Метод Зейделя (итерационный метод)

Цель; Дано; Условие на сходимость; Условие на точность- как в пред.

Из уравнений выразить

Итерационные формулы:

Начальные приближения:

М. Зейделя схож. с м. пр. интер. на след. шаге вычисляется по старым и по новым

Ручной счет. Метод Зейделя

Численно решить систему линейных уравнений

с точностью 0,1

Условие сходимости: переписать из примера итерации

Итерационные формулы:

i=0 интер. 1

i=1 интер 2

Ответ: - решение системы с точностью 0,1

Решение задачи аппроксимации и интерполяции.

Основные методы:

-метод неопределенного коэффициента (интерполяция)

-метод наименьшего квадрата (аппроксимация)

Пусть имеется набор экспериментальных данных. Например, замеры силы тока в разные моменты времени.

Введем обозначения:

Х- аргумент (например, момент времени)

Y- значение функции (например, сила тока)

Х и Y являются исходными данными и известны заранее.

Для 3 точек :

Задача аппроксимации и интерполяции заключается в нахождении аналитического выражения для функции y(x). (формулы) :

Возможны 2 варианта :

1) y(x) проходит через исходные точки, что соответствует задаче интерполяции. Функция y(x) называется интерполирующий функцией.

2) y(x) проходит на наименьшем расстоянии от исходных точек, что соответствует задаче аппроксимации. Функция y(x) называется аппроксимирующий функцией.

Функция y(x) находится как полином n-ой степени:

,где

, , ,…, -неизвестные коэффициенты, которые мы будем искать.

Интерполяция (метод неопределенного коэффициента)

Интерполяция функция находится как полином степени n для исходных n+1 точек.

Виды интерполяции:

1) n=1 - линейная; ; (для 2 точек)

2) n=2 - квадратичная, параболическая (для 3 точек)

3) n=3 - кубическая; (для 4 точек)

Метод неопределенных коэффициентов

Цель: найти формулу для y(x)

Дано: точки , , .

Условие на сходимость и на точность: нет

Составить систему линейных уравнений: для

Кол-во уравнений: n+1

Кол-во неизвестных: n+1:

Решаем систем, находим

; подставляем их в y(x).

Ручной счет. Метод неопределенного коэффициента

Даны точки: ;

Найти интегрирующие функции:

а)кусочно-линейную

б)параболическую

Решение: (в лабе выбрать точки)

а)

точки (-3; 4); (0; 1):

из (2):

из (1):

точки (0; 1); (2; 5):

из (1):

из (2):

Проверка:

Ответ:

б) - искомая функция (в лабе выбрать точки), (в лабе №3 решать методом Гаусса)

точки (-3; 4); (0; 1); (2; 5)

{... решение методом Гаусса...}

Проверка:

верно

верно

Вершина параболы:

График:

Ответ: - параболическая интерполическая функция

Аппроксимация (метод наименьшего квадрата)

Аппроксимирующая функция находится как полином степени ниже или равной n для исходных n+1 точек.

Виды аппроксимации:

1) n=1 (для точек)

2) n=2 (для точек)

и т.д.

Метод наименьших квадратов

Цель, дано, условие на сходимость, точность- также как в методе неопределенных коэффициентов

Составить систему линейных уравнений: DA=F, где:

Решаем систему, находим ,..., подставляем в y(x)

Ручной счет. Метод наименьших квадратов

Даны точки: ;

Найти аппроксимирующие функции

а) линейную

б) параболическую

Решение

а) - искомая функция

Решаем систему, получаем

Значения y(x) в исх. точках:

Отклонения y(x) от исх. точек:

-Верно

График:

Ответ: - линейная аппроксимирующая функция.

Б) – искомая функция.

Значения y(x) в исходных точках:

Отклонения y(x) от исходных точек:

График:

Ответ:

Лекция 4. Численное интегрирование.

Основные методы:

· Метод левых

· Метод правых

· Метод центральных

· Метод трапеций

· Метод Симпсона

Пусть требуется вычислить определенный

Определенный интеграл Iравен площади фигуры между графиком f(x) и осью Х:

Для всех методов строится таблица:

i
		…		…
		…		…
…	…	…	…	…
n		…	-	…

Где

Метод левых

Цель: найти определенный интеграл

Дано:

Усл. сход, точн. – нет.

Опирается левым блоком.

Метод правых

Опирается правым блоком.

Метод центральных

Опирается центром.

Метод трапеций.

Метод Симпсона.

nдолжно быть четным!

По нечетным точкам: I= 1, 3, … n – 1

По четным точкам: I = 2, 4, … n – 2

Ручной счет.

Вычислить определенный интеграл с числом разбиений n= 4

i
			0,25	0,063
	0,5	0,25	0,75	0,563
			1,25	1,563
	1,5	2,25	1,75	3,063
			-	-

Расчет таблицы:

Метод левых

Метод правых 

Метод центр.

Метод трапеций

Метод Симпсона

По нечётным точкам: i = 1, 3

S = 0.25+2.25 = 2.5

По чётным точкам: i = 2

S = 1

Решение ОДУ 2 порядка

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее неизвестную функцию, производные неизвестной функции.

Решить ДУ – это значит найти неизвестную функцию y(x).

ДУ:

• Обыкновенное (неизвестная функция зависит только от х: y(x))
• В частных производных (неизвестная функция зависит от нескольких переменных: y(x, t,..))

Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Примеры:

1. (обыкновенноедифференциальное уравнение1-го порядка)
2. (обыкновенноедифференциальное уравнение2-го порядка)
3. (обыкновенноедифференциальное уравнение2-го порядка)
4. (дифференциальное уравнение в частных произв. 2-го порядка)

Мы будем рассматривать ОДУ 2-го порядка:

F(y ,y ,y, x)=0

Задача Коши – это задача о решении ОДУ с заданными начальными условиями.

Решение ОДУ:

• Аналитически(как в математике)

формула y(x)=cos(x)+3

• Численно(с помощью методов)

таблица значений x, y:

x	y	y
…	…	…

Основные методы:

• м. Эйлера простой
• м. Эйлера с усреднением
• м. Эйлера с центрированием
• м. Рунге-Кутта

Постановка задачи.

Численно решить дифференциальное уравнениеF(y ,y ,y, x)=0 с начальными условиями:

на промежутке [a; b] с числом разброса п.

Порядок решения:

Замена: y = z

Выразить y из исх. уравнения.: y =

Задача сведётся к виду:

(наша замена y = z)

… (выражение для у )

Начальные условия:

Метод Эйлера простой.

Итерационные формулы:

при i = 0, 1,…,n

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: