ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ И СМЕШАННОЕ СОЕДИНЕНИЕ РЕЗИСТОРОВ

Лекция № 4

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ИСТОЧНИКИ ЭДС И ТОКА

Можно так же уменьшить число уравнений для расчёта токов в электрической цепи, если составлять только узловые уравнения для токов. Выполнение второго закона Кирхгофа обеспечивается соответствующим выражением всех токов по закону Ома через разность потенциалов:

Рис. 1-26. Схема ветви

ϕ_a – ϕ_b = IR – E ; (1-95)

I= = (φ_a – φ_b + E)g; g = . (1-96)

Выражая из уравнения (1-95) ток, можно быть уверенным в том, что второй закон Кирхгофа выполняется автоматически.

Рассмотрим метод узловых потенциалов на примере схемы рис.1- 27

Рис. 1-27. Схема электрической цепи

Токораспределение в схеме не изменится, если один из узлов схемы заземлить, т.е. принять потенциал этого узла равным нулю.

Пусть φ_с = 0, а значит φ_n = -Е₃. Теперь известны потенциалы двух узлов, поэтому достаточно составить три уравнения для узлов а, b, d.

Число уравнений, которые нужно составить по методу узловых потенциалов всегда равно числу узлов, потенциалы которых неизвестны.

Система уравнений в наиболее общем случае, т.е. когда в схеме имеются и источники ЭДС и источники тока, имеет следующий вид для схемы рис.1- 27:

φ_ag_aa – φ_bg_ab – φ_dg_ad = 0;

–φ_ag_ba + φ_bg_bb – φ_dg_bd = E₂g_bd; (1-97)

–φ_ag_da – φ_bg_db + φ_dg_dd = -E₂g_bd – E₃g_dс – I_кз .

Здесь g_aa, g_bb, g_dd – суммарная проводимость всех ветвей, сходящихся соответственно в узлах a, b, d.

g_ab, g_ad, g_bd, g_dc - проводимости ветвей между соответствующими узлами.

Очевидно, что g_ab = g_ba, g_ad = g_da, g_bd = g_db, g_dc = g_cd.

В левой части уравнений (97) члены, содержащие суммарные проводимости, берутся со знаком «плюс», а все остальные члены – со знаком «минус».

В правой части уравнения (1-97) стоят алгебраические суммы произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, сходящихся в узлах, а так же алгебраическая сумма токов от источников токов, подходящих к узлам. Произведение ЭДС Е на проводимость g берётся со знаком «плюс», если ЭДС Е направлена к узлу схемы, и со знаком «минус», если ЭДС Е направленна от узла схемы.

Первое уравнение в системе (1-97) составлено для узла а, второе – для узла b, третье – для узла d.

Для схемы рис.1- 27 имеем:

g_aa = ; (1-98)

g_bb = ; (1-99)

g_dd = ; (1-100)

g_ab = g_ba = ; g_ad = g_da = ;

g_bd = g_db = ; g_dc = g_cd = . (1-101)

Ток от источника тока, протекающий к узлу, берётся со знаком «плюс», а оттекающий от узла – со знаком «минус».

Подставив заданные значения сопротивлений резисторов, ЭДС и источника тока получим систему из трех уравнений, неизвестными в которой являются потенциалы φ_a, φ_b, φ_d.

Воспользуемся для решения, например, методом Крамера:

φ_a = ; φ_b = ; φ_d = . (1-102)

где - главный определитель;

_a, _b, _d – частные определители.

Далее найдем токи в ветвях по закону Ома:

I₁= ; (1-103)

I₂= ; (1-104)

I₃= = ; (1-105)

I₄= ; (1-106)

I₅= ; (1-107)

I₆= ; (1-108)

I₇= I_кз + I₃. (1-109)

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ И СМЕШАННОЕ СОЕДИНЕНИЕ РЕЗИСТОРОВ

Рассмотрим сначала схему на рис. 1-28, в которой последовательно включены три резистора. По всем элементам протекает один и тот же ток.

Рис. 1-28. Схема электрической цепи

Обозначим через U₁, U₂, U₃ падения напряжения на резисторах R₁, R₂, R₃ соответственно. Запишем второй закон Кирхгофа для данной схемы:

U₁ + U₂ + U₃ = Е; (1-110)

IR₁ + IR₂ + IR₃ = I(R₁ + R₂ + R₃) = Е; (1-111)

IR=Е; R = R₁ + R₂ + R₃. (1-112)

Здесь под R обозначено суммарное сопротивление всех трёх резисторов.

Таким образом, при последовательном соединении нескольких резисторов общее сопротивление схемы равно сумме сопротивлений последовательно включенных резисторов.

Рассмотрим схему рис. 1-29, когда два резистора включены параллельно.

Рис. 1-29. Схема электрической цепи

На параллельно включенных резисторах R₁ и R₂ одно и то же напряжение, а токи в резисторах R₁ и R₂ разные. Обозначим через I ток в неразветвленной части цепи, а через I₁ и I₂ токи в резисторах R₁ и R₂ соответственно.

Запишем первый закон Кирхгофа для данной схемы:

I=I₁ + I₂ = =Е( ) = Eg. (1-113)

Здесь g= - суммарная проводимость параллельно включенных резисторов.

Таким образом, при параллельном включении резисторов складываются их проводимости.

g= = . (1-114)

Отсюда легко получить

R= . (1-115)

Получилась часто используемая формула для определения общего сопротивления параллельно включенных резисторов.

Аналогично можно рассчитать общую проводимость трёх параллельно включенных резисторов

= . (1-116)

и общее сопротивление трёх параллельно включённых резисторов:

R = . (1-117)

Рассмотрим теперь схему рис. 1-30, в которой смешанное соединение резисторов.

Рис. 1-30. Схема электрической цепи

Обозначим через R₃₄ общее сопротивление параллельно включённых резисторов R₃ и R₄ :

R₃₄= . (1-118)

Через R₅₆₇ обозначим общее сопротивление трех параллельно включённых резисторов R₅, R₆, R₇ :

R₅₆₇ = . (1-119)

Очевидно, что сопротивления резисторов R₁ и R₂, сопротивление R₃₄ и сопротивление R₅₆₇ включены последовательно. Поэтому общее сопротивление цепи будет:

R = R₁ + R₂ + R₃₄ + R₅₆₇ = R₁ + R₂ + + . (1-120)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: