Практическое занятие № 3: «Критерии устойчивости САУ » - 4 часа

Цель занятия

Получить практические навыки определения устойчивости САУ с помощью критериев устойчивости.

Краткие теоретические сведения

Вывод об устойчивости реальных систем необходимо делать на основе анализа исходного нелинейного уравнения и для определения неустойчивости или устойчивости системы будет достаточно выявить положительность (отрицательность) действительных корней характеристического уравнения.

Критериями устойчивости называют определенные правила, по которым в теории автоматического управления определяют знаки корней характеристического уравнения, не решая его. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Алгебраическими критериями устойчивости системыназывают необходимое и достаточное условие отрицательности корней при определенных значениях коэффициентов в характеристическом уравнении.

Частотными критериями устойчивости системы установлена зависимость устойчивости системы от формы частотных характеристик системы.

Пример решения

Дан ПИ-регулятор с передаточной функцией вида W_p = 2 + и объект управления, описываемый дифференциальным уравнением

Определяется передаточная функция объекта:

Тогда передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Характеристический полином замкнутой системы:

D(s) = A(s) + B(s) = 2s⁴ + 3s³ + s² + 2s³ + 9s² + 6s + 1 = 2s⁴ + 5s³ + 10s² + 6s + 1.

Передаточные функции замкнутой системы:

- по заданию,

- по ошибке,

- по возмущению.

По передаточным функциям определяются коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К_з = Ф_з(0) = 1 – по заданию;

К_Е = Ф_Е(0) = 0 – по ошибке;

К_в = Ф_в(0) = 0 – по возмущению.

Устойчивость САУ определяется по критерию Гурвица.

Поскольку коэффициенты характеристического полинома а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1 (степень полинома n = 4), то матрица Гурвица имеет вид:

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:

Δ₁ = 5 > 0,

Δ₄ = 1* Δ₃ = 1*209 > 0.

Поскольку все определители положительны, то САУ устойчива.

Задание: (решение задач)

Общее задание.

Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ).

Требуется определить:

- передаточную функцию разомкнутой системы W_∞(s),

- характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

- передаточные функции замкнутой системы Ф_з(s) – по заданию,

Ф_в(s) – по возмущению, Ф_Е(s) – по ошибке,

- коэффициенты усиления АСР,

- устойчивость системы.

Варианты заданий:

Вариант № 1

Р - ПИ-регулятор с ПФ вида W_p = 4 + ;