Сделай Сам Свою Работу на 5

СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛАХ





Глава 2

ПРОВОДНИКОВЫЕ МАТЕРИАЛЫ

СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛАХ

 

2.1.1. Почему при образовании твердого тела энергетические уровни атомов расщепляются в энергетические зоны?

2.1.2.Чем отличаются зонные структуры проводника, полупроводника и диэлектрика?

2.1.3. От чего зависят ширина разрешенной зоны и число энергетических уровней в ней?

2.1.4. Каков физический смысл уровня Ферми?

2.1.5. Какими свойствами обладает «электронный газ» в состоянии вырождения?

2.1.6. Зависит ли средняя энергия свободных электронов в металле от числа атомов, образующих кристалл?

2.1.7. Как влияет температура на концентрацию свободных электронов в металле?

2.1.8. Доказать, что средняя энергия свободных электронов в металле вблизи К составляет энергии Ферми.

 

Решение

При низкой температуре уровень Ферми характеризует максимальную энергию электронов проводимости в металле. Распределение электронов по энергиям

 

,

 

где — число электронов, приходящихся на энергетический интервал от до ; — плотность состояний в зоне проводимости, т. е. число состояний, приходящихся на единичный интервал энергий; — вероятность заполнения квантовых состояний электронами.



 

В соответствии с распределением Ферми — Дирака для всех состояний с энергией функция , а для состояний с энергией функция . Для определения средней энергии электронов необходимо суммарную энергию всех электронов, находящихся в единице объема, разделить на их концентрацию :

 

 

Учитывая, что

 

,

 

где — эффективная масса электрона, получаем

 

 

2.1.9. Определить вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, расположенного на выше уровня Ферми.

2.1.10. Определить, как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на выше уровня Ферми, если температуру металла повысить от до .

2.1.11. Рассчитать положение уровня Ферми и суммарную кинетическую энергию свободных электронов в серебра при температуре вблизи абсолютного нуля, полагая, что число свободных электронов равно количеству атомов серебра.



 

Решение

Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов, поэтому (см. решение задачи 1.1.7) , где — плотность материала. Отсюда энергия Ферми

 

 

эВ.

 

Суммарная кинетическая энергия свободных электронов wr

 

2.1.12. Определить температуру, при которой вероятность нахождения электрона с энергией эВ выше уровня Ферми в металле равна .

2.1.13. Как объяснить низкую теплоемкость электронного газа в металлах? Справедливо ли утверждение, что при высоких температурах (выше характеристической температуры Дебая) молярная теплоемкость металлов незначительно отличается от молярной теплоемкости кристаллических диэлектриков?

2.1.14. Вычислить минимальную длину волны де Бройля для свободных электронов в медном проводнике, где энергия Ферми составляет .

2.1.15. Определить минимальную длину волны де Бройля для свободных электронов при в металле с простой кубической кристаллической решеткой, если на каждый атом кристалла приходится один свободный электрон. Период решетки равен .

 

Решение

В кристалле с простой кубической решеткой на объем каждой элементарной ячейки приходится один атом и соответственно один свободный электрон. Поэтому концентрация свободных электронов определяется по формуле . С учетом этого минимальная длина волны де Бройля

 

 

2.1.16. Оценить среднее энергетическое расстояние между разрешенными энергетическими уровнями зоны проводимости в кристалле серебра объемом , если энергия Ферми эВ.

 

Решение

Среднее энергетическое расстояние между разрешенными уровнями , где — число уровней, заполненных электронами.



Концентрация электронов связана с энергией Ферми выражением

 

,

 

Все уровни, лежащие ниже уровня Ферми WF, практически полностью заполнены электронами, причем согласно принципу Паули на каждом уровне находится два электрона. Отсюда следует, что

 

 

эВ.

 

2.1.17. Энергия Ферми в кристалле серебра составляет эВ. Найти максимальную итах и среднюю скорость электронов проводимости при температуре вблизи абсолютного нуля. При расчете примите эффективную массу электронов равной массе свободного электрона.

2.1.18. Найти максимальную и среднюю скорость теплового движения свободных электронов в металле при температуре вблизи абсолютного нуля, если концентрация электронов равна .

2.1.19. Вычислить концентрацию свободных электронов в кристалле меди, если известно, что плотность меди . При расчете полагать, что на каждый атом кристаллической решетки приходится один электрон.

2.1.20. Положению уровня Ферми для алюминия при соответствует энергия . Рассчитать число свободных электронов, приходящихся на один атом. Эффективную массу электронов проводимости принять равной массе свободного электрона.

2.1.21*. Определить энергию Ферми для лития, натрия, калия и цезия. Объясните, почему она уменьшается с увеличением атомного номера элемента.

2.1.22. Вычислите, какая часть электронов проводимости в металле при имеет кинетическую энергию, большую .

2.1.23. Исходя из функции распределения электронов проводимости по энергиям, получить функцию распределения их в металле по скоростям при температуре вблизи абсолютного нуля. Изобразите примерный график этой функции при температуре, отличной от абсолютного нуля.

2.1.24*. Вычислить энергию Ферми для магния при , если известно, что магний кристаллизуется в плотноупакованной гексагональной решетке с периодами: нм; нм, полагая, что на каждый атом решетки приходится два свободных электрона. Эффективную массу электронов проводимости принять равной массе свободных электронов.

Указание. Объем элементарной гексагональной ячейки . В случае плотной гексагональной упаковки на каждую элементарную ячейку приходится шесть атомов.

 

2.1.25. Как изменится интервал между соседними уровнями энергии свободных электронов в металле, если объем кристалла уменьшится в 10 раз?

2.1.26*. Экспериментально установлено, что максимальная энергия электронов проводимости в кристалле лития составляет эВ. На основании представлений о свободных электронах определить эффективную массу носителей заряда, полагая, что на каждый атом кристаллической решетки приходится один электрон. Плотность лития принять равной .

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.