Сделай Сам Свою Работу на 5

Методические указания к выполнению практических заданий





МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Институт высокоточных систем им. В.П. Грязева

Кафедра Приборы и биотехнические системы

 

 

Методические указания к выполнению практических заданий

по дисциплине

«Динамика электромеханических систем»

 

 

Уровень профессионального образования:

высшее образование - бакалавриат

Направление подготовки: 200100 Приборостроение

Профиль подготовки: Бортовые приборы управления

Квалификация выпускника: 62 бакалавр

Форма обучения: очная

 

 

Тула 2011


Методические указанияразработаны профессором В.В. Савельевым и обсуждены на заседании кафедры Приборы и биотехнические системы института высокоточных систем им. В.П. Грязева (протокол заседания кафедры №____ от «____» ________________ 20___ г.)

 

Разработчики методических указаний ___________________________.

личная подпись

 


ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

 

 

T - период колебаний;

- круговая частота колебаний;



- круговая частота собственных незатухающих колебаний;

- круговая частота внешнего возмущающего воздействия;

a- амплитуда колебания;

- фаза;

- относительный коэффициент затухания собственных колебаний;

- коэффициент динамичности;

m - масса;

x - координата отклонения;

c - коэффициент жесткости упругого элемента;

d - коэффициент демпфирования;

I - осевой момент инерции;

, - углы отклонения маятников;

F - сила;

Е - энергия;

U - электрическое напряжение;

C- емкость;

L - индуктивность;

- малый параметр.

 

 


 

1. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ.

 

1.1. Частота колебаний f=3 Гц. Вычислить величину круговой частоты w и периода Т.

 

Ответ: ;

 

1.2. Под перегрузкой n понимают отношение величины ускорения тела к ускорению g свободного падения:

.

Пусть задано движение стола вибростенда м.

Вычислить максимальную перегрузку, которой подвержен прибор, жестко закрепленный на столе вибростенда при частотах 1Гц, 10Гц, 50Гц, 100Гц.

 

Решение.



Ускорение стола вибростенда

Максимальная перегрузка

.

 

Ответ: , , , .

 

1.3. Колебание происходит по закону .

Второе колебание достигает своего наибольшего значения через после первого.

Записать аналитическое выражение второго колебания. Вычислить величину сдвига фазы, если , .

 

Ответ: ; рад.

 

1.4. Тело совершает одновременно два колебания вдоль прямой: см и см.

Найти амплитуду и фазу результирующего колебания, если см, см, рад.

Рис. 1.1.

Решения.

а). Используя векторную интерпретацию гармонических колебаний построим векторную диаграмму (рис. 1.1), на которой по горизонтали отложим вектор с амплитудой 5 см и фазой , а под углом в 1 рад. вектор с амплитудой 10 см и фазой рад. Путем графического сложения векторов находим результирующий вектор, по которому определяем амплитуду и фазу результирующего колебания.

б) Для вычисления и можно воспользоваться формулами:

;

.

 

Ответ: =13,38 см, .

 

1.5. Тело совершает одновременно два колебания вдоль прямой: см, см.

Каковы максимум и минимум амплитуды результирующего движения, чему равны частота и период биений.

Ответ: max = 13 см, min = 1 см, частота биений 2 , период биений 3,14 с.

 


 

2. ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРОВ.

 

2.1. Незатухающие колебания.

2.1.1. Для колебательных систем изображенных на рис.2.1. определить круговые частоты собственных колебаний (массы пружин считать равными нулю). На рис.2.1. - масса груза, и - коэффициенты жесткости пружин.

Решение:

Случаи, показанные на рис.2.1.а). и рис.2.1.б). идентичны, так как при отклонении груза от нейтрального положения обе пружины деформируются одинаково. При этом возникает восстанавливающая сила.



.

Следовательно, результирующая жесткость двух пружин , а круговая частота собственных незатухающих колебаний осцилляторов

.

 
 

 

В случае, показанном на рис.2.1.в), при отклонении груза от нейтрального положения пружины с жесткостью и будут создавать одинаковые усилия , но их деформации будут различными.

; .

Смещение груза будет равно сумме деформаций каждой из пружин: .

Подставив в последнее равенство значения и , запишем:

.

Следовательно, результирующая жесткость двух последовательно соединенных пружин:

,

а круговая частота собственных незатухающих колебаний осциллятора (рис. 2.1.в)

.

Таким образом, приведенный коэффициент жесткости нескольких пружин при их параллельном соединении равен:

, ,

а при последовательном соединении пружин

, ,

где -количество пружин.

 

Ответ: ; .

 

2.1.2 Для записи вертикальных колебаний используется прибор, схема которого показана на рис. 2.2. На жестком невесомом стержне, закрепленном шарнирно, смонтирован груз массой . Стержень удерживается в положении близком к горизонтальному невесомой пружиной с коэффициентом жесткости .

 

 
 

Определить круговую частоту собственных незатухающих малых колебаний груза.

 

 

Решения.

а). Методом кинетостатики получим уравнение малых колебаний груза относительно положения равновесия, которое характеризуется малым углом .

.

Момент инерционных сил относительно точки О

.

Момент восстанавливающих сил относительно точки О

.

 

Уравнение колебаний осциллятора относительно положения равновесия

.

Следовательно, круговая частота собственных незатухающих колебаний

.

б). Используем для определения частоты собственных колебаний энергетический метод.

Для осциллятора без демпфирующих сил максимальное значение кинетической энергии равно максимальному значению потенциальной энергии .

Пусть груз колеблется в вертикальной плоскости по закону

,

где - малый угол, амплитуда колебаний.

Угловая скорость колебаний

.

Максимальное значение кинетической энергии осциллятора

.

Максимальное значение потенциальной энергии осциллятора (потенциальная энергия пружины)

.

Из равенства получаем

.

Ответ: .

 

Обратим внимание на то, что круговую частоту собственных колебаний рассмотренного осциллятора можно уменьшить приближая точку крепления пружины к стержню к точке закрепления стержня (уменьшая ).

 

 
 

2.1.3 Записать уравнение движения изображенного на рис. 2.3 вертикально установленного маятника массой (стержень считать абсолютно жестким, массой стержня и пружины пренебречь). Коэффициент жесткости пружины . Найти критическое значение коэффициента жесткости пружины, при котором нарушается устойчивость маятника. Определить круговую частоту собственных устойчивых колебаний маятника.

Решение.

Момент инерционных сил при движении маятника относительно точки О

.

Момент позиционных сил

.

Уравнение движения маятника в соответствии с методом кинетостатики

.

Маятник будет устойчив при .

Частота собственных колебаний маятника при

.

 

Ответ: ; .

 

2.1.4 Половина круглого цилиндра колеблется, качаясь без скольжения на горизонтальной плоскости (рис. 2.4.). Определить круговую частоту малых колебаний, если r - радиус цилиндра, - расстояние центра тяжести от плоского основания, - масса полуцилиндра, - момент инерции полуцилиндра относительно центра масс.

 

Решение:

 
 

Угловые колебания при плоском движении твердого тела происходят вокруг мгновенного центра скорости - точки, скорость которой в данный момент времени равна нулю. При качении без скольжения одного тела по поверхности другого мгновенный центр скоростей совпадает с точкой соприкосновения тел. Восстанавливающий момент относительно точки О, которая является мгновенным центром скоростей .

Момент инерции тела относительно точки О с учетом малости угла качания,

.

Тогда уравнение угловых колебаний полуцилиндра

,

а круговая частота собственных колебаний

.

 

2.1.5 Кольцо, внутренний радиус которого R, надето на вал радиусом r (рис. 2.5.а). Определить круговую частоту собственных малых колебаний кольца, если его масса - , а центральный момент инерции . Кольцо качается на валу без скольжения.

 

 

Решение.

 
 

Предположим, что маятник (кольцо) отклонилось вправо (рис. 2.5.б). Его

 

 

центр переместился из точки О в точку , а мгновенный центр скоростей - точка касания кольца и вала переместился в положение . Угол отклонения маятника от вертикали обозначим . При отклонения маятника

 

 

точка поднялась над осью Ох на величину и сместилась вдоль оси Ох на величину х. В точке мгновенного центра скоростей на кольцо со стороны вала действует нормальная реакция и сила трения . Предположим, что при отклонении маятника (кольца) на угол кольцо повернется вокруг точки на угол .

Запишем уравнение движения кольца:

; (1)

; (2)

; (3)

Для того, чтобы определить взаимосвязь между углами и учтем, что скорость точки равна 0 ( ). Эту скорость можно представить, как сумму скоростей

,

где - скорость точки , ; - скорость точки относительно точки , .

Следовательно,

. (4)

Запишем выражение для смещения центра масс кольца.

; .

Дважды продифференцируем последние равенства, получим

(5)

. (6).

Умножим уравнение (1) на , а уравнение (2) на ,сложим их, и запишем:

.

Подставим в это равенство значения ускорений (5) и (6), силы F (из уравнения (3) с учетом равенства (4)) и в результате получим уравнение колебаний кольца в виде:

,

или после преобразований и для малого в виде

.

Следовательно круговая частота собственных колебаний кольца

.

 

2.1.6. Определить собственную круговую частоту малых колебаний маятника (рис. 2.6), ось вращения которого составляет малый угол с вертикалью. Стержни составляющие маятник считать абсолютно жесткими, невесомыми. Масса груза - .

 

 

Решение.

Малый угол поворота маятника относительно наклонной оси обозначим . Для того чтобы определить выражение восстанавливающего момента, возникающего при повороте маятника на малый угол обратимся к рис.2.7, на котором - неподвижная система координат, а - система координат связанная с маятником. Ось расположена вертикально, ось находится в плоскости равновесных положений маятника, а ось перпендикулярна осям и . Ось направлена по оси вращения маятника, а ось Ox вдоль стержня .

Из рис.2.7. следует что восстанавливающий момент относительно оси при отклонении маятника на угол равен

или для малых углов

.

Поскольку момент инерции маятника , то выражение для круговой частоты собственных колебаний может быть записано в виде

.

 

Из полученного выражения видно, что при выборе малого угла можно получить весьма низкую частоту собственных колебаний маятника.

 

 

2.2. Затухающие колебания.

 

2.2.1. Прибор представляет собой груз (рис. 2.8) массой , укрепленный в герметичном корпусе, заполненном вязкой жидкостью, на двух пружинах с коэффициентами жесткости каждая. Считая, что сопротивление движению груза прямо пропорционально скорости (коэффициент демпфирования ) требуется:

1)

 
 

составить дифференциальное уравнение малых свободных колебаний груза;

 

2) определить круговые частоты собственных незатухающих и собственных затухающих колебаний; относительный коэффициент демпфирования; найти время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 100 раз; вычислить сколько колебаний придется совершить грузу, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась более, чем в 100 раз; логарифмический декремент затухания.

При решении принять кг; ; ; ; .

Решение.

Уравнение малых колебаний груза

 

или

.

Следовательно

;

;

.

Решение уравнения колебаний массы при заданных начальных условиях

,

где рад.

Если начало отсчета движения сдвинуть вправо по оси времени на величину , то выражение колебаний примет вид:

.

Обозначим время, в течение которого амплитуда уменьшится в 100 раз, тогда справедливо равенство

или .

.

Количество колебаний за время , . Период затухающих колебаний

,

.

Следовательно, количество колебаний по прохождении которых амплитуда уменьшится более чем в 100 раз равно трем.

Логарифмический докремент затухания

.

2.2.2. Груз массой совершает затухающие колебания с периодом . После n колебаний амплитуда уменьшилась со значения до значения . Определить коэффициент демпфирования. Вычисления провести для следующих цифровых значений кг, с, , м, м.

Решение.

Отношение амплитуд через n полных колебаний

.

Имея в виду, что , запишем .

Отсюда

.

2.2.3. Амплитуда колебаний некоторой системы за один период уменьшилось на 60%. Оценить в какой мере вязкое трение повлияло на частоту колебаний.

Решение.

Логарифмический декремент затухания .

Имея в виду, что , запишем

.

 

Возводя обе части последнего равенства в квадрат, после преобразований получим

.

Соотношение частот незатухающих и затухающих колебаний

.

Отличие от составляет 1%.

 

2.2.4. Подобрать значения индуктивности , сопротивления , и емкости при их параллельном включении, чтобы можно было промоделировать колебания, описываемые уравнением

.

Уравнения колебаний напряжения в замкнутом контуре при параллельном включении катушки индуктивности, резистора и конденсатора

Решение.

Поделив заданные уравнения и уравнения электрического колебательного контура на коэффициент при старшей производной, запишем

, где ; ; и ,

где ; .

Для того чтобы колебательные процессы были аналогичными, необходимо выполнить условия

; .

Задавшись величиной индуктивности можно вычислить требуемые значения емкости и сопротивления

; .

 

2.2.5. Для определения вязкости жидкости Кулон употреблял следующий метод: подвесив на пружины тонкую пластинку массой , площадью S он наблюдал ее вертикальные колебания сначала в воздухе, а затем погружал в жидкость, вязкость которой хотел определить, и наблюдал ее колебания в жидкости. В первом случае он находил продолжительность периода , а во втором . Сила вязкого трения между пластиной и жидкостью (сила сопротивления) может быть выражена формулой:

, где - коэффициент вязкости.

Пренебрегая трением между пластиной и воздухом получить формулу для вычисления коэффициента по найденным из опыта величинам.

Решение.

Круговая частота собственных затухающих колебаний осциллятора

.

Относительный коэффициент демпфирования

,

следовательно

,

или

.

Отсюда коэффициент демпфирования

.

Так как , то коэффициент вязкости жидкости

.

 

2.3. Вынужденные колебания осцилляторов.

 

2.3.1. Электродвигатель массой установлен на основании с помощью упругой подвески (рис.2.9).

Электродвигатель вращается с угловой скоростью . Ротор электродвигателя неуравновешен. Неуравновешенная масса расположена на расстоянии от оси вращения двигателя. Статическое сжатие пружины под действием веса двигателя - . Коэффициент демпфирования подвески - d.

Вычислить суммарный коэффициент жесткости пружин подвески, амплитуду вертикальных колебаний двигателя при заданной угловой скорости вращения и при резонансе, амплитуду перегрузки, которой подвержен электродвигатель при вращении с заданной угловой скоростью и в случае резонанса.

При расчетах принять, что кг, об./мин, кг, м, м, Нс/м.

 

 
 

 

 

Решение.

Уравнение вертикальных колебаний электродвигателя при гармоническом возмущающем воздействии

,

где - суммарный коэффициент жесткости подвески; - амплитуда внешнего воздействия; - круговая частота внешнего воздействия; - фаза возмущающего воздействия.

Разделив обе части уравнения на , запишем

где ; ; .

Круговую частоту собственных колебаний подвески вычислим по формуле

.

Суммарный коэффициент жесткости пружины

.

Относительный коэффициент затухания колебаний электродвигателя

.

Внешнее воздействие в виде центробежной силы изменяется с круговой частотой

.

Амплитуда внешнего воздействия

.

.

Амплитуда вынужденных колебаний электродвигателя

 

Для вычисления амплитуды колебаний электродвигателя при резонансе вначале вычислим и , соответствующие вращения электродвигателя со скоростью 156,5 1/с:

;

.

При этом амплитуда колебаний будет

.

Амплитуда перегрузки, которую испытывает электродвигатель при вращении с заданной угловой скорости ( )

и при резонансе ( )

.

 

2.3.2. Электродвигатель установлен на основании с помощью упругой подвески (рис.2.9). Скорость вращения электродвигателя об/мин. Какова должна быть величина статического сжатия пружин подвески под действием веса электродвигателя, если допустимое воздействие упругой подвески на основание не должно превышать 5% от периодической силы, обусловленной неуравновешенностью ротора. При расчетах принять, что демпфирование колебаний двигателя на подвеске отсутствует.

Указания к решению.

Воспользуемся формулой коэффициента амортизации

.

При

В рассматриваемом случае должно выполняться условие:

или . Круговая частота внешнего воздействия на подвеску

.

Следовательно, круговая частота собственных колебаний системы электродвигатель-подвеска должна удовлетворять условию

Воспользовавшись формулой

,

вычислим необходимую величину статического сжатия пружин подвески

см.

 

2.3.3. Груз массой (рис.2.10.) закреплен на колесе с помощью пружинной подвески и равномерно перемещается вдоль прямой со скоростью V. Профиль поверхности, по которой катится колесо, описывается уравнением (см. рис.2.10).

Определить допустимое значение коэффициента жесткости подвески, если требуется, чтобы амплитуда вертикальных колебаний груза не превосходила 0,05 от амплитуды А профиля поверхности. При решении принять, что демпфирование колебаний отсутствует.

 
 

 

Решение.

Перемещение груза вдоль прямой выражается зависимостью .

Следовательно, вертикальное перемещение оси колеса ,

где , - радиус колеса. Вертикальные колебания груза описываются уравнением

,

где - перемещение груза по отношению к колесу, .

После подстановки в уравнение выражений и получим

или

.

При этом амплитуда колебаний груза

,

где - коэффициент амортизации. В случае отсутствия демпфирования

В рассматриваемом случае

или .

Откуда .

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.