схеме цепи необходимо заменить на противоположное.

Вопросы для самоконтроля

1. Приведите последовательность анализа разветвлённой электрической цепи
с помощью законов Кирхгофа.

2. Сколько независимых уравнений по 1-му закону Кирхгофа можно записать
для расчётной схемы разветвлённой электрической цепи?

3. Сколько независимых уравнений по 2-му закону Кирхгофа можно записать
для расчётной схемы разветвлённой электрической цепи?

Метод контурных токов

Для более рациональных расчётов используют методы, в основу которых положены законы Кирхгофа. Рассмотрим метод контурных токов на примере схемы, представленной на рис.2.3.

Выбираем три независимых контура: 0–1–3–0; 0–1–2–0 и
1–2–3–1.

Допустим, что в каждом контуре проходят контурные токи I₁₁, I₂₂ и I₃₃, направленные по часовой стрелке.

Для каждого контура составляем уравнения по 2-му закону Кирхгофа. При этом учитываем, что в общей ветви независимых контуров проходит ток, равный разности контурных токов, которые протекают в этих контурах. Принимаем направления обходов контуров по часовой стрелке.

Составляем уравнение для контура 0–1–3–0:

(R₁ + R₆ + R₃)I₁₁ – R₁I₂₂ – R₆I₃₃ = Е₁ – Е₃ .

Вводим обозначения:

R₁ + R₆ + R₃ = R₁₁ ;

–R₁ = R₁₂ ;

–R₆ = R₁₃ ;

Е₁ – Е₃ = Е₁₁ .

Тогда уравнение для контура 0–1–3–0 будет иметь вид:

R₁₁I₁₁ + R₁₂I₂₂ + R₁₃I₃₃ = Е₁₁ . (2.3)

Составляем уравнение для контура 0–1–2–0:

(R₁ + R₂ + R₄)I₂₂ – R₁I₁₁ – R₄I₃₃ = Е₂ – Е₁ .

Вводим обозначения:

R₁ + R₂ + R₄ = R₂₂ ;

–R₁ = R₂₁ ;

–R₄ = R₂₃ ;

Е₂ – Е₁ = Е₂₂ .

Тогда уравнение для контура 0–1–2–0 будет иметь вид:

R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ + R₂₃I₃₃ = Е₂₂ . (2.4)

Составляем уравнение для контура 1–2–3–1:

(R₄ + R₅ + R₆)I₃₃ – R₆I₁₁ – R₄I₂₂ = 0 .

Вводим обозначения:

R₄ + R₅ + R₆ = R₃₃ ;

–R₆ = R₃₁ ;

–R₄ = R₃₂ ;

0 = Е₃₃ .

Тогда уравнение для контура 1–2–3–1 будет иметь вид:

R₃₁I₁₁ + R₃₂I₂₂ + R₃₃I₃₃ = Е₃₃ . (2.5)

В полученных уравнениях:

R₁₁, R₂₂, R₃₃ – полные или собственные сопротивления контуров;

R₁₂ = R₂₁, R₁₃ = R₃₁, R₂₃ = R₃₂ – сопротивления общих ветвей контуров

(берутся со знаком «+»,
если направления контурных токов в этой ветви совпадают,
берутся со знаком «–»,
если направления контурных токов в этой ветви не совпадают);

Е₁₁, Е₂₂, Е₃₃ – контурные э.д.с.,

которые равны алгебраической сумме э.д.с. в соответствующем контуре.

Решив систему уравнений (2.3), (2.4), (2.5), находим контурные токи
I₁₁, I₂₂, I₃₃, а после этого истинные токи в ветвях:

I₁ = I₁₁ –I₂₂, I₂ = I₂₂, I₃ = I₁₁, I₄ = I₃₃ –I₂₂, I₅ = I₃₃, I₆ = I₃₃ –I₁₁.

Пример 2.1

Для расчётной схемы, приведенной на рис.2.2, заданы следующие значения сопротивлений и э.д.с.:

R₁ = 0,6 Ом ; R₄ = 2,0 Ом ; Е₁ = 10 В ;

R₂ = 1,2 Ом ; R₅ = 2,0 Ом ; Е₂ = 60 В ;

R₃ = 1,6 Ом ; R₆ = 1,0 Ом ; Е₃ = 40 В .

Рассчитать силы токов в ветвях.

Решение.

Используем уравнения (2.3), (2.4), (2.5) и находим сопротивления и э.д.с.:

R₁₁ = 3,2 Ом ; R₂₂ = 3,8 Ом ; R₃₃ = 5,0 Ом ;

R₁₂ = –0,6 Ом ; R₂₁ = –0,6 Ом ; R₃₁ = –1,0 Ом ;

R₁₃ = –1,0 Ом ; R₂₃ = –2,0 Ом ; R₃₂ = –2,0 Ом ;

Е₁₁ = –30 В ; Е₂₂ = 50 В ; Е₃₃ = 0 В .

Учитывая полученные значения, запишем систему уравнений для рассматриваемой схемы цепи:

3,2×I₁₁ – 0,6×I₂₂ – 1×I₃₃ = –30 ;

–0,6×I₁₁ + 3,8×I₂₂ – 2×I₃₃ = 50 ;

–1×I₁₁ – 2×I₂₂ + 5×I₃₃ = 0 .

Решаем полученную систему уравнений с помощью определителей третьего
порядка. Находим определитель системы:

Находим дополнения определителя:

Определяем силы контурных токов:

Определяем силы токов в ветвях схемы электрической цепи:

I₁ = I₁₁ – I₂₂ = –5 – 15 = –20 А ;

I₂ = I₂₂ = 15 А ;

I₃ = –I₁₁ = 5 А ;

I₄ = I₃₃ – I₂₂ = 5 – 15 = –10 А ;

I₅ = I₃₃ = 5 А ;

I₆ = I₃₃ – I₁₁ = 5 – (–5) = 10 А .

Вопросы для самоконтроля

1. Приведите пример расчётной схемы разветвлённой цепи с четырьмя узлами.

2. Обозначьте на приведенной расчётной схеме разветвлённой цепи (пункт 1)
условно положительные направления токов и выберете направления контурных токов.

3. Запишите для приведенной расчётной схемы разветвлённой цепи (пункт 1)
уравнения для расчёта контурных токов и расшифруйте условные обозначения
полных сопротивлений контуров, сопротивления смежных ветвей, контурных э.д.с.

4. Запишите для приведенной расчётной схемы разветвлённой цепи (пункт 1)
силы токов в ветвях через силы контурных токов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: