Отделение корней способом половинного деления

Тема 1. Численные методы алгебры

Лекция 3. Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений

Цель: изучить систематизированную основу теоретических знаний по численным методам решения нелинейных и трансцендентных уравнений.

Учебные вопросы:

3.1. Постановка задачи. Основные определения из алгебры нелинейных и трансцендентных уравнений.

3.2. Способы отделения корней.

3.3. Методы уточнения корней.

Литература к лекции 3:

[1], c.50…69; [2]2, c.30…42; [3], c.42…46.

Постановка задачи. Основные определения из алгебры нелинейных и трансцендентных уравнений.

Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помощью алгебраических преобразований, называется трансцендентным уравнением.

Простейшими трансцендентными уравнениями являются показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

Под алгебраическими преобразованиями уравнения F=0 понимают следующие преобразования:

1) прибавление к обеим частям уравнения одного и того же алгебраического выражения;

2) умножение обеих частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение;

3) возведение обеих частей уравнения в рациональную степень.

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

Р_n=0,

где Р_n – многочлен n-ой степени от одной или нескольких переменных.

Трансцендентная функция– функция, не являющаяся алгебраической функцией.

Трансцендентное уравнение – уравнение, содержащее неизвестное в аргументе некоторой трансцендентной функции, например: .

Алгебраическая функция – : 1. Функция от одного переменного , удовлетворяющая алгебраическому уравнению , где F – полином от двух переменных.

2.Функция от n переменных , удовлетворяющая алгебраическому уравнению , где F – неприводимый полином от n+1 переменных.

Рассмотрим нелинейное уравнение одной независимой переменной x,

f(x)=0, x [a,b], (1)

где f(x) – любая нелинейная или трансцендентная функция, например, .

Нахождение корней уравнения (1) производится в два этапа:

1. Отделение корней – это нахождение таких интервалов по аргументу x, внутри каждого из которых существует только один корень уравнения (1).

2. Уточнение корней заключается в применении некоторого итерационного метода, в результате которого корень уравнения (1) может быть получен с любой наперед заданной точностью ε.

Способы отделения корней

На практике наиболее часто корни уравнения (1) отделяются двумя способами:

1. Графический способ.

2. Способ половинного деления.

Графический способ отделения корней

В графическом способе строится график функции f(x) (Рис.1) и приближенно определяются ее нули или корни уравнения (1) , i=1,2,3,…

Рис. 1. Графический метод отделения корней.

В соответствии с Рис.1 рассмотрим три ситуации:

1). если i =1,2, и - знак постоянный, то на интервалах и находится один корень.

2). , если , а , то на интервале находится двукратный корень.

3). , если , а , то на интервале находится трехкратный корень.

Отделение корней способом половинного деления

В данном способе область определения функции f(x), x [a,b] делят на 2,4,8,16,32,… интервала и для каждого из них анализируют знаки функции на концах интервала: если знаки противоположные, то внутри интервала находится не менее одного корня, если при этом , то внутри интервала находится точно один корень.

1.Основная теорема алгебры. Число корней уравнения (2) (действительных, кратных, комплексных) в точности равно n – степени уравнения (2), причем если коэффициенты a₀,a₁,…,a_n все действительные, то возможные комплексные корни попарно сопряжены.

2. Теорема Декарта. Число положительных действительных корней уравнения (2) равно числу перемен знаков последовательности коэффициентов a₀,a₁,…,a_n (не считая нулевых коэффициентов) или меньше этого числа на четное число.

Следствие. Число действительных отрицательных корней уравнения (2) равно числу постоянства знаков в последовательности коэффициентов a₀,a₁,…,a_n , не считая нулевых, или меньше этого числа на четное число.

3. Теорема Гюа. Если все корни уравнения (2) действительны, то в последовательности коэффициентов a₀,a₁,…,a_n квадраты не крайних коэффициентов больше произведения соседних, т.е.

, k=1,2,…,n-1. (2а)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: