Передаточная функция системы, составленной из звеньев

Если имеется система, составленная из элементарных (а может быть, и не элементарных) звеньев, передаточные функции которых известны, можно написать передаточную функцию всей системы. Для этого надо знать лишь правила записи передаточной функции различных соединений звеньев. При построении системы может встретиться три типа соединений: последовательное соединение, параллельное соединение и обратная связь. Эти соединения показаны на рис. 1.9. под обозначениями а), б) и в) соответственно.

При последовательном соединении звеньев (случай а) передаточная функция соединения равна произведению передаточных функций элементов:

Это следует непосредственно из определения передаточной функции, как об этом говорилось выше.

При параллельном соединении звеньев (случай б) выходные сигналы звеньев складываются, поэтому передаточная функция соединения равна сумме передаточных функций элементов:

Для вывода передаточной функции звена, охваченного обратной связью, рассмотрим сначала уравнения, ее описывающие:

Если обратная связь отрицательная, то в правой части первого уравнения (1.87) будет стоять знак минус. Для получения передаточной функции надо исключить из уравнений сигнал обратной связи z_ос. Для этого подставим выражение для сигнала обратной связи из второго уравнения (1.87) в первое.

Разрешая уравнение относительно z(p), получаем:

Для системы с отрицательной обратной связью Выражение для передаточной функции замкнутой системы выглядит так же, но со знаком плюс в знаменателе:

Следует отметить, что использование передаточных функций связано в основном с тем, что в сороковые годы двадцатого века, когда, собственно, и был детально разработан весь аппарат для работы с описаниями объектов в частотной области, большая часть расчетов производилась вручную или с привлечением средств «малой» автоматизации – всевозможных арифмометров или электромеханических табуляторов.

Главной задачей при исследовании любой системы автоматического управления является исследование ее поведения при различных условиях. Это требует решения соответствующих дифференциальных уравнений, что было совершенно недоступно в те времена. Поэтому исследования были направлены на получение возможности определения характеристик решений дифференциальных уравнений без необходимости получать сами решения. К таким характеристикам относились:

– устойчивость решений,

– получение показателей качества переходных процессов,

– определение отдельных характеристик переходных процессов, таких, как перерегулирование, время переходного процесса, точность и т.д.

В настоящее типовая настольная ЭВМ может решать нелинейные дифференциальные уравнения очень высокого порядка (до 100 и выше) с требуемой точностью за приемлемое время. Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что все необходимые решения дифференциальных уравнений можно получить. Методика их решения здесь не рассматривается, так как это выходит за рамки данного курса.

Контрольные вопросы к разделу 1.1.5

1. Что такое элементарное звено?

2. Пример апериодического звена.

3. Как определить постоянную времени апериодического звена?

4. Пример колебательного звена?

5. Пример интегрирующего звена.

6. Пример дифференцирующего звена.

7. Существуют ли в природе объекты, являющиеся дифференцирующим звеном?

8. Какой сдвиг фазы у интегрирующего звена?

9. Какой сдвиг фазы у дифференцирующего звена?

10. Как ведет себя колебательное звено с нулевым коэффициентом затухания?

11. Логарифмические частотные характеристики.

12. Откуда в логарифмических частотных характеристиках коэффициент 20?

13. Что такое децибел?

14. Асимптотические частотные характеристики.

15. Последовательное соединение звеньев.

16. Параллельное соединение звеньев.

17. Обратная связь.

18. Какова амплитудно-частотная характеристика любого реального объекта?

19. Какова фазочастотная характеристика реального объекта?

Дискретные модели

В настоящее время очень трудно найти автоматическую систему управления, не содержащую в составе цифровую ЭВМ. Управляющие ЭВМ и контроллеры применяются на только в станках с числовым программным управлением или в прокатных станах, но и в стиральных машинах, электроплитах, утюгах и т.д.

Применение цифровых управляющих систем приводит к необходимости преобразовывать аналоговые измерения в дискретные (аналого-цифровое преобразование - АЦП), а цифровые управляющие воздействия – в аналоговую форму (цифро-аналоговое преобразование - ЦАП). При этом возникают проблемы, связанные с дискретностью преобразования по величине и по времени. Дискретность преобразования по величине определяет точность преобразования, а, в конечном счете, и управляющей системы в целом. Здесь могут также возникнуть проблемы потери точности, потери устойчивости и т. п. Эти проблемы подробно рассматриваются в курсах "Численные методы" и "Приближенные вычисления". Здесь мы рассмотрим проблемы, связанные с дискретизацией по времени.

Предположим, что наблюдения объекта (1.30) производятся в дискретные моменты времени с периодом Dt. Для k+1 интервала времени (от точки с номером k до точки с номером k+1) можно записать решение x(t) из (1.43):

Будем считать, что управление u(t) является кусочно-постоянным:

Это требование не очень жестко, так как всегда можно выбрать достаточно малое значение Dt, обеспечивающее нужную точность представления. С учетом (1.91) можно записать

где: x_k=x(kDt),

F=X[Dt],

Вместе с уравнением наблюдения получаем дискретную модель объекта управления

Если на объект действуют возмущение w_k и помеха измерения v_k, то система уравнений, описывающая объект, имеет вид:

Блок-схема дискретной модели приведена на рис. 1.10.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: