|
|
Расчет токов на основе законов КирхгоффаУТВЕРЖДАЮ _______________________ “__” ______________2010 г
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
Учебная дисциплина: Теоретические основы электротехники Изделие: Электрическая цепь
1. Исходные данные 1.1 Задание 1: Для ЭлСх, изображенной на рисунке 1, для одного из ИН или ИТ методом свертки схемы определить токи всех ветвей и показания вольтметра. Результаты расчетов токов ветвей проверить при помощи ПЗК и выполнения условия баланса мощностей в схеме. Активные и пассивные элементы схемы имеют следующие значения:
где Mk = 1 + 0,15 ∙ k ∙ n / m, (k=1, 2, 3, 4, 5) n - номер варианта; m - последняя цифра в номере группы.
Сопротивление вольтметра можно считать бесконечно большим.
Рисунок 1 – ЭлСх для первого и второго задания 1.2 Задание 2: Для электрической схемы, изображенной на предыдущем рисунке, полагая, что значение сопротивлений, токов источников тока, Э.Д.С. источников напряжения известны, выполнить следующее: а) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы; б) определить токи и напряжения всех ветвей схемы по МКТ и МУН. Результаты расчетов токов и напряжений свести в таблице для сравнения; в) проверить условие баланса мощностей (если схема преобразовывалась); г) определить показания вольтметра V; д) построить в выбранном масштабе график изменения потенциалов вдоль внешнего контура схемы. В расчетах значения активных и пассивных элементов ветвей принять теми же, что и в предыдущей задаче, за исключением одного из сопротивлений R1, R2, R3 и R9, которые могут быть равны нулю или бесконечности. 1.3 Задание 3: На рисунке 2 изображен расширенный граф электрической цепи.
Рисунок 2 – Расширенный граф электрической цепи Для него необходимо выполнить следующее: 1) для заданного графа ЭЦ изобразить электрическую схему цепи для мгновенных значений; 2) изобразить комплексную схему замещения; 3) на основании законов Кирхгофа составить систему уравнений для расчёта комплексных действующих значений токов во всех ветвях цепи; 4) определить комплексные действующие значения токов и напряжений ветвей по МКТ и МУН. Результаты расчётов свести в таблицу; 5) проверить выполнение условия баланса мощностей в цепи; 6) в масштабе построить график изменения комплексного потенциала вдоль внешнего контура схемы. Частота, мгновенные значения гармонических токов и ЭДС ИГ и ИН, а также параметры пассивных элементов ветвей имеют следующие значения:
где n - соответствует номеру варианта; m - равно последней цифре в номере группы. Типы элементов ветвей приведены в таблице ниже. Таблица 1 – Типы элементов ветвей
Срок представления к защите . .2010 г
Дата выдачи ЗКП 13 февраля 2010 г
Руководитель ________Бабаев А.А.
Исполнитель Студент гр. 8031 ________Шелаев Р.А.
ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ НА КУРСОВОЙ ПРОЕКТ «Анализ линейных электрических цепей»
Студент гр. 8031 _______Шелаев Р.А. Руководитель ________Бабаев А.А.
1. Цель работы Приобретение практических навыков расчета сложных линейных электрических цепей постоянного и гармонического тока в установившемся режиме. 2. Показатели назначения Номер варианта – 01 (Схемы изображены на рисунках 3 и 4).
Рисунок 3 – ЭлСх для первого и второго задания варианта № 01
Рисунок 4 – Расширенный граф электрической цепи для варианта № 01 3. Частные цели 3.1. Выполнить расчет для трех заданий: а) для задания 1: Для ЭлСх, изображенной на рисунке 1, для одного из ИГ или ИТ методом свертки схемы определить токи всех ветвей и показания вольтметра. Результаты расчетов токов ветвей проверить при помощи ПЗК и выполнения условия баланса мощностей в схеме
б) для задания 2: для ЭлСх, изображенной на рисунке 1, полагая, что значение сопротивлений, токов источников тока, Э.Д.С. источников напряжения известны, выполнить следующее: а) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы; б) определить токи и напряжения всех ветвей схемы по МКТ и МУН. Результаты расчетов токов и напряжений свести в таблице для сравнения; в) проверить условие баланса мощностей (если схема преобразовывалась); г) определить показания вольтметра V; д) построить в выбранном масштабе график изменения потенциалов вдоль внешнего контура схемы.
в) для задания 3: для графа ЭлСх, изображенного на рисунке 2, выполнить следующее: 1) для заданного графа ЭЦ изобразить электрическую схему цепи для мгновенных значений; 2) изобразить комплексную схему замещения; 3) на основании законов Кирхгофа составить систему уравнений для расчёта комплексных действующих значений токов во всех ветвях цепи; 4) определить комплексные действующие значения токов и напряжений ветвей по МКТ и МУН. Результаты расчётов свести в таблицу; 5) проверить выполнение условия баланса мощностей в цепи; 6) в масштабе построить график изменения комплексного потенциала вдоль внешнего контура схемы.
4. Организационно-временные условия 4.1 Готовность курсового проекта к сдаче___________________
Список сокращений
ИТ – источник тока ИН – источник напряжения МКТ – метод контурных токов МУН – метод узловых напряжений ЭДС – электродвижущая сила ЭлСх – электрическая схема Введение Изучение основ теории линейных электрических цепей, являющейся теоретической базой многих дисциплин радиотехнического и других смежных профилей, значительно углубляется и становится прочнее при приобретении практических навыков самостоятельного решения задач. Задачи анализа сложных линейных электрических цепей сводятся теми или иными методами к решению систем линейных алгебраических уравнений с действительными или комплексными коэффициентами. Целью данной курсовой работы является выполнение заданий по расчету сложных электрических цепей постоянного и гармонического токов в установившемся режиме. В процессе решения задач использовались метод свертки, который включает в себя эквивалентные преобразования в цепи, законы Ома, Кирхгофа, как в простой так и в комплексной форме, методы узловых потенциалов и контурных токов., метод замены источника тока источником ЭДС, перенос источников тока и источников ЭДС, метод комплексных амплитуд. Так как при использовании этих методов надо решать сложные системы линейных алгебраических уравнений, требующие больших затрат времени, то будет использоваться программа MathCAD 14.0.
Глава 1 Теоретические основы
1.1 Основные определения Электрической цепью называют совокупность соединенных друг с другом источником электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток. Постоянным током называют ток, неизменный во времени. Постоянный ток представляет собой направленное упорядоченное движение частиц, несущих электрические заряды. Электрической схемой называется изображение электрической цепи с помощью условных знаков. Эквивалентной электрической схемой цепи называется условное графическое изображение цепи, составленной из идеализированных элементов, замещающей исследуемою реальную цепь в рамках решаемой задачи. Каждому идеализированному элементу цепи присваивается определенное условное графическое и буквенное обозначение. Эквивалентная схема цепи может быть получена из принципиальной электрической схемы, если каждый изображенный на ней реальный элемент заменить его эквивалентной схемой или схемой замещения. Схема замещения реального элемента представляет собой условное графическое изображение идеализированной электрической цепи, моделирующей данный элемент в рамках представленной задачи. Ветвь представляет собой участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток.
Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи, называют контуром. Место соединения двух и более ветвей называется узлом. Сопротивление это идеализированный пассивный элемент, в котором электрическая энергия необратимо преобразуется в какой либо другой вид энергии (тепловую, световую и т.д.). Запасания энергии электрического или магнитного полей не происходит. Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка. Uab = φa - φb (1)
1.2 Закон Ома для участка цепи. При неизменном сопротивлении проводника напряжение на нем пропорционально току в проводнике. U = IR (2) Закон Ома для участка цепи, содержащего Э.Д.С.: U = IR ± E (3) 1.3 Преобразование соединений идеализированных двухполюсников
Соединение группы идеализированных двухполюсных элементов, при котором через них протекает один и то же ток, называют последовательным. Эквивалентное сопротивление на таком участке считается по формуле (4). где Соединение группы двухполюсных элементов, при котором все элементы находятся под одним и тем же напряжением, называется параллельным. где Смешанное соединение это комбинация последовательного и параллельного соединений элементов. Соединение трех сопротивлений, имеющие вид трехлучевой звезды называют - «соединение звезда» (рисунок 1). Соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника, называют – «соединение треугольник» (рисунок 1). Рисунок 5 – Соединения «звезда» и «треугольник»
При расчете электрических цепей иногда необходимо преобразовывать «треугольник» в «звезду» или, наоборот, «звезду» в «треугольник». Если преобразования выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек «треугольника» и «звезды» подтекающие к этим точкам токи одинаковы, то вся внешняя схема не изменится. Выразим токи в «звезде» (6) и в «треугольнике» (7).
Подставим (7) в (6), получим выражение для четвертого потенциала «звезды».
Для нахождения формул, позволяющих найти проводимости сторон «треугольника» через проводимости «звезды» введем (8) в (7) для первого тока.
Для «треугольника» в соответствии с рисунком 2.
Так как первый ток в схеме «звезда» должен равняться первому току в схеме «треугольник» при любых значениях потенциалов, то коэффициент при
Принимая получим:
Формулы преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду сопротивлений (рисунок 1) имеют вид:
1.4 Законы Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах электрической цепи: алгебраическая сумма токов в ветвях, связанных общим узлом электрической цепи, равна нулю; или сумма токов, уходящих от узла электрической цепи, равна сумме токов, приходящих к этому узлу.
Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контурах электрической цепи: во всяком контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на отдельных элементах контура равна нулю. Математическое выражение закона или второе уравнение Кирхгофа имеет вид:
где k – индексы всех активных и пассивных элементов контура, включая и внутренние сопротивления генераторов; Uk - напряжения на этих элементах. Второе уравнение Кирхгофа можно переписать иначе, сохранив в левой части последнего равенства напряжения только на пассивных элементах контура. Напряжения источников напряжений, равные э.д.с. этих источников, можно перенести в правую часть равенства:
где n – число пассивных элементов; m – число источников напряжений. Читается это уравнение так: во всяком контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжения равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этом контуре.
1.5 Метод, основанный на законах Кирхгофа. 1. Определяется число ветвей, т.е. число неизвестных токов, и узлов, которые обозначаются буквами или цифрами (1,2,3,0) выбираются произвольно и указывается положительные направления токов; 2. Определяется сколько уровней нужно составить по первому закону Киргофа и сколько по второму. Общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов т.е. числу ветвей. По первому закону составляется У-1
уравнений, где У - число узлов схем. Число уравнений, которые требуется составить по второму закону Кирхгофа меньше общего числа уравнений на число уравнений составленных по первому закону Кирхгофа; 3. Составляется уравнения. При составлении у-1 уравнений по первому закону Кирхгофа токам, направленным от узла, приписывается знак +, а направленным к узлу знак – (или наоборот). Уравнения по второму закону составляются для контуров, так, чтобы в каждой следующей контур входило хотя бы одна ветвь, не вошедшая в другие контуры, для которых уже записаны уравнения. Выбирается направление обхода каждого контура. При обходе контура в выбранном направлении ЭДС записывается со знаком +, если ее направление совпадает с направлением обхода контура, и со знаком минус в противном случае; падение напряжения RI записывается со знаком плюс, если направление обхода ветви совпадают с положительным направлением тока, и со знаком минус в противном случае.
1.6 Метод узловых потенциалов. Для всех узлов, кроме одного (базового), потенциал которого обычно выбирается равным нулю, составляются уравнения в соответствии с первым законом Кирхгофа, причём каждый из неизвестных токов выражается через сопротивления, эдс и потенциалы узлов согласно обобщённому закону Ома. Из полученной системы n — 1 независимых уравнений (где n — число узлов схемы) определяются потенциалы узлов (равные напряжениям между каждым из узлов и базовым), а затем (по закону Ома) токи ветвей и напряжения на зажимах приемников и источников. Если заданы напряжения между какими-либо парами узлов или известны токи в некоторых ветвях, то число независимых уравнений меньше n — 1. Уравнения можно записать и решать в матричной форме. 1.7 Метод контурных токов. Это широко распространенный метод расчета сложных электрических цепей с несколькими контурами и несколькими источниками электрической энергии. В основе метода лежат законы Кирхгофа и два предположения: в каждом контуре протекают независимые друг от друга расчетные токи, а ток в каждой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, замыкающих через эту ветвь. При этих предположениях оказывается, что для расчета схемы достаточно ограничиться составлением уравнений для контурных токов только по второму закону Кирхгофа, так как для контурных токов первый закон выполняется в силу принятых для контурных токов предположений. Глава 2 Задание 1
2. 1 Формулировка задания Для ЭлСх, изображенной на рисунке 6, для одного из ИГ или ИТ методом свертки схемы определить токи всех ветвей и показания вольтметра. Результаты расчетов токов ветвей проверить при помощи ПЗК и выполнения условия баланса мощностей в схеме. Исходные данные в таблице 2.
Рисунок 6 – Исходная ЭлСх для первого и второго задания
Таблица 2 – Значения активных и пассивных элементов ЭлСх
2.2 Свёртка схемы 1.) По условию задания внутреннее сопротивление вольтметра предполагается бесконечно большим, значения ИТ и ИН I0 E2 и Е3 равны 0, исходя из этого ЭлСх примет вид, представленный на рисунке 7
Рисунок 7 – ЭлСх без вольтметра I0 E2 и Е3 2.) Участок схемы, содержащий сопротивления R6 R7 и R8, соединённые «звезда», преобразуем в эквивалентное соединение сопротивлений R10 R11 и R12 «треугольник». После преобразования исчезает узел 4. Полученные в ходе преобразования сопротивления R10 R11 и R12 могут быть вычислены по формулам (12):
Преобразования схемы отражены на рисунке 8
Рисунок 8 – ЭлСх, после преобразования «звезды» в «треугольник» 3.) Следующим шагом получаем сопротивления R13 R14 и R15, преобразуя параллельное соединение сопротивлений R4 и R10, R5 и R11, R9 и R12. Полученные в ходе преобразования сопротивления R13 R14 и R15 могут быть вычислены по формуле (5):
Преобразованная схема изображена на рисунке 9
Рисунок 9 – ЭлСх после преобразования параллельного соединения сопротивлений
4.) Далее преобразуем соединение сопротивлений R13 R14 и R15 «треугольник» в эквивалентное соединение сопротивлений R16 R17 и R18 «звездой». В результате в схеме появляется узел 5. Полученные в ходе преобразования сопротивления R16 R17 и R18 могут быть вычислены по формуле (13):
Преобразования отражены на рисунке 10.
Рисунок 10 – ЭлСх после преобразования «треугольника» в «звезду» 5.) Последовательное соединение сопротивлений R2 и R17, R3 и R18 преобразуем соответственно в сопротивления R19 и R20. Полученные в ходе преобразования сопротивления R19 и R20 могут быть вычислены по формуле (4):
Преобразованная схема представлена на рисунке 11
Рисунок 11 – ЭлСх после преобразования последовательного соединения 6.) Следующим шагом преобразуем параллельное соединение сопротивлений R19 и R20 в сопротивление R21, рассчитываемое по формуле (5):
Изменения в схеме отражены на рисунке 12
Рисунок 12 – ЭлСх после преобразования параллельного соединения 7.) Последовательное соединение сопротивлений R16 и R21 преобразуем в сопротивления R22, значение которого вычисляется по формуле (4):
Преобразованная схема представлена на рисунке 13
Рисунок 13 – ЭлСх после преобразования последовательного соединения 8.) Завершающим шагом свёртки преобразуем параллельное соединение сопротивлений R22 и R1 в сопротивление R23, рассчитываемое по формуле (5):
Результат свёртки схемы приведён на рисунке 14
Рисунок 14 – Свёрнутая ЭлСх
2.3 Расчёт узловых потенциалов и токов
Произведем расчет потенциалов во всех узлах и, соответственно, токов во всех ветвях. Результаты подсчетов сопротивлений, токов и потенциалов приведены в таблицах 3, 4, 5. Из рисунка 14 видно, что в конечной схеме присутствует 2 узла, источник тока и сопротивление. Пусть потенциал узла 1 будет равен нулю, тогда потенциал узла 0, согласно формулам (1) и (2), будет равен:
Из рисунков 12 и 13, зная потенциал узла 0, можно определить токи I22, I1, I16, I21 и потенциал узла 5
По рисунку 11, зная потенциал узла 5, находим токи I19, I20
По рисунку 10, зная токи I19, I20, находим токи I2, I3, I17, I18
По рисунку 9, зная токи I2 и I3, находим потенциалы узлов 2 и 3
Из рисунков 8 и 9, зная потенциалы узлов 0, 2 и 3, найдём токи I4, I5, I9, I10 I11, I12, I13, I14, I15
Используя формулы (1) и (2) для нахождения токов I6, I7 и I8, выразим с их помощью формулу нахождения потенциала узла 4
По рисунку 7, зная потенциал узла 4, найдём оставшиеся токи I6, I7 и I8
Результаты расчетов
Таблица 3 – Результаты расчёта сопротивлений В Омах
Продолжение таблицы 3 В Омах
Таблица 4 – Результаты расчёта потенциалов в узлах В Вольтах
Таблица 5 – Результаты расчета токов В Амперах
2.5 Проверка найденных значений токов помощью ПЗК На основании первого закона Кирхгофа составим уравнения для всех узлов схемы с помощью формулы (14), и рассчитаем разность токов:
2.6 Проверка найденных токов по условию баланса мощностей
2.7 Показания вольтметра
Глава 3 Задание 2
3.1 Формулировка задания Для электрической схемы, изображенной на рисунке 6, полагая, что значение сопротивлений, токов источников тока, Э.Д.С. источников напряжения известны, выполнить: а) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы; б) определить токи и напряжения всех ветвей схемы по МКТ и МУН. Результаты расчетов токов и напряжений свести в таблице для сравнения; в) проверить условие баланса мощностей (если схема преобразовывалась); г) определить показания вольтметра V; д) построить в выбранном масштабе график изменения потенциалов вдоль внешнего контура схемы. Значение исходных сопротивлений представлены в таблице 2, а номиналы источников токов и напряжений представлены в таблице 6. Таблица 6 – Номиналы источников тока и напряжения
Упрощение схемы Для облегчения дальнейших расчётов необходимо упростить исходную схему, преобразовав ИТ в эквивалентные ИН. По условию задания ИТ I01– вырожденный, остальные источники невырожденные. Невырожденный ИТ I0
преобразуем в ИН Е0, используя схему замещения линеаризованных источников. Вырожденный ИТ I01преобразуется с помощью переноса источников в два ИН E13и E5. После преобразования исчезает узел 1. Также по условию задания параллельноподключенное к вырожденному ИТ сопротивление R1, будем считать бесконечно большим, тогда исходная ЭлСх примет вид, отражённый на рисунке 15
Рисунок 15 – Исходная ЭлСх после преобразования ИТ Полученные последовательно соединённые ИН E13и E3можно заменить одним ИН E3, ЭДС которого будет представлять собой алгебраическую сумму ЭДС E13и E3. Конечный результат упрощения представлен на рисунке 16
Рисунок 16 – Упрощенная ЭлСх Новые значения ЭДС приведены в таблице 7. Таблица 7 – Значения ЭДС
Расчет токов на основе законов Кирхгоффа
Рисунок 17 – ЭлСх для расчёта по П и ВЗК
В схеме, представленной на рисунке 17, число узлов
Тогда, на основании законов Кирхгофа, можно составить следующую систему:
В результате решения данной системы были получены численные значения всех токов в преобразованной схеме. Очевидно, что токи в исходной цепи будут принимать те же значения. Значения найденных токов сведены в таблицу 10. Теперь найдем напряжение на всех ветвях цепи с помощью формул (1) и (2):
Значения найденных напряжений сведены в таблицу 10.
3.4 Расчет схемы методом контурных токов
Рисунок 18 – ЭлСх для расчёта по МКТ Рассчитаем все токи в упрощенной цепи, представленной на рисунке 18, при помощи метода контурных токов. Обозначим контурные токи через I11, I22, I33, I44, I55. Используя ВЗК, составим систему уравнений для контурных токов:
Решив данную систему, найдем все контурные токи. Результаты представлены в таблице 9.
Таблица 8 – Значения контурных токов В Амперах
Теперь найдем токи в исходной цепи:
Подставив в эти формулы значения контурных токов, получаем токи во всех ветвях упрощенной схемы. Очевидно, что токи в исходной цепи будут принимать те же значения. Значения найденных токов сведены в таблицу 10. Теперь рассчитаем напряжения на всех ветвях цепи с помощью формул (1) и (2). Значения найденных напряжений сведены в таблицу 10:
3.5 Расчет схемы методом узловых потенциалов
Рассчитаем токи методом узловых потенциалов для упрощенной схемы (рисунок 16). Перед тем, как составлять уравнения по методу контурных токов, необходимо принять потенциал какого-либо узла равным нулю. Примем за нулевой потенциал узла 0: φ0 = 0 Составим систему уравнений:
Значения потенциалов представлены в таблице 9. Таблица 9 – Значения потенциалов узлов упрощенной схемы В Вольтах
Далее, используя закон Ома, найдем токи во всех ветвях:
Подставив значения потенциалов, сопротивлений и номиналы источников напряжения, получаем значения силы тока во всех ветвях преобразованной схемы. Значения этих токов совпадают со значениями токов в исходной цепи. Значения всех токов представлены в таблице 10. Рассчитаем напряжения на всех ветвях цепи при помощи формулы (1) Значения найденных напряжений сведены в таблицу 10.
Результаты расчетов
Таблица 10 – Результаты расчёта токов и напряжений тремя методами
Показания вольтметра определим по формуле:
3.7 Проверка с помощью условия баланса мощностей:
Построим график изменения потенциала вдоль внешнего контура схемы (рисунок 19).
Рисунок 19 – Зависимость изменения потенциала по внешнему контуру схемы
Глава 4 Задание 3
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
А; 
А; 
В; 
В;
Ом; 
Ом; 
Ом; 
Ом;
Ом; 
Ом; 
Ом; 
Ом;
Ом; 
Ом;
кГц;
А; 
А;
А; 
В;
В 
В;
Ом; 
мГн; 
мкФ;
Ом; 
мГн; 
мкФ;
Ом; 
мГн; 
мкФ;
Ом; 
мГн; 
мкФ;
Ом; 
мГн; 
мкФ;
Ом; 
мГн; 
мкФ;
; 
; 
;
(4)
- эквивалентное сопротивление последовательного участка, Ом; n – общее число сопротивлений на участке цепи; 
- сопротивление m – го элемента цепи.
(5)
(6) 
(7)
(8)
(9)
(10)
в правой части формулы (10) должен равняться коэффициенту 
. Следовательно:
(11)
; 
(12)
; 
; 
(13)
или 
(14)
или 
(15)
, (16)
, количество ветвей 
. Тогда число независимых уравнений, составленных по ПЗК и ВЗК, будет соответственно равно:
