Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации.
1. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей в изотропной среде
Для этой модели справедлив экспериментально установленный линейный закон фильтрации Дарси
,
| (2.30)
| Или в проекциях на оси декартовой системы координат
,
|
| где называется коэффициентом проницаемости, или просто проницаемостью.
Проницаемость имеет размерность площади. Она не зависит от свойств жидкости, является чисто геометрической характеристикой пористой среды.
В практике принято проницаемость измерять в мкм2. Среда имеет проницаемость 1 мкм2 если при градиенте давления 10 МПа/м через площадку 10-4 м2 расход жидкости, вязкость которой 10-3 Па.с, составляет 10-6 м3/с, т. е. 1мкм2 = 10-12 м2.
Проницаемость определяется геометрией порового пространства. Известно множество попыток установить аналитическую зависимость между проницаемостью, пористостью, размером, формой и упаковкой частиц.
Для фиктивного грунта Слихтер нашел, что теоретическая проницаемость
,
|
| а Козени получил
.
|
| Эти формулы полезны при изучении закономерностей фильтрации только в искусственных пористых телах. Для реальных тел достоверные результаты можно получить лишь по данным измерений расхода и перепада давления в лабораторных условиях на керновом материале или при натуральных испытаниях пластов с последующей интерпретацией полученных результатов.
Закон фильтрации (2.30) – это упрощенная форма уравнений движения
,
|
| неразрывности движения или сохранения массы
,
|
| и механического состояния
,
|
| в которых отброшены силы инерции , а сумма сил заменена силами трения Ньютона . Тогда отпадает надобность в уравнениях состояния (2.24).
Имеем симметричный девиатор напряжений
Принимается, что при небольших изменениях порового давления пористость и проницаемость среды, а также плотность жидкости линейно зависят от , т. е.
| (2.31)
| где , и – соответственно пористость, проницаемость и плотность при начальном давлении ; и – соответственно модули объемной упругости скелета и жидкости. Кроме того, принимаем, что .
К уравнениям (2.30 и (2.31) необходимо присоединить еще уравнение неразрывности движения жидкости (2.22), которое в силу неполного, равного , заполнения элементарного объема сплошной среды принимает вид
.
| (2.32)
| Уравнения (2.30) – (2.32) образуют, таким образом, замкнутую систему для определения функций , , и . Но если подставить уравнения (2.30) и (2.31) в (2.32) и учесть, что в реальных ситуациях величины и много меньше единицы, то отбросив малые величины высших порядков, получим одно основное
классическое уравнение теории фильтрации:
,
| (2.33)
|
где – коэффициент пьезопроводности среды; – приведенный модуль объемной упругости среды; – оператор Лапласа. Пьезопроводность имеет размерность м2/с.
Если , то уравнение (2.33) описывает нестационарное поле давления при упругом режиме фильтрации. При имеем уравнение Лапласа
,
| (2.34)
| которое характеризует неупругий (жесткий) режим фильтрации и, следовательно, стационарное поле давления. Это же уравнение имеет место при , т. е. при установившемся режиме фильтрации.
Для однозначного определения поля давления в заданной области , ограниченной поверхностью , необходимо и достаточно, чтобы решение уравнения (2.33) удовлетворяло начальному условию (при )
при
| (2.35)
| и при граничным условиям:
если на поверхности (или ее части) задано давление , то
при ,
| (2.36)
| если задана нормальная составляющая скорости фильтрации, то
,
| (2.37)
| если поверхность покрыта тонкой слабопроницаемой перемычкой (например, глинистая корка на стенке скважины), то
,
| (2.38)
| где – характерный линейный размер; – коэффициент поверхностного фильтрационного сопротивления, получивший название параметр «скин-эффекта».
Ясно, что для уравнения (2.34) начальное условие (2.35) смысла не имеет, а граничные условия вида (2.36) – (2.38) сохраняются.
2. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей для анизотропной среды.
Проницаемость зависит от направления - имеет место обобщенный закон Дарси
,
| (2.39)
| где – тензор проницаемости.
Если воспользоваться системой координат, оси которой совпадают с главными осями тензора , то уравнение (2.39) в проекциях на оси декартовой системы координат перепишется в виде
,
| (2.40)
| где – проницаемости вдоль главных осей анизотропии. При этом проекция скорости фильтрации на нормаль к элементарной площадке вычисляется по формуле
.
| (2.41)
| Подставляя (2.40) в (2.32) получим уравнение при установившейся фильтрации
.
| (2.42)
| Учитывая (2.41), усложняются и граничные условия вида (2.37) и (2.38).
Однако граничную задачу, связанную с уравнением (2.42), легко свести к граничной задаче, связанной с уравнением Лапласа (2.34), если вести следующую замену переменных:
для пространства
для плоскости
| (2.43)
| где – новые координаты.
Это означает геометрическое преобразование анизотропной области в некоторую изотропную область , проницаемость которой
| (2.44)
| При этом граница области преобразуется в границу области . Например, область, ограниченная окружностью
,
| (2.45)
| преобразуется согласно (2.42) в область, ограниченную эллипсом
.
| (2.46)
| или в параметрическом виде
.
|
| где , - полуоси элипса
Для области имеем уравнение Лапласа
,
|
| решение которого должно удовлетворять заданному граничному условию на окружности (2.45) для соответствующих точек эллипса (2.46).
3.Закономерности фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах для однородной и изотропной среды.
Горная порода рассматривается как сплошная, в любой точке которой имеют место двойная пористость , проницаемость , скорость фильтрации и давление , связанные законом Дарси
| (2.47)
| и уравнениями неразрывности
|
(2.48)
| где индексами 1 и 2 обозначены величины, характеризующие соответственно систему трещин и пор;
.
| (2.49)
| – интенсивность перетока жидкости между этими системами; – новая безразмерная величина, характеризующая данную среду.
При этом пористости и являются функциями обоих давлений, т.е.
.
| (2.50)
| Однако во многих случаях систему уравнений (2.47) – (2.48) можно упростить, если исходить из следующих условий:
а) объем, занимаемый трещинами, много меньше объема пор, т.е. допустимо принять ;
б) изменение пористости происходит в основном за счет изменения порового давления и поэтому при небольших изменениях этого давления
;
| (2.51)
| в) проницаемость , т.е. фильтрацией в порах можно пренебречь ;
г) жидкость слабосжимаема так что
,
| (2.52)
| где или в зависимости от того, рассматривается жидкость в трещинах или в порах;
д) вязкость жидкости .
Физическая сущность перечисленных допущений состоит в том, что в системе трещины – поры рассматривается фильтрация жидкости по трещинам в условиях интенсивного массобмена с жидкостью, находящейся в упругом деформированном поровом пространстве.
В результате принятых упрощений уравнения (2.48) примут вид
.
|
| Подставляя сюда соотношения (2.47), (2.49), (2.51), (2.52) и отбрасывая малые величины высших порядков, получим
,
| (2.53)
| где – специфическая характеристика трещиновато-пористой среды; – своеобразная пьезопроводность среды.
Параметр имеет размерность площади, и для реальных пород его порядок может изменяться в широких пределах – от 10-1 до 106 м2.
Легко заметить, что путем исключения одного из давлений система уравнений (2.53) сводится к одному уравнению
,
| (2.54)
| где – параметр, называемый временем запаздывания.
Это уравнение отличается от классического уравнения (2.33) слагаемым, содержащим параметр . В пределе, когда , среда с двойной пористостью переходит в чисто пористую и уравнения (2.54) и (2.33) совпадают.
При жестком режиме фильтрации или при установившейся фильтрации уравнение (2.54) обращается в уравнение Лапласа (2.34).
Следовательно, ставить задачу о фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде имеет смысл при .
Начальное и граничные условия, которые необходимо присоединить к уравнению (2.54), обладают некоторой особенностью. Прежде всего ясно, что граничную задачу, связанную с уравнением (2.54) следует рассматривать относительно одного из давлений – или .
Если начальные условия и удовлетворяют первому уравнению (2.53), то задачу целесообразно решать относительно давления , принимая начальные и граничные условия в виде выражений (2.35) – (2.38). После определения давления вычисляют поровое давление .
В противном случае задачу следует решать относительно давления . Но здесь имеет место определенная специфика в задании граничных условий.
Если начальное распределение давления согласовано с граничными условиями вида
,
| (2.55)
| при , то в таком виде граничная задача и рассматривается.
Но если же согласования нет, то к правым частям соответствующих граничных условий необходимо прибавить слагаемое , где – невязка существующего граничного условия:
| (2.56)
|
Это свидетельствует о том, что заданный скачок граничных условий в порах трещиновато-пористой среды не уничтожается мгновенно, как в обычной пористой среде, а убывает по закону . Такое качественное отличие – результат принятого упрощения пренебрежения фильтрацией жидкости в порах, где давление изменяется только благодаря массообмену с жидкостью в трещинах. Аналогично, предположение о жестком характере фильтрации жидкости в трещинах приводит к указанной выше проверке начальных распределений давлений и .
После решения граничной задачи относительно порового давления распределение давления в трещинах определяется по формуле (2.53)
а скорости фильтрации относительно какой–либо поверхности – по формуле
(2.55)
4. Приизучении фильтрации газа основное значение имеет его высокая сжимаемость, которая на несколько порядков выше сжимаемости пористой среды.
Поэтому в уравнении неразрывности (2.32) пренебрегают изменением пористости во времени и представляют это уравнение в виде
.
| (2.57)
| К этому уравнению необходимо присоединить уравнение состояния газа
и закон фильтрации, который при небольшой скорости фильтрации имеет вид закона Дарси
| (2.58)
| где в общем случае ; - температура.
В простейшем случае газ можно считать термодинамически идеальным, находящемся при постоянной температуре с вязкостью µ=const и плотностью
,
| (2.59)
| где - постоянные величины.
Подстановка (2.58) и (2.59) в (2.57) дает основное нелинейное уравнение теории фильтрации газа
,
| (2.60)
| которое впервые было получено Л. С. Лейбензоном в 1930г.
Наиболее известный приближенный метод решения этого уравнения основан на линеаризации, по Л. С. Лейбензону, который состоит в том, что левую часть уравнения умножают на , а правую – на некоторое характерное давление , например давление в невозмущенной части пласта.
Тогда вместо (2.60) необходимо решить линейное уравнение
,
| (2.61)
| которое аналогично уравнению (2.33), где . Следовательно, все соотношения, полученные до сих пор для жидкости, могут быть в первом приближении использованы и при изучении фильтрации газа, если заменить в них на , на .
5. Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости (2.58) нарушается и зависимость между и принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.
Рис. 11.Возможные виды нелинейного закона фильтрации
Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:
а) высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);
б) ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);
в) малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).
Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации
,
| (2.62)
| а кривая 2 – законом фильтрыции с предельным градиентом
| (2.63)
| где, по данным Е. М. Минского, , а, по данным Б. И. Султанова, ; - эффективный диаметр пор; - предельное напряжение сдвига.
В общем случае к обоим типам кривых применимы степенная и кусочно-линейная аппроксимации
,
| (2.64)
|
,
| (2.65)
| которыми удобно пользоваться при расчетах. Здесь - параметры модели; - характерное значение градиента давления; - безразмерная функция, описывающая ломаную линию (см. рис. 11).
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|