Растровое представление отрезка. Алгоритм Брезенхейма

Алгоритмы растеризации

Прежде чем перейдем к непосредственному рассмотрению возможности перевода математического описания объекта (линии и пр.) в растровую форму, рассмотрим понятие связности. Связность – возможность соединения двух пикселей растровой линией, т. е. последовательным набором пикселей. Возникает вопрос, когда пиксели (x₁, y₁) и (x₂, y₂) можно считать соседними. Для этого вводятся два понятия связности:

1. Четырехсвязность: пиксели считаются соседними, если либо их x-координаты, либо их y – координаты отличаются на единицу:

|x₁­ – x₂| + |y₁ – y₂| ≤ 1;

2. Восьмисвязность: пиксели считаются соседними, если их x-координаты и y-координаты отличаются не более чем на единицу:

|x₁­ – x₂| ≤ 1, |y₁ – y₂| ≤ 1.

На рис. 2.2 изображены четырехсвязная и восьмисвязная линии.

Рис. 2.2. Четырехсвязная и восьмисвязная линии

При переводе объектов в растровое представление существуют, алгоритмы, как использующие четырехсвязность, так использующие восьмисвязность.

Растровое представление отрезка. Алгоритм Брезенхейма

Рассмотрим задачу построения растрового изображения отрезка, соединяющего точки A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b). Для простоты будем считать, что

0 ≤ y_b – y_a ≤ x_b – x_a . Тогда отрезок описывается уравнением:

y = ya +

(x–xa), x Є [xa, xb] или y = kx + b.

Отсюда получаем простейший алгоритм растрового представления отрезка:

void line(int xa, int ya, int xb, int yb, int color)

{

double k = ((double)(yb – ya)) / (xb – xa);

double b = ya – k * xa;

for (int x = xa; x <= xb; x++)

putpixel(x, (int)(k * x + b), color);}

Вычислений значений функции y = kx + b можно избежать, используя в цикле рекуррентные соотношения, так как при изменении x на 1 значение yменяется на k:

void line(int xa, int ya, int xb, int yb, int color)

{

double k = ((double)(yb – ya)) / (xb – xa);

double y = ya;

for (int x = xa; x <= xb; x++, y += k)

putpixel(x, (int)y, color);

}

Приведенные простейшие пошаговые алгоритмы построения отрезка имеют ряд недостатков:

1. Выполняют операции над числами с плавающей точкой, а желательно было бы работать с целочисленной арифметикой;

2. На каждом шаге выполняется операция округления, что также снижает быстродействие.

Эти недостатки устранены в следующем алгоритме Брезенхейма.

Как и в предыдущем случае, будем считать, что тангенс угла наклона отрезка принимает значение в диапазоне от 0 до 1. Рассмотрим i-й шаг алгоритма (рис. 2.3). На этом этапе пиксель P_i-1 уже найден как ближайший к реальному отрезку. Требуется определить, какой из пикселов (T_i или S_i) будет установлен следующим.

Рис. 2.3. i-й шаг алгоритма Брезенхейма

В алгоритме используется управляющая переменная d_i, которая на каждом шаге пропорциональна разности между S и T. Если S < T, то S_i ближе к отрезку, иначе выбирается T_i.

Пусть изображаемый отрезок проходит из точки (x₁, y₁) в точку (x₂, y₂). Исходя из начальных условий, точка (x₁, y₁) ближе к началу координат. Тогда перенесем оба конца отрезка с помощью преобразования T(–x₁, –y₁), так чтобы первый конец отрезка совпал с началом координат. Начальной точкой отрезка стала точка (0, 0), конечной точкой – (dx, dy), где dx = x₂– x₁, dy = y₂ – y₁ (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Вид отрезка после переноса в начало координат

Уравнение прямой в этом случае будет иметь вид:

y=x

.

Обозначим координаты точки P_i-1после переноса через (r, q). Тогда S_i = (r+1, q) и T_i = (r+1, q+1).

Из подобия треугольников на рис. 2.4 можно записать, что

=

.

Выразим S:

S =

(r + 1) – q.

T можно представить как T = 1 – S. Используем предыдущую формулу

T = 1 – S = 1 –

(r + 1) – q.

Найдем разницу S – T:

S – T =

(r + 1) – q – 1 +

(r + 1) – q = 2

(r + 1) – 2 q – 1.

Помножим левую и правую часть на dx:

dx (S – T) = 2 dy (r + 1) – 2 q dx – dx = 2(r dy – q dx) + 2 dy – dx.

Величина dx положительная, поэтомунеравенство dx (S – T) < 0 можно использовать в качестве проверки при выборе S_i. Обозначим d_i = dx (S –T), тогда

d_i = 2(r dy – q dx) + 2 dy – dx.

Поскольку r = x_i-1 и q = y_i-1, то

d_i = 2 x_i-1 dy –2 y_i-1 dx + 2 dy – dx.

Прибавляя 1 к каждому индексу найдем d_i+1:

d_i+1= 2 x_i dy –2 y_i dx + 2 dy – dx.

Вычитая d_i из d_i+1получим

d_i+1 – d_i = 2 dy (x_i – x_i-1) – 2 dx (y_i – y_i-1).

Известно, что x_i – x_i-1 = 1, тогда

d_i+1– d_i = 2 dy – 2 dx (y_i – y_i-1).

Отсюда выразим d_i+1:

d_i+1 = d_i + 2 dy – 2 dx (y_i – y_i-1).

Таким образом, получили итеративную формулу вычисления управляющего коэффициента d_i+1 по предыдущему значению d_i. С помощью управляющего коэффициента выбирается следующий пиксель – S_i или T_i.

Если d_i ≥ 0, тогда выбирается T_i и y_i = y_i–1 + 1, d_i+1 = d_i +2 (dy – dx). Если d_i < 0, тогда выбирается S_i и y_i = y_i–1 и d_i+1 = d_i +2 dy.

Начальные значения d₁ с учетом того, что (x₀, y₀) = (0, 0),

d₁= 2 dy – dx.

Преимуществом алгоритма является то, что для работы алгоритма требуются минимальные арифметические возможности: сложение, вычитание и сдвиг влево для умножения на 2.

Реализация этого алгоритма выглядит следующим образом:

void MyLine(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)

{

int dx, dy, inc1, inc2, d, x, y, Xend;

dx = abs(x2 - x1);

dy = abs(y2 - y1);

d = dy << 1 - dx;

inc1 = dy << 1;

inc2 = (dy - dx) << 1;

if (x1>x2)

{

x = x2;

y = y2;

Xend = x1;

}

else

{

x = x1;

y = y1;

Xend = x2;

};

putpixel(x, y, c);

while (x < Xend)

{

x++;

if (d < 0) d = d + inc1;

else

{

y++;

d = d + inc2;

};

putpixel(x, y, c);

};

}

Если dy > dx, то необходимо будет использовать этот же алгоритм, но пошагово увеличивая y и на каждом шаге вычислять x.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: