Сделай Сам Свою Работу на 5

ДОСТУП К ОТДЕЛЬНЫМ ФРАГМЕНТАМ МАТРИЦ





Объединение матриц

>>A1= [1 4; 2 7];

>>A2= [6 1; 15 9];

>>A3= [8 5 4 3];

>>A= [A1 A2; A3]

A=

1 4 6 1

2 7 15 9

8 5 4 3

Операцией обратной к объединению матриц, является выделение отдельных фрагментов матрицы (так, например, может понадобиться извлечь из матрицы несколько строк или столбцов или заменить один фрагмент матрицы другим). Для этого применяется индексация с помощью двоеточия (:). Пусть, например, требуется создать матрицу В размером 2х2, состоящую из элементов левого нижнего угла приведённой ниже матрицы А:

>>A=[1 4 6 1; 2 7 15 9; 8 5 4 3]

A=

1 4 6 1

2 7 15 9

8 5 4 3

>> B=A (2:3, 1:2)

B =

2 7

8 5

Таким образом, задавая с помощью двоеточия номера строк и через запятую — номера столбцов, на пересечении которых располагаются требуемые элементы, получили новую матрицу (в языке программирования FORTRAN такая конструкция называется сечением массива).

Если из матрицы необходимо выделить строку или столбец, номер этой строки или столбца указывается следующим образом: чтобы выделить, например, из матрицы А вторую строку следует записать команду:

 

>> B=A (2, :)

B =

2 7 15 9

 

т.е. в качестве первого индекса задается номер строки, а в качестве второго — двоеточие. Для того, чтобы выделить из матрицы А третий столбец, в качестве первого индекса следует задать двоеточие, а в качестве второго — номер этого столбца:



 

>> B=A (:, 3)

B =

Пусть, например, необходимо заменить один фрагмент матрицы другим. Положим, что имеется некоторая матрица S размером 2х2

 

>> S=[10 20; 40 15]

S =

10 20

40 15

 

Для того, чтобы «вставить» в эту матрицу в правый верхний угол матрицы А, следует задать следующую команду:

 

>> A (1:2, 3:4) = S

A =

1 4 10 20

2 7 40 15

8 5 4 3

 

Если верхняя граница изменения номеров строк и столбцов матрицы, на пересечении которых находится задаваемый фрагмент, равна размеру матрицы в этом направлении, то вместо неё можно задать слово end. Это наиболее удобно при работе с большими матрицами. В частности, приведённую выше команду можно переписать в следующем виде:

>> A(1:2, 3:end) = S

A =

1 4 10 20

2 7 40 15

8 5 4 3

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТЕРАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ

Метод последовательных приближений (метод итераций).

Итерационные методы используются для решения систем уравнений тогда, когда прямые методы типа метода Гаусса требуют слишком много машинного времени и памяти. В самом деле, для реализации метода Гаусса решения системы n уравнений с n неизвестных требуется



арифметических операций, а при реализации метода Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице число действий и вовсе возрастает до

В этой связи становится очевидным, что метод Гаусса не является удобным с практической точки зрения для решения больших СЛАУ.

 

В отличие от прямых методов, итерационные методы обычно не дают точного ответа на конечное число шагов, однако на каждом шаге уменьшают ошибку на какую-то долю. Итерации прекращают, когда ошибка становится меньше допуска, заданного вычислителем (пользователем). Величина финальной ошибки зависит от количества итераций, а также от свойств метода и СЛАУ. Другими словами, итерационные методы дают решение СЛАУ в виде предела последовательности некоторых векторов, построение которых осуществляется посредством единообразного процесса, называемого итерационным процессом.

 

Существенную часть работы по исследованию и повышению эффективности итерационных методов составляет использование связи решаемой СЛАУ с математической или физической постановкой задачи, которая её породила.

 

В современной литературе описано большое количество итерационных методов, основанных на разных принципах. Многие методы удобны при использовании вычислительной техники, некоторые ещё и достаточно просты. Однако каждый итерационный метод имеет свою ограниченную область применимости, так как, во-первых, итерационный процесс может оказаться расходящимся для данной системы и, во-вторых, сходимость процесса может быть настолько медленной, что практически оказывается невозможным достигнуть удовлетворительной близости к решению. Одним из наиболее предпочтительных современных итерационных методов является метод сопряжённых градиентов.



 

Отметим, что хотя задача обращения матрицы эквивалентна решению n СЛАУ с одной и той же матрицей, итерационные методы относительно редко используются для этой цели.

Мы ограничимся рассмотрением двух простейших итерационных методов — метода простой итерации и метода Зейделя.

 

Теория

 

Найдем решение следующей линейной системы nуравнений c nнеизвестными:

(1)

…………………………..

 

В матричном виде система запишется следующим образом:

 

(2)

где

, , (3)

 

Преобразуем систему уравнений (1), (2), для этого найдем из первого уравнения , из второго , из -

 

(4)

……………………………………..

 

 

Чтобы сократить запись (4), введем обозначения

, (5)

С учетом обозначений (5) система уравнений (4) перепишется в виде

 

 

(6)

……………………………………

 

 

В матричном виде система (6) запишется следующим образом:

 

(7)

где

 

, (8)

 

В качестве нулевого исходного приближения решения системы уравнений возьмем

или

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.