Конденсатор в цепи синусоидального тока

Лекция № 8

Индуктивность в цепи синусоидального тока

Из опыта известно, что для контуров (катушек) с неферромагнитным сердечником или для катушек с сердечником из магнитодиэлектриков, у которых магнитная проницаемость µ почти постоянная и не зависит от напряжённости магнитного поля, потокосцепление ψ пропорционально току :

(2-29)

Коэффициент пропорциональности L называют собственной индуктивностью контура или индуктивностью.

[L]= (Генри).

Практически любая катушка обладает некоторой индуктивностью L и активным сопротивлением R. На схеме катушку можно представить в виде последовательно соединённых индуктивностей L и резистора с сопротивлением R. Выделим из схемы одну индуктивность (рис.13).

Рис. 2-13. Катушка индуктивности в цепи синусоидального тока

Через индуктивность L течёт синусоидальный ток . В катушке находится ЭДС самоиндукции.

(2-30)

Положительное направление отсчёта для ЭДС обозначено стрелкой, совпадающей с положительным направлением отсчёта тока (рис. 2-13).

Найдём разность потенциалов между точками “a” и “b”. При перемещении от точки “b” к точке “a” идём навстречу ЭДС , поэтому , следовательно:

Таким образом, напряжение на катушке индуктивности противоположно ЭДС самоиндукции :

(2-31)

здесь

Из закона Ома ясно, что ωt это некоторое сопротивление.

Произведение ωL обозначают и называют индуктивным сопротивлением.

(2-32)

Проверим его размерность:

Таким образом, индуктивность оказывает переменному току сопротивление . Оно прямо пропорционально частоте.

Изобразим на векторной диаграмме комплексы действующих значений тока , напряжения на катушке и ЭДС самоиндукции (рис. 2-14).

Рис. 2-14. Векторная диаграмма

У тока нулевая начальная фаза, поэтому комплекс действующего значения отложен по вещественной оси.

У напряжения на катушке фаза равна 90º. Положительные углы на комплексной плоскости откладываются от вещественной оси против часовой стрелки. Поэтому комплекс действующего значения напряжения на катушке направлен помнимой оси.

У ЭДС самоиндукции фаза равна минус 90º. Отрицательные углы на комплексной плоскости откладываются по часовой стрелке. Поэтому комплекс действующего значения ЭДС самоиндукции отложен вдоль отрицательного направления мнимой оси.

Таким образом, при протекании синусоидального тока через катушку индуктивности вектор тока отстаёт от вектора напряжения на катушке на 90º.

Найдём теперь мгновенную мощность p для данного случая:

(2-33)

Изобразим на временной диаграмме графики тока i, напряжения и мгновенной мощности p (рис. 2-15).

Рис. 2-15. Графики мгновенных значений тока i, напряжения и мощности р.

Мгновенная мощность p положительная в первую, третью и все нечетные четверти периода, когда напряжение и ток имеют одинаковые знаки. Площадь, ограниченная кривой р и осью абсцисс за четверть периода, представляет собой энергию, которая взята от источника питания на создание магнитного поля в катушке индуктивности.

Мгновенная мощность р отрицательная во вторую, четвёртую и все четные четверти периода, когда напряжение и ток имеют разные знаки. Во вторую, четвёртую и все чётные четверти периода, когда ток в цепи уменьшается от максимума до нуля, энергия, запасённая в магнитном поле катушки индуктивности, возвращается обратно источнику. Направление потока энергии меняется на противоположное.

Таким образом, в катушке индуктивности не происходит потребление энергии от источника, а происходит накапливание энергии в магнитном поле катушки индуктивности в нечётные четверти периода и возврат накопленной энергии источнику во все чётные четверти периода.

Напомним, что элемент, не потребляющий энергию от источника, называется реактивным и обладает реактивным сопротивлением. То есть катушка индуктивности – это реактивный элемент, обладающий реактивным сопротивлением .

Мгновенная мощность р принимает нулевое значение каждую четверть периода, когда либо ток , либо напряжение равны нулю.

Конденсатор в цепи синусоидального тока

Если приложенное к конденсатору напряжение не меняется во времени, то заряд q=CU на одной его обкладке и заряд –q=-Cu на другой (С-ёмкость конденсатора) неизменны и ток через конденсатор не проходит ( ). Если же напряжение на конденсаторе меняется во времени, например по синусоидальному закону

(2-34)

то по синусоидальному закону будет меняться заряд q конденсатора:

(2-35)

и конденсатор будет периодически перезаряжаться. Периодическая перезарядка конденсатора сопровождается протеканием через него синусоидального тока

(2-36)

Из сопоставления (2-34) и (2-36) видно, что ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 90º. На векторной диаграмме вектор тока направлен по вещественной оси комплексной плоскости, а вектор напряжения на конденсаторе направлен в отрицательном направлении мнимой оси.

На рис. 2-16 изображен конденсатор емкостью С, по которому протекает синусоидальный ток .

Рис. 2-16. Конденсатор в цепи синусоидального тока

На рис. 2-17 изображена векторная диаграмма при протекании через конденсатор синусоидального тока.

Рис. 2-17. Векторная диаграмма

Таким образом, при протекании синусоидального тока через конденсатор вектор тока опережает вектор напряжения на конденсаторе на 90º.

Из выражения (2-36) запишем амплитуду тока :

(2-37)

Ясно, что выражение в знаменателе есть некоторое сопротивлению согласно закону Ома:

, (2-38)

которое называют емкостным сопротивлением конденсатора.

Проверим размерность Xc:

(2-39)

Таким образом, конденсатор оказывает переменному току сопротивление . Оно обратно пропорционально угловой частоте ω.

Мгновенная мощность.

(2-40)

Графики мгновенных значений U,I,p приведены на рис. 2-18.

Рис. 2-18. Графики мгновенных значений тока , напряжения и

мощности p

Во вторую и все чётные четверти периода мгновенная мощность р положительная, и в этой четверти периода энергия от источника передаётся конденсатору и идёт на создание электрического поля конденсатора.

В первую и все нечётные четверти периода мгновенная мощность р отрицательная, и энергия, занесённая в электрическое поле конденсатора, возвращается источнику.

Мгновенная мощность положительная, когда напряжение и ток имеют одинаковые знаки, и отрицательная – когда напряжение и ток имеют противоположные знаки.

Мгновенная мощность р равна нулю, когда либо ток , либо напряжение проходят через нуль. Это происходит каждую четверть, поэтому мгновенная мощность изменяется с двойной частотой питающей сети.

Таким образом, в конденсаторе не происходит потребление энергии от источника, а происходит накапливание энергии в электрическом поле конденсатора в чётные четверти периода и возврат накопленной энергии источнику в нечётные четверти периода.

Напомним, что элемент, не потребляющий энергию от источника, называется реактивным и обладает реактивным сопротивлением. То есть конденсатор – это тоже реактивный элемент, обладающий реактивным сопротивлением .

Диэлектрик, находящийся между обкладками конденсатора, всегда неидеален, то есть в нем всегда есть некоторые потери энергии, которые относительно малы и ими часто можно пренебречь. Если требуется учесть их в расчёте , то конденсатор заменяют схемой замещения (рис. 2-19), в которой параллельно ёмкости присоединено активное сопротивление R, потери энергии в котором имитируют потери энергии в реальном диэлектрике.

Рис. 2-19. Схема замещения реального конденсатора

На рис. 2-20 приведена векторная диаграмма для реального конденсатора.

Рис. 2-20. Векторная диаграмма реального конденсатора

На диаграмме вектор напряжения на конденсаторе направлен по вещественной оси комплексной плоскости. Вектор тока через конденсатор опережает вектор напряжения на 90º, то есть направлен в положительном направлении мнимой оси. Вектор тока через сопротивление R совпадает по направлению , то есть направлен по вещественной оси. Ток через реальный конденсатор равен согласно первому закону Кирхгофа:

(2-41)

В результате ток реального конденсатора опережает на угол меньший 90º. Угол между токами и называют углом потерь, он зависит от сорта диэлектрика и частоты. В справочниках обычно приводят или обратную величину

(2-42)

которую называют добротностью контура.

Чем лучше диэлектрик, то есть чем меньше в нём потери энергии, тем меньше угол и тем больше добротность конденсатора .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: