Случайные величины и их законы распределения

План лекции 11.2

1. Классификация событий. Способы подсчета вероятностей.

2. Случайные величины и их законы распределения

События классифицируются по следующим признакам:

По возможности наступления - достоверные, невозможные, случайные, неопределенные;

По возможности одновременного наступления - совместные, несовместные;

По зависимоти наступления друг от друга - зависимые, независимые;

По структуре - простые, сложные.

Достоверным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий наступит обязательно.

Невозможным -называется событие, которое не может произойти в определенных условиях.

Случайным называется событие, которое в одних и тех же условиях может как произойти, так и не произойти.

Неопределенным называется событие, исход которого невозможно предсказать.

Два события называются совместными в данном испытании, если появление одного из них не исключает возможности появления другого.

Два события называются несовместными в данном испытании, если появление одного из них исключает возможность появления другого( попадание и промах при выстреле).

События называются зависимыми, если наступление или ненаступление одного из них, оказывает влияние на возможность наступления другого.

События называются независимыми, если наступление или ненаступление одного из них, не оказывает влияния на возможность наступления другого.

Говорят, что n несовместных событий А1, А2, А3.....Аn составляют полную группу событий, если в результате данного испытания обязательно произойдет одно из них (попадание или промах при выстреле, отсутствие ошибок, одна или боле ошибок при проверке орфографии).

Два единственно возможных и несовместных события образуют полную группу событий. Такие события называются противоположными и обозначаются А и `А.

Существует целый класс опытов, вероятность возможных исходов которых можно определить исходя из условий опыта. (Бросание игральной кости, монеты)

Для всякого опыта, в котором возможные исходы симметричны и одинаково возможны, вероятность находится непосредственным подсчетом.

Существуют группы событий, обладающие всеми тремя свойствами; они образуют полную группу, несовместны и равновозможны. События образующие такую группу, называют случаями(шансами).

Случай называется благоприятным, некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление этого события.

В такой ситуации вероятность события А вычисляется ка отношение числа благоприятных случаев к их общему числу:

Р(А)=m/n

где Р(А) - вероятность события А; n - общее число случаев; m - число благоприятных случаев.

Данная формула называется классической формулой вычисления вероятностей.

Таким образом, значение вероятности может быть определено двумя способами:

Теоретически по формуле Р(А)=m/n, где m - число случаев, благоприятствующих наступлению события А, а n - число всех случаев из полной группы несовместных событий.

Статистическим способом на основании проведения большого числа испытаний. Вероятность при этом вычисляется по формуле h(A)=k/i, где k - число появления события А, i - общее число событий. h(A) - статистическая вероятность. При увеличении числа испытаний h(A) приближается к Р(А).

Одним из важнейших понятий ТВ является случайная величина.

Случайной величиной называется величина, которая в результатате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно какое.

Примеры:

· число звонков в квартире за сутки;

· число попаданий при n выстрелах;

· частота попадания при 10 выстрелах.

В приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения.(в первом - 0;1;2..; во втором - 0,1,2,… n; в третьем - 0; 0,1;0,2…1)

Такие случайные величины называются дискретными.

Существуют такие случайные величины, значения которых сплошь заполняют числовую ось ил границы между которыми расплывчаты. Такие случайные величины называются непрерывными.

В настоящее время ТВ, в основном, оперирует со случайными величинами.

На практике очень часто приходится решать задачи, связанные со сложением и умножением вероятностей.

Суммой двух событий А и В называется сложное событие С, которое состоит в выполнении событий А, В или обоих одновременно.

	А

А+В

Произведением двух простых событий А и В называется сложное событие С, которое состоит в совместном наступлении событий А и В.

Вероятность наступления части из m событий, принадлежащих множеству N несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий

Р(А1+А2+....+Аm)= Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аm), из данного выражения видно, сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1;

сумма вероятностей двух противоположныхсобытий равна 1.

Вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий равна произведению этих событий

Р(С)=Р(А1*А2*....*Аn)=Р(А1)*Р(А2)*....*Р(Аn).

При наличии связи между событиями можно найти вероятности одних событий через значения вероятностей других событий. Для этого вводится понятие условной вероятности , означающей вероятность наступления события В, вычисленная в предположении, что связанное с ним событие А наступило и обозначается Р(В/А). Исходя из этого, если Р(В/А)=Р(В) и Р(А/В)=Р(А), то события взаимонезависимы.

Случайные величины и их законы распределения

Принято случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения -соответствующими малыми буквами.

Например X - число попаданий при трех выстрелах; возможные значения x₁=0; x₂=1; x₃=2; x₄=3;

Если рассматривать случайную величину X , которая может принять одно из n значений

x_1,x₂, x₃, …..,x_n

В результате опыта величина Х может принять значения

Х=х₁

Х=х₂

Х=х₃

…

Х=х_n

Обозначим вероятности этих событий буквой р с соответствующими индексами:

Р (Х= х₁) = р₁; Р (Х= х₂) = р₂; … Р (Х= х_n) = р_n;

Так как, несовместные события образуют полную группу, то

n

Σ р_{i =}1

i=1

т.е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями.

Для полного описания случайной величины необходимо задать это распределение, т.е. точно указать какой вероятностью обладает каждое из событий.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: