Сделай Сам Свою Работу на 5

Методические указания по решению задачи на тему «Основные теоремы теории вероятностей»





Методические указания

По выполнению

Контрольной работы №1

По курсу «теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов заочного отделения

По направлению подготовки 080100 «Экономика»

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1 Организационно-методические указания. 3

2 Структура курса. 4

3 Требования, предъявляемые к выполнению контрольной работы.. 4

4 Методические указания по выполнению контрольной работы.. 5

4.1 Методические указания по решению задачи на тему «Классическое определение вероятности» 5

4.2 Методические указания по решению задачи на тему «Основные теоремы теории вероятностей» 8

4.3 Методические указания по решению задачи на тему «Построение закона распределения дискретной случайной величины». 11

5 Задачи по теме «Классическое определение вероятности». 15

6 Задачи по теме «Основные теоремы теории вероятностей». 18

7 Задачи по теме «Построение закона распределения дискретной случайной величины». 22

Рекомендуемая литература. 27

Приложение А Кодификатор заданий. 28

 

 


Организационно-методические указания

 

Целью освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является получение базовых знаний и формирование основных навыков по теории вероятностей и математической статистике, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической деятельности



В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать:

- основные понятия теории вероятностей и математической статистики;

- основные законы распределения случайных величин;

- методы оценивания неизвестных параметров распределений;

- основы проверки статистических гипотез;

Уметь:

- применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач;

- обрабатывать статистическую информацию и получать статистически обоснованные выводы;

Владеть:

- основными принципами и методами обработки статистических данных;

- навыками применения статистических пакетов программ для анализа данных на ПЭВМ.

Изучение дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» основывается на базе знаний, умений и компетенций, полученных студентами в ходе освоения дисциплин «Линейная алгебра» и «Математический анализ» математического и естественнонаучного цикла дисциплин ФГОС ВПО по направлению 080100 62 «Экономика».



Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» является базовым теоретическим и практическим основанием для всех последующих математических и финансово-экономических дисциплин подготовки бакалавра экономики, использующих теоретико-вероятностные и статистические методы анализа.

Студенты заочного отделения самостоятельную подготовку по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» должны начинать с изучения теоретического материала, изложенного в рекомендованных учебниках, учебных и методических пособиях.

После изучения вышеуказанных материалов студенты могут приступать к выполнению контрольных работ.

Форма контроля: защита выполненных контрольных работ и экзамен, выявляющий знание теоретических вопросов и умение решать практические задачи.

 


Структура курса

 

Таблица 1 – Разделы дисциплины и виды занятий

№ п/п Наименование раздела дисциплины Лекц. час. Лаб. зан. час. Самост. работа студента час. Контрольная работа, экзамен Всего час.
Основные понятия теории вероятностей -
Случайные величины и случайные вектора -
Характеристики распределений случайных величин и случайных векторов 1,5 - 18,5
Основные законы распределений случайных величин -
Предельные теоремы теории вероятностей 0,5 - - 8,5
Основные понятия математической статистики -
Статистическое оценивание параметров распределений -
Доверительные интервалы -
Проверка статистических гипотез 1,5 - 22,5
Методы обработки и анализа статистической информации 0,5 - 17,5
  Защита контрольных работ - - -
  Подготовка к экзамену - - -
  Всего

 



Требования, предъявляемые к выполнению контрольной работы

 

В процессе изучения курса студентам заочной формы обучения предлагаются две контрольные работы, содержащие практические задачи по формированию навыков применения стандартных методов и моделей к решению вероятностных и статистических задач.

Контрольная работа №1 предполагает решение трех задач по разделам теории вероятностей.

Для решения задач студентам необходимо воспользоваться рекомендуемой в настоящих методических указаниях литературой.

Контрольная работа может быть выполнена в школьной тетради или на листах формата А4 в рукописном или машинописном виде.

На титульном листе контрольной работы обязательно должны быть указаны:

- наименование кафедры «Экономика, финансы и бухгалтерский учет»;

- наименование курса «Теория вероятностей и математическая статистика»;

- Ф.И.О. преподавателя;

- шифр и Ф.И.О. студента.

Контрольная работа должна быть выполнена в сроки, установленные деканатом и преподавателем. Контрольная работа, содержащая ошибки, возвращается студенту на доработку. Контрольная работа, не содержащая ошибок, допускается преподавателем к защите.

Выбор задания осуществляется студентом по кодификатору (см. приложение А) в соответствии с кодом, состоящим из 2-х элементов:

буква - первая буква фамилии студента;

цифра - последняя цифра шифра студента.

Пример: Иванов, шифр № 1100304 – код И4.

По таблице находим номера задания: 5.15, 6.4, 7.3.

5.15 – номер задачи на тему «Классическое определение вероятности».

6.4 – номер задачи на тему «Основные теоремы теории вероятностей».

7.3 – номер задачи на тему «Построение закона распределения дискретной случайной величины».

 

Методические указания по выполнению контрольной работы

 

Методические указания по решению задачи на тему «Классическое определение вероятности»

 

Перед решением задачи убедитесь, что Вы знаете о:

- достоверных, невозможных и случайных событиях;

- элементарных событиях, пространстве событий;

- классическом определении вероятности события.

 

Рекомендуемая литература: 1 – 4.

 

Пример 4.1.

Построить пространство событий для испытания «бросание 6-гранного игрального кубика». Определить вероятности случайных событий А, В, С и D:

А – выпадение четного числа очков;

В – выпадение нечетного числа очков;

С – выпадение не более 2-х очков;

D – выпадение более 5-ти очков.

 

Решение. Построить пространство событий – это значит, определить все возможные элементарные события для испытания. В данной задаче элементарными событиями являются:

а1 – выпадение числа 1;

а2 – выпадение числа 2;

а3 – выпадение числа 3;

а4 – выпадение числа 4;

а5 – выпадение числа 5;

а6 – выпадение числа 6.

Пространство событий представляет собой множество:

W = {а1, а2, а3, а4, а5, а6}.

Следовательно, общее число элементарных событий n = 6.

 

а) Случайному событию А «выпадение четного числа очков» благоприятствуют элементарные события а2, а4 и а6. Представим случайное событие А в виде множества:

А = {а2, а4, а6}.

Следовательно, число благоприятствующих элементарных событий m = 3.

Подставляя в классическую формулу определения вероятности значения для n и m, получим: P(A) = m/n = 3/6 = 1/2.

 

б) Случайному событию В «выпадение нечетного числа очков» благоприятствуют элементарные события а1, а3 и а5. Представим случайное событие В в виде множества:

В = {а1, а3, а5}.

Следовательно, число благоприятствующих элементарных событий m = 3.

С помощью классической формулы определения вероятности получим:

P(В) = m/n = 3/6 = 1/2.

 

в) Случайному событию С «выпадение не более 2-х очков» благоприятствуют элементарные события а1 и а2:

С = {а1, а2}.

Число благоприятствующих элементарных событий m = 2.

Вероятность события С:

P(С) = m/n = 2/6 = 1/3.

 

г) Случайному событию D «выпадение более 5-ти очков» благоприятствует одно элементарное событие а6:

D = {а6}.

m = 1

Вероятность события D:

P(D) = m/n = 1/6.

 

Пример 4.2.

Построить пространство событий для испытания «бросание 2-х игральных кубиков – белого и черного». Элементарным событием является пара чисел, выпавших на верхних гранях кубиков. Определить вероятности случайных событий А, В и С:

А – сумма чисел равна 6;

В – сумма чисел более 9;

С – выпал дубль.

Решение. Для задачи с двумя объектами (кубиками) пространство событий удобно представить в виде таблицы, где по вертикали располагаются возможные события для первого объекта, а по горизонтали – возможные значения для другого объекта. В клетках таблицы записываются элементарные события:

События (2-й объект) События (1-ый объект)
х1 х2 х3 хk
y1 a11 а12 а13 а1k
y2 а21 а22 а23 а2k
yr аr1 аr2 аr3 аrk

 

В условиях задачи пространству событий соответствует таблица (элементарными событиями является пара чисел):

Количество очков, выпавших на белом кубике Количество очков, выпавших на черном кубике
1 : 1 1 : 2 1 : 3 1 : 4 1 : 5 1 : 6
2 : 1 2 : 2 2 : 3 2 : 4 2 : 5 2 : 6
3 : 1 3 : 2 3 : 3 3 : 4 3 : 5 3 : 6
4 : 1 4 : 2 4 : 3 4 : 4 4 : 5 4 : 6
5 : 1 5 : 2 5 : 3 5 : 4 5 : 5 5 : 6
6 : 1 6 : 2 6 : 3 6 : 4 6 : 5 6 : 6

 

или

Количество очков, выпавших на белом кубике Количество очков, выпавших на черном кубике
а11 а12 а13 а14 а15 а16
а21 а22 а23 а24 а25 а26
а31 а32 а33 а34 а35 а36
а41 а42 а43 а44 а45 а46
а51 а52 а53 а54 а55 а56
а61 а62 а63 а64 а65 а66

 

Общее количество элементарных событий соответствует количеству клеток: n = 36.

 

а) Случайному событию А «сумма чисел равна 6» благоприятствуют элементарные события а15, а24, а33, а42 и а51. Представим случайное событие А в виде множества:

А = {а15, а24, а33, а42, а51}.

Следовательно, число благоприятствующих элементарных событий m = 5.

Подставляя в классическую формулу определения вероятности значения для n и m, получим: P(A) = m/n = 5/36.

 

б) Случайному событию В «сумма чисел более 9» благоприятствуют все элементарные события, при которых сумма чисел равна 10, 11 или 12: а46, а55, а64, а56, а65 и а66.

В = {а46, а55, а56, а64, а65, а66}.

Число благоприятствующих элементарных событий m = 6.

Вероятность события В:

P(В) = m/n = 6/36 = 1/6.

 

в) Случайному событию С «выпал дубль» благоприятствуют все элементарные события, при которых на обоих кубиках выпало одинаковое число очков: а11, а22, а33, а44, а55 и а66.

С = { а11, а22, а33, а44, а55, а66}.

Число благоприятствующих элементарных событий m = 6.

Вероятность события С:

P(С) = m/n = 6/36 = 1/6.

 

Указание: если испытание заключается в том, что два объекта последовательно извлекаются из одной и той же совокупности (два шара из одного ящика, две карты из одной колоды и т.п.), при построении пространства событий необходимо исключить повторы (один и тот же шар нельзя вынуть дважды). Тогда пространство событий будет выглядеть следующим образом:

События (извлекается 2-й объект) События (извлекается 1-ый объект)
х1 х2 х3 хk
х1 а12 а13 а1k
х2 а21 а23 а2k
х3 а31 а32 а3k
xk аk1 аk2 аk3

 

Методические указания по решению задачи на тему «Основные теоремы теории вероятностей»

 

Перед решением задачи убедитесь, что Вы знаете о:

- вероятности событий, противоположных событиях, несовместных событиях;

- сумме и произведении событий, независимых и зависимых событиях;

- теорему о вероятности суммы событий и ее следствия;

- теорему о вероятности произведения событий и ее следствие;

- теорему о вероятности хотя бы одного события;

- теорему о полной вероятности, формулу Байеса.

 

Рекомендуемая литература: 1 – 4.

 

Пример 4.3.

Новый ресторан может быть построен в южной или северной части города. Если ресторан будет построен в северной части города, то вероятность его успешной работы в течение первого года равна 90%. Если построить ресторан в южной части, то вероятность успешной работы в первый год равна 65%. Северный участок удастся приобрести с вероятностью 40%.

Найти вероятность следующих событий:

а) ресторан будет построен в южной части города;

б) ресторан будет построен в южной части города и его работа в первый год будет успешной;

в) ресторан будет построен в северной части города, но его работа в первый год не будет успешной;

г) работа ресторана в первый год не будет успешной при условии, что он будет построен в северной части города;

д) работа ресторана в течение первого года будет успешной;

е) ресторан построен в северной части города при условии, что его работа в первый год оказалась успешной.

 

Решение.

Обозначим события:

А1 – ресторан будет построен в северной части города;

А2 – ресторан будет построен в южной части города;

В1 – ресторан будет работать успешно в течение первого года;

В2 – ресторан не будет успешно работать в течение первого года.

 

Обозначим исходные вероятности:

Р(А1) = 40% = 0,4 – вероятность того, что ресторан будет построен в северной части города;

Р(В11) = 90% = 0,9 – условная вероятность того, что ресторан будет работать успешно в течение первого года при условии, что он будет построен в северной части города;

Р(В12) = 65% = 0,65 – условная вероятность того, что ресторан будет работать успешно в течение первого года при условии, что он будет построен в южной части города.

 

а) Необходимо найти вероятность события А2.

События А1 и А2 являются противоположными, так как если ресторан не будет построен в северной части города, то он будет построен в южной части:

А2 = `А1.

Вероятность события А1 известна из условия задачи: Р(А1) = 0,4.

Вероятность события А2 можно определить как вероятность противоположного события:

Р(А2) = Р(`А1) = 1 – Р(А1) = 1 – 0,4 = 0,6.

Ответ: вероятность того, что ресторан будет построен в южной части города, составляет 0,6 или 60%.

 

б) Событие «ресторан будет построен в южной части города и его работа в первый год будет успешной» представляет собой одновременное выполнение событий А2 и В1, т.е. произведение этих событий: А2 * В1.

События А2 и В1 являются зависимыми, так как по условию задачи вероятность успешной работы ресторана различна в зависимости от того, в какой части города он построен.

Поскольку эти события являются зависимыми, для расчета вероятности их произведения применим теорему о вероятности произведения событий:

Р(А21) = Р(А2) * Р(В12).

Вероятность события А2 рассчитана в п. а), условная вероятность события В1 при условии, что наступило событие А2 (Р(В12) известна из условий задачи. Тогда:

Р(А21) = 0,6 * 0,65 = 0,39.

Ответ: вероятность того, что ресторан будет построен в южной части города и его работа в первый год будет успешной, составляет 0,39 или 39%.

 

в) Событие «ресторан будет построен в северной части города, но его работа в первый год не будет успешной» представляет собой одновременное выполнение событий А1 и В2, т.е. произведение этих событий: А1 * В2.

Событие А1 может происходить либо одновременно с событием В1, либо одновременно с событием В2 (ресторан либо работает успешно, либо нет), поэтому событие А1 можно представить как сумму произведений соответствующих событий:

А1 = А1 * В1 + А1 * В2.

События А1*В1 и А1*В2 являются несовместными, следовательно вероятность события А1 можно представить как сумму вероятностей этих событий (применить следствие из теоремы о вероятности суммы):

Р(А1) = Р(А1*В1) + Р(А1*В2).

Отсюда: Р(А1*В2) = Р(А1) – Р(А1*В1).

Вероятность события А1 известна из условия задачи.

События А1 и В1 являются зависимыми (обоснование приведено в п. б).

Для расчета вероятности произведения зависимых событий применим теорему о вероятности произведения событий:

Р(А11) = Р(А1) * Р(В11).

Все вероятности известны из условия задачи:

Р(А11) = 0,4 * 0,9 = 0,36.

Следовательно, Р(А12) = 0,4 – 0,36 = 0,04.

Ответ: вероятность того, что ресторан будет построен в северной части города, но его работа в первый год не будет успешной, составляет 0,04 или 4%.

 

г) Вероятность события «работа ресторана в первый год не будет успешной при условии, что он будет построен в северной части города» представляет собой условную вероятность Р(В2|А1). Эту вероятность можно определить из теоремы о вероятности произведения зависимых событий:

Р(А12) = Р(А1) * Р(В21).

Отсюда: Р(В21) = Р(А12) / Р(А1).

Вероятность события А1 известна из условия задачи, вероятность события А1*В2 найдена в п. в): Р(В21) = 0,04 / 0,4 = 0,1.

Ответ: вероятность того, что работа ресторана в первый год не будет успешной при условии, что он будет построен в северной части города, составляет 0,1 или 10%.

 

д) Необходимо найти вероятность события В1 «ресторан будет работать успешно в течение первого года».

Событие В1 может происходить либо одновременно с событием А1, либо одновременно с событием А2 (ресторан построен либо в северной, либо в южной части города), поэтому событие В1 можно представить как сумму произведений соответствующих событий:

В1 = А1 * В1 + А2 * В1.

В этом случае вероятность события В1 можно рассчитать по формуле полной вероятности:

Р(В1) = Р(А1) * Р(В11) + Р(А2) * Р(В12).

Вероятность события А2 была найдена в п. а), все остальные составляющие вероятности известны из условия задачи:

Р(В1) = 0,4 * 0,9 + 0,6 * 0,65 = 0,75.

Ответ: вероятность того, что работа ресторана в течение первого года будет успешной, составляет 0,75 или 75%.

 

е) Вероятность события «ресторан построен в северной части города при условии, что его работа в первый год оказалась успешной» представляет собой условную вероятность Р(А1|В1), которую можно рассчитать по формуле Байеса:

.

Вероятность события А11 найдена в п. в), вероятность события В1 – в п. д):

Р(А11) = 0,36 / 0,75 = 0,48.

Ответ: вероятность того, что ресторан построен в северной части города при условии, что его работа в первый год оказалась успешной, составляет 0,48 или 48%.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.