Вероятность произведения (пересечения) событий. Независимость событий.

Условные вероятности.

Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события (например, А) может влиять на возможность наступления другого события (В). Следовательно, имеет смысл говорить, о вероятности события В, при условии, что событие А произошло.

Определение. Условной вероятностью события В при условии события А (Р(А)¹0) называется отношение вероятности пересечения событий А и В к вероятности события А.

. (1)

Вероятность , в отличие от условной, называется безусловной вероятностью.

Аналогично определяется условная вероятность события А при условии события В: . (2)

Пример. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что второй шар окажется белым при условии, что первый шар был черным?

Решение. 1) А = {первый шар черный}

В = {второй шар белый}

Так как событие А произошло, то в урне осталось 8 шаров, из которых два белых. Поэтому .

2) Найдем по формуле (1). Очевидно, что . Найдем : - общее число исходов, событию благоприятствуют исходов. Поэтому . Следовательно, .

Вероятность произведения (пересечения) событий. Независимость событий.

Из определения условной вероятности (формулы (1) и (2)) следует, что

, (3)

т.е. вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

Равенство (3) называется правилом или теоремой умножения вероятностей. Его можно обобщить на случай n событий:

. (4)

Так для трех событий А₁, А₂, А₃ получаем

.

Пример. На 7 карточках написаны буквы л, л, о, о, о, т, т. Из них последовательно выбираются 4 и кладут слева направо. Найдем вероятность того, что в результате образуется слово «лото» (событие А).

Пусть А₁={первой вынута буква л}

А₂={второй вынута буква о}

А₃={третьей вынута буква т}

А₄={четвертой вынута буква о}

Тогда А=А₁А₂А₃А₄ и, следовательно

=2/7, =3/6, =2/5, =2/4=1/2

Р(А)=1/35.

Определение 1. События А называется независимым от события В, если условная вероятность события А при условии события В совпадает с безусловной вероятностью события А, т.е. Р(А| В)=Р(А). Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Определение 2. События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет появления другого. В противном случае события А и В называются зависимыми.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид: Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Определение 3. События А и В называются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению их вероятностей, т.е.

Р(АВ)=Р(А)Р(В). (5)

Если же это равенство не выполняется, то события А и В называются зависимыми.

Если события А и В независимы, то независимы и пары событий и В, А и , и .

На практике о независимости тех или иных событий часто судят исходя из интуитивных соображений и анализа условий опыта, считая независимыми события, между которыми нет причинно-следственных связей.

Понятие независимости может быть распространено на случай п событий.

Определение 4. События А₁, А₂,…, А_п называются независимыми в совокупности (независимыми), если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности. В противном случае события А₁, А₂,…, А_п называются зависимыми.

Для независимых событий их условные вероятности равны безусловным и формула (4) имеет вид

. (6)

Из независимости событий А₁, А₂,…, А_п в совокупности вытекает их попарная независимость (любые два из них независимы). Однако из попарной независимости, вообще говоря, независимость в совокупности не следует.

Пример. Производится выбор наудачу флага из четырех имеющихся в наличии: красного, голубого, белого и трехцветного (красно-бело-голубого). Исследовать на независимость события: А={выбранный флаг содержит красный цвет}, В={выбранный флаг содержит голубой цвет}, D={выбранный флаг содержит белый цвет}.

Решение. Возможных исхода выбора 4; Событию А благоприятствует 2 исхода (красный цвет содержится в двух флагах). Поэтому Р(А)=2/4=1/2. Аналогично находим, что Р(В)=Р(D)=1/2. Событию ={выбран флаг, имеющий красный и голубой цвета} благоприятствует один исход. Поэтому и события А и В независимы. Аналогично убеждаемся в независимости событий А и D, D и В. Значит, события А, В, D попарно независимы. Но , то события А, В, D не являются независимыми в совокупности.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: