МЕТОД ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция № 2

О ЗАЗЕМЛЕНИИ ОДНОЙ ТОЧКИ СХЕМЫ

В любой электрической схеме одну любую точку схему можно заземлить, т.е. принять её потенциал равным нулю. При этом токораспределение в схеме не изменится, так как не образуется никаких новых ветвей, по которым могли бы протекать токи.

Иначе будет, если заземлить две или большее число точек схемы, имеющих различные потенциалы. В этом случае образуются дополнительные ветви, сама схема становится отличной от исходной, и токораспределение в ней изменится.

Возьмем для примера следующую схему:

E₁ = 36В;

Е₃ = 30В;

I_к = 5А;

R₁ = 8 Ом;

R₂ = 4 Ом;

R₃ = 2 Ом;

R₄ = 2 Ом.

Рис. 1-16. Электрическая схема

Заземлим любую точку схемы, например точку «а». На схеме это обозначается знаком «земля» - .

Расчет этой схемы методом контурных токов дал следующие значения токов в схеме:

I₁ = 5,6 А; I₂ = 2,2 А; I₃ = 7,8 А; I₄ = 2,8А.

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ДИАГРАММА

Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нём откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с точки, потенциал которой принят за ноль, а по оси ординат – потенциалы точек. Каждой точке участка цепи или замкнутого контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме.

Перед построением потенциальной диаграммы необходимо рассчитать потенциалы всех точек замкнутого контура, начиная с точки, потенциал которой принят за ноль.

Итак, для нашей схемы имеем:

φ_а = 0;

φ_е = φ_а - I₁R₁ = -5,6*8 = - 44,4В;

φ_b = φ_е + Е₁ = -44,8 + 36 = -8,8В;

φ_с = φ_b + Е₃ = -8,8 + 30 = 21,2В;

φ_d = φ_с - I₄R₄ = 21,2 – 2,8*2 = 15,6В;

φ_а = φ_d – I₃R₃ = 15,6 – 7,8*2 = 0В.

Отметим следующее правило: начиная расчет потенциалов всех точек замкнутого контура с точки, потенциал которой принят за ноль, обязательно нужно вернуться в эту точку. Это будет дополнительная проверка правильности расчёта токов.

В нашем примере расчет производится для замкнутого контура aebcda. Были рассчитаны потенциалы всех точек контура, начиная с точки «а», потенциал которой был принят за ноль. Проведя расчет для всех точек контура, было доказано, что потенциал точки «а» равен нулю.

На рис. 1-17 изображена потенциальная диаграмма.

Рис. 1-17. Потенциальная диаграмма

БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ПОСТОЯННОГО ТОКА

При протекании токов по резисторам, в них выделяется тепло. На основании закона сохранения энергии количество тепла, выделяющееся в единицу времени в резисторах схемы, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источниками питания.

Иначе говоря, мощность источников энергии должна равняться мощности приемников электрической энергии:

Р_и = Р_пр .

Мощность источника ЭДС равна произведению ЭДС Е на ток I, протекающий через источник. Если направление ЭДС Е и тока I совпадают, то в уравнении энергетического баланса это слагаемое войдет с положительным знаком, если не совпадают – то с отрицательным знаком.

Мощность источника тока равна произведению источника тока I_к на напряжение на резисторе, параллельно к которому подключен источник тока I_к. В нашем примере мощность источника тока I_к*U_dc. Отметим, что напряжение U_dc берётся в направлении тока от источника тока, протекающего через данный резистор. В данной схеме ток от источника тока I_к течет через резистор R₄ в направлении от узла «d» к узлу «c». Поэтому использовалось направление U_dc :

U_dc = -I₄R₄. (1-34)

Мощность источников электрической энергии для рассматриваемой схемы равна:

P_и = E₁I₁ + E₃I₃ + I_kU_dc = 36*5,6 + 30*7,8 + 5(-2,8*2) = 407, 6 Вт. (1-35)

При подсчёте мощностей приёмников используется закон Джоуля-Ленца:

Р_пр = I²₁R₁ + I²₂R₂ + I²₃R₃ + I²₄R₄ = 5,6²*8 + 2,2²*4 + 7,8²*2 + 2,8²*2 =

= 407,6 Вт. (1-36)

Из расчетов видно, что уравнение энергетического баланса соблюдается.

Если уравнение баланса соблюдается, значит токи в схеме рассчитаны верно. Это самый надежный способ проверки правильности расчёта токов в схеме.

МЕТОД ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

В чистом виде метод применим для расчёта цепей, состоящих только из последовательных и параллельных соединений резисторов и наличии в схеме одного источника.

Согласно методу пропорциональных величин, в самой удаленной от источников ЭДС ветви схемы произвольно задаёмся некоторым током, например 1А.

Далее продвигаемся от конца схемы к началу и находим токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы. В результате расчета получаем значение напряжения в начале схемы и значения токов в ветвях, если бы в самом удаленной ветви протекал ток 1А.

Так как найденное значение напряжения в начале схемы в общем случае не будет равняться ЭДС источника, то следует во всех ветвях изменить токи, умножив их на коэффициент, равный отношению ЭДС источника к найденному значению напряжения в начале схемы.

Рассмотрим пример (рис. 1-18):

E = 100 В;

R₁ = 3 Ом;

R₂ = 13 Ом;

R₃ = 3 Ом;

R₄ = 2 Ом;

R₅ = 4 Ом.

Рис. 1-18. Электрическая схема

Зададимся током 1А в резисторе R₅: I₅ = 1А.

Напряжение U_cd = R₅*I₅ = 1*4 = 4 В; Ток I₄ = = 2А;

I₃ = I₄ + I₅ = 2+1 = 3А;

Напряжение U_bd = U_cd + R₃I₃ = 4+3*3 = 13В; Ток I₂ = = 1А;

I₁ = I₂ + I₃ = 1+3 = 4А.

Напряжение U_ad = U_bd + R₁I₁ = 13+4*3 = 25В.

Так как ЭДС Е = 100В, то все токи надо умножить на коэффициент К:

К = = 4.

Таким образом, токи в исходной схеме буду равны:

I₁ = 16 А; I₂ = 4 А; I₃ = 12 А; I₄ = 8 А; I₅ = 4 А.

ТЕОРЕМА КОМПЕНСАЦИИ

В любой электрической цепи без изменения в ней токораспределения резистор может быть заменён ЭДС, численно равной падению напряжения в заменённом резисторе и направленной встречно току в этом резисторе.

Для доказательства теоремы компенсации выделим из схемы одну ветвь с резистором сопротивления R, по которой течет ток I, а всю остальную часть схемы условно обозначим прямоугольником (рис. 1-19, а):

а) б) в)

Рис. 1-19. К доказательству теоремы компенсации

Если в выделенную ветвь включить две равных и противоположно направленных ЭДС Е, численно равных падению напряжения в сопротивлении R резистора от тока I (рис. 1-19,б)

E=I*R, (1-37)

то ток I в цепи от этого не изменится. Убедимся в том, что разность потенциалов между точками «а» и «с» в схеме при этом будет равна нулю.

Действительно,

φ_с = φ_а – IR + Е = φ_а – IR + IR = φ_а . (1-38)

Но если φ_с = φ_а , то точки «а» и «с» можно объединить в одну точку или, другими словами, закоротить участок «ас» и получить схему рис.1-19 в). В ней вместо резистора сопротивлением R включена ЭДС Е.

Убедимся в тождественности схем рис. 1-19, а и 1-19, в

а) б)

Рис. 1-20. Тождественность схемы

В схеме рис. 1-20, а ток I = . Для схемы рис. 1-20,б ток равен I = = = . (1-39)

Таким образом, замена сопротивления на ЭДС Е₂ = IR₂ в схеме

рис. 1-20,б, как это и следует из теоремы компенсации, не вызвала изменения тока в схеме.

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Как показал Максвелл ещё в 1873 году, число уравнений для расчёта токов и напряжений в цепи может быть уменьшено, если составлять их только по одному из законов Кирхгофа, то есть только для контуров или только для узлов.

Ток в любой ветви электрической цепи всегда можно представить составленным из нескольких токов, каждый из которых замыкается по своему контуру, оставаясь вдоль него неизменным. Такие составляющие действительных токов называют контурными токами. Ток в любой ветви, принадлежащий только одному контуру, совпадает с контурным током. Ток в ветви, принадлежащей двум или нескольким контурам, равен алгебраической сумме соответствующих контурных токов.

Контурные токи, проходя через узел, остаются непрерывными, следовательно, первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Поэтому уравнения с контурными токами составляются только по второму закону Кирхгофа. Число таких независимых уравнений равно числу независимых контуров. Рассмотрим метод контурных токов на схеме рис. 1-21.

Рис. 1-21. Схема электрической цепи

В схеме рис. 1-21 число ветвей В равно семи, число узлов У равно пяти.

Число уравнений, которые нужно составить по второму закону Кирхгофа

К₂ = В – (У – 1) = 7 – (5 – 1) = 3.

Число независимых контуров К_нк в данной схеме так же равно трём:

К_нк = 3.

Это и будет число уравнений, которые нужно составить для расчёта токов по методу контурных токов:

К_мкт = К₂ = К_нк = 3.

Выберем произвольно независимые контуры, например, контуры admba, acnda, abca.

Так же произвольно выберем направления контурных токов, например по часовой стрелке на схеме рис. 1-21.

Система контурных уравнений в наиболее общем случае, то есть когда в схеме имеются источники ЭДС и источники тока, имеет следующий вид:

I₁₁R₁₁ + I₂₂R₁₂ + I₃₃R₁₃ + I_КЗR_1K = E₁₁;

I₁₁R₂₁ + I₂₂R₂₂ + I₃₃R₂₃ + I_КЗR_2K = E₂₂; (1-40)

I₁₁R₃₁ + I₂₂R₃₂ + I₃₃R₃₃ + I_КЗR_3K = E₃₃.

Здесь R_kk – суммарное сопротивление к-ого контура;

R₁₁ = R₁ + R₂ + R₄ – суммарное сопротивление первого контура;

R₂₂ = R₄ + R₅ + R₆ – суммарное сопротивление второго контура ;

R₃₃= R₁ + R₃ + R₆ – суммарное сопротивление третьего контура;

Rkn = Rnk - взаимное сопротивление между к-ым и n-ым контурами.

Знак взаимного сопротивления берётся положительным, если контурные токи на этой ветви совпадают, и отрицательным – если не совпадают.

Запишем все взаимные сопротивления:

R₁₂ = R₂₁ = - R₄; R₁₃ = R₃₁ = - R₁; R₂₃ = R₃₂ = - R₆.

R_1k, R_2k, R_3k – это сопротивление первого, второго или третьего контуров соответственно, по которым замыкается ток от источника тока.

Перед написанием этих сопротивлений необходимо выбрать путь, по которому замыкается ток от источника тока I_кз. С целью некоторой экономии времени расчета выберем кратчайший путь через резистор R₃ третьего контура. Этот путь на схеме рис. 1-21 обозначим штриховой линией.

По сколько в первом и втором контурах нет резисторов, по которым замыкается ток от источника тока I_кз, то R_1k = R_2k = 0. И только в третьем контуре есть резистор R₃, по которому замыкается ток от источника тока I_кз.

Это сопротивление берётся положительным, если контурный ток и ток от источника тока на этом резисторе совпадают, и отрицательным – если не совпадает.

В нашем случае:

R_3k = R₃, (1-41)

Е_кк – суммарная ЭДС к-ого контура.

Если ЭДС совпадет с направлением контурного тока, то она берётся положительной, и если не совпадает – отрицательной:

Е₁₁ = Е₂; Е₂₂ = 0; Е₃₃ = -Е₃. (1-42)

Далее нужно подставить численные значения сопротивлений резисторов, величины ЭДС и источника тока и решить системы уравнений для трёх неизвестных контуров токов I₁₁, I₂₂, I₃₃. Для решения проще всего воспользоваться методом Крамера.

Определим далее токи в ветвях через контурные токи. Если контурный ток совпадает с направлением тока ветви, то он берётся положительным, если не совпадает – отрицательным.

I₁ = I₃₃ – I₁₁; (1-43)

I₂ = I₁₁; (1-44)

I₃ = I₃₃ + I_кз; (1-45)

I₄ = I₁₁ – I₂₂; (1-46)

I₅ = - I₂₂; (1-47)

I₆ = I₃₃ – I₂₂; (1-48)

I₇ = - I₃₃. (1-49)

Из написанных токов выбивается из общего правила только ток I₃, при расчёте которого кроме контурного тока нужно учесть ещё и ток от источника тока I_кз, который в выражении тока I₃ входит со знаком «плюс», если совпадает с обозначенным направлением тока I₃, и со знаком «минус» - если не совпадают.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: