Сделай Сам Свою Работу на 5

Обтекание круглого цилиндра





Лекция 6. Потенциальное движение

Идеальной несжимаемой жидкости

 

Плоское стационарное движение жидкости

 

При плоском стационарном движении жидкости все ее частицы перемещаются параллельно некоторой плоскости (рис. 6.1)

 

Рис. 6.1. Плоское движение жидкости

 

Если определяющая плоскость совпадает с координатной , то потенциал скорости будет равен , а уравнения

(6.1)

будут линиями эквипотенциалей.

Компоненты скорости в проекциях на оси и определяются в виде

(6.2)

Уравнение неразрывности в случае плоского движения жидкости имеет вид

(6.3)

Если ввести функцию , связанную с проекциями скоростей равенствами

(6.4)

то она удовлетворяет уравнениям неразрывности, т.к.

(6.5)

Эта функция называется функцией тока, а выражение является уравнением линий тока.

Поскольку уравнение безвихревое, то

(6.6)

поэтому

(6.7)

Подстановка равенств в уравнение неразрывности дает

(6.8)

Сравнение равенств (6.2) и (6.4) дает

(6.9)

Функции, удовлетворяющие условиям (6.9), называются гармоническими.

 

Применение теории функций комплексной переменной



Для решения задач гидродинамики

 

В теории комплексной переменной связь между функциями и называется условиями Коши-Римана.

При этом комплексная величина является комплексной переменной , равной (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Определение комплексной переменной и

Таким образом, существует функция комплексной переменной , вещественная и мнимая части которой будут и , т.е.

. (6.10)

Функция называется комплексным потенциалом или характеристической функцией течения.

Производная не зависит от направления дифференцирования (условие аналитичности) и полностью определяется положением точки в плоскости , заданной координатой , т.е.

(6.11)

или

(6.12)

. (6.13)

С учетом условий и получим

(6.14)

Величина и направление скорости в комплексной плоскости (рис.6.2) определится формулой

(6.15)

Производная от комплексного потенциала по координате равна скорости по абсолютной величине, а по направлению совпадает с зеркальным отображением вектора скорости относительно вещественной оси.



Величина называется сопряженной скоростью.

Плоскость является плоскостью годографа скорости.

Значение контурного интеграла равно

(6.16)

но

, (6.17)

а

. (6.18)

Здесь - циркуляция скорости по замкнутому контуру; - объемный расход через замкнутый контур.

Для действительной части получим

, (6.19)

а для мнимой

. (6.20)

Можно поставить две задачи:

1) по заданному комплексному потенциалу найти , и поле скоростей;

2) зная контур обтекаемого тела и значение скорости на бесконечности, найти комплексный потенциал.

В качестве примеров рассмотрим простейшие потенциальные потоки.

 

Плоскопараллельный поток

 

Пусть комплексный потенциал имеет вид

. (6.21)

Если вещественно (рис.6.3), то

. (6.22)

Рис.6.3. Поток при действительном

 

Из находим , и эквипотенциали имеют вид

, (6.23)

а линии тока

. (6.24)

Проекции скоростей равны

(6.25)

. (6.26)

При минимальных числах ( - вещественно)

. (6.27)

Эквипотенциальные линии и линии тока

и . (6.28)

Проекции скоростей будут

и . (6.29)

Если - комплексное число, равное ( и - вещественные положительные числа), то

.

(6.30)

Потенциал скорости и функция тока имеют вид

и , (6.31)

а проекции скоростей равны

и . (6.32)

Уравнениями линий тока и эквипотенциалей будут

или ; (6.33)

или . (6.34)

Источник и сток

Вторым примером комплексного потенциала является функция

. (6.35)

При вещественном

(6.36)

Потенциал скорости и функция тока

и . (6.37)

Линии тока и эквипотенциали источника и стока (рис. 6.4) определяются уравнениями

и .

Рис. 6.4. Линии тока и эквипотенциали источника и стока



 

В цилиндрической системе координат

(6.38)

(6.39)

Если , то возникает источник, а при - сток. Начало координат является точкой, в которой скорость равна бесконечности.

Объемный расход источника (стока)

(6.40)

определяет мощность (обильность) источника (стока).

Комплексный потенциал в этом случае равен

. (6.41)

Вихрь

 

Если мнимое, то и

, (6.42)

поэтому

, (6.43)

где - вещественное число.

Тогда и , а уравнения линий тока и эквипотенциалей

и (рис. 6.5). (6.44)

Составляющие скорости

и (6.45)

Циркуляция вдоль замкнутой линии

или , (6.46)

т.е.

. (6.47)

Комплексный потенциал потока с циркуляцией равен

. (6.48)

 

Рис. 6.5. Линии тока и эквипотенциали вихря

 

Величина скорости

. (6.49)

Движение соответствует циркуляционному потоку вокруг вихревой нити.

Диполь

Комплексный потенциал

(6.50)

после подстановки даст

, (6.51)

откуда

и . (6.52)

 

Линии тока и эквипотенциали

; . (6.53)

 

Это семейства окружностей с центрами, расположенными на оси и .

Рис. 6.6. Диполь

 

Обтекание круглого цилиндра

 

Комплексный потенциал, включающий сумму потенциалов плоскопараллельного оси Х потока и диполя, можно записать

(6.54)

Отделив мнимую и вещественную части запишем из

(6.55)

Выражения для потенциала скорости и функции тока с учетом

(6.56)

 

(6.57)

Следовательно, уравнение линии тока будет или

(6.58)

Нулевая линия тока задается двумя уравнениями

(6.59)

Второе уравнение представляет собой окружность радиуса

(6.60)

с центром в начале координат. Первое соответствует оси абсцисс (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Линии тока при обтекании круглого цилиндра

Рис. 6.8. Цилиндрические координаты (полярные в сечении)

 

Заменив нулевую линию тока твердой стенкой без изменения характера движения потока получим обтекание круглого цилиндра.

В цилиндрических координатах запишем равенства (рис. 6.8) и

, (6.61)

поэтому

(6.62)

Проекции скорости будут

(6.63)

(6.64)

На поверхности цилиндра

а (6.65)

Точки, в которых скорость равна нулю при обтекании цилиндра, соответствуют и Максимальные значения скоростей соответствуют и

Из уравнения Бернулли для нулевой линии тока получим

(6.67)

или

(6.68)

где p - давление в любой точке на поверхности цилиндра.

Вводя коэффициент давления

, (6.69)

и подставляя

Получим

(6.70)

Поэтому

(6.71)

Рис. 6.9. Распределение коэффициента давления

Обтекание реальной жидкостью круглого цилиндра ведет к несимметричному распределению давления. Вид кривой распределения давления зависит от числа Рейнольдса Re.

Проекции сил давления, действующего на элементарную площадку (единичной длины) будут равны:

(6.72)

 

Поскольку

(6.73)

и

(6.74)

то

(6.75)

Учитывая

и (6.76)

получим

Аналогично доказывается, что и

Отсутствие силы сопротивления для тел, независимо от их формы, обтекаемых потоком идеальной жидкости, в гидродинамике называется парадоксом Даламбера.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.