Понятие вычислительного эксперимента

Лекция №1

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Анализ ошибок. Устойчивость алгоритмов

1. История развития дисциплины «Методы вычислений»

2. Понятие вычислительного эксперимента

3. Погрешности вычислений

1. История развития дисциплины «Методы вычислений»

Дисциплина "Методы вычислений" аккумулировала в себе алгоритмы построения приближенных решений различных математических задач современной математики: алгебры, математического анализа, дифференциальных и интегральных уравнений и др. Эти приближенные решения получают, как правило, в виде определенных числовых массивов, или в определенном численно-аналитическом виде. Конечно, возникают существенные вопросы качества приближенных решений: насколько они отличаются от искомых точных решений, какие факторы влияют на улучшение (ухудшение) ожидаемого приближенного результата и, в конце концов, как выполнять вычисления непосредственно.

Методы вычислений имеют долгую историю, которую можно условно разбить на три этапа. Первый этап – до Эпохи Возрождения – связан с необходимостью вычисления характеристик простых геометрических объектов (расстояние, углы, плошади, объемы и т.д.), расчетов простых механических устройств и систем, вычисления в астрономии. На этом этапе особенно отличился Архимед (287-212 гг. до н.э.). Известно, что именно он нашел отрезок числовой оси, в котором содержится число π, предоставил ему простые в практическом использовании пределы – ( ; ) Относительная погрешность предложенного Архимедом приближенного значения числа π с этого отрезка составляет всего 0.04%. Поражает своей точностью достижения древнегреческого философа Гиппарх: 365 дней 5 часов 55 минут – такая по его вычислениям длина года на Земле. Это отличается от современных данных на 0.001%! Среди известных алгоритмов – алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя натуральных чисел: отнимать от большего меньше двух цифр пока они не сравняются.

Второй этап существенно меньше по размеру: от эпохи Возрождения до середины ХХ века. Но за каждым именем математиков того периода - шлейф выдающихся достижений! Ньютон, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Леверье, Адамс, Бубнов, Галеркина, Крылов и другие. И этот список выдающихся имен далеко не полный. Их исследования стали весомым вкладом в вычислительную математику. Именно во втором периоде появился математический анализ, дифференциальные уравнения, что привело к возможности внедрения новых инженерных проектов из-за расчетов с высокой точностью.

Третий этап – с середины ХХ века до наших дней. Это этап постановки и решения нелинейных задач, отвечающих сложным математическим моделям процессов природы и технологий.

Объединяет все этапы так называемый главный метод приближенных вычислений, который можно описать на примере решения некоторого операторного уравнения

(1)

где u - искомый элемент множества U, f - элемент множества F, оператор L: U →F. Предположим, что уравнение (1) имеет единственное решение u^*. Рассмотрим некоторое операторной уравнения

(2)

для которого известно точное и единственное решение ^*, Причем , , . Будем считать, что уравнение (2) в каком-то смысле похоже на уравнение (1) (например, в уравнении (2) отсутствуют такие члены уравнения (1), от которых решение u мало зависит). Главный метод приближенных вычислений заключается в построении и решении такого уравнения (2), чтобы . В этом случае в качестве решения уравнения (1) выбирают его приближенное решение – решение уравнения (2).

Понятие вычислительного эксперимента

В связи с быстрым развитием вычислительной техники широкое распространение при проведении научных исследований и инженерного проектирования получил вычислительный эксперимент. Он основывается на построении и анализе с помощью компьютера математических моделей исследуемого объекта.

Рассмотрим схему вычислительного эксперимента (рис. 1.1).

Пусть надо исследовать определенный объект, явление или процесс (1). Тогда сначала формулируют основные законы и взаимосвязи, описывающих этот объект. На их основе разрабатывают математическую модель (2), представляет собой, как правило, запись этих законов в виде системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и др.). После того, как задачу сформулировано, ее нужно решить. Только в достаточно простых случаях удается получить решение в явном виде. В большинстве случаев возникает необходимость использования того или иного приближенного метода: вычислительного метода или дискретной модели (3). На основе полученной дискретной модели строят вычислительный алгоритм, результатом реализации которого является число или таблица чисел.

Для реализации вычислительного метода нужно разработать программу для компьютера (4). После разработки и отладки программы наступает этап проведения вычислений (5). Полученные результаты подробно анализируют (6) с точки зрения их соответствия исследуемому явлению и, при необходимости, вносятся изменения в математическую модель или выбирают другой вычислительный метод. Этот цикл повторяют до тех пор, пока не будут получены результаты с нужной точностью.

Вычислительная математика обеспечивает лишь один из этапов вычислительного эксперимента, а именно этап выбора (постройки) вычислительного метода, от правильного выбора которого в значительной мере зависит эффективность всего эксперимента.

Погрешности вычислений

Понятие погрешностей вычислений изложены во многих пособиях по методам вычислений. Прежде всего известны понятия абсолютной и относительной погрешности числа. Абсолютной погрешностью числа a называется абсолютное значение разницы между данным числом и его приближенным значением , то есть . Относительной погрешностью δa числа a ≠0 называется отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению числа a, то есть: .

При использовании приближенных чисел важно осознавать о конечной записи числа, что связано с понятием значимых и верных цифр. Значимой цифрой приближенного числа называется каждая цифра в его десятичной картинке включая нули между ненулевыми цифрами и нули справа от ненулевых цифр, но исключая нули перед первым ненулевым символом. Например, приближенная запись числа π ≅ 3.14159 содержит 6 значащих цифр, число 34000 содержит 5 значимых цифр, число 0.0034 содержит 2 значимые цифры. Такие же правила определения значимых цифр и для чисел, записанных в экспоненциальному виде. Цифра приближенного числа называется верной, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, соответствующего этой цифре. Например, пусть дано точное число a =19.0547 и его приближенное значение = 19.0500. Здесь в записи приближенного значения числа 6 значащих цифр, из которых четыре – верные, так как | 19.0547-19.0500 | = 0.0047 <½0.01.

Методами дифференциального исчисления можно сформулировать основные правила вычисления погрешностей при осуществлении арифметических операций и элементарных функций над приближенными числами.

Погрешности вычислений по типу их происхождения можно представить тремя группами:

1. Неустранимые ошибки. Неустранимая погрешность является следствием: а) неточности исходных данных, входящих в математического описания задачи, б) несоответствия математической модели реальной задачи (иногда эту погрешность называют погрешностью математической модели).

2. Погрешности метода. Этот тип ошибок порожденный выбранным методом приближенного решения поставленной задачи, так как получение точного решения неограниченной или неприемлемо большого количества арифметических операций, а во многих случаях и просто невозможно.

3. Погрешности округления. Какой бы устройство-исполнитель вычислений не использовать – не избежать, вообще говоря, ошибок, связанных с ограничениями количества десятичных разрядов числа. Именно такое ограничение приводит к необходимости закругления чисел и, как результат, к соответствующим погрешностей.

В теории приближенных вычислений выделяют две задачи, которые соответственно называются прямой и обратной задачами теории погрешностей.

Прямая задача. Суть задачи: указано действия, которые следует выполнить над приближенными числами, и задано предельные погрешности входных данных. Нужно оценить погрешность результата.

Обратная задача. Суть задачи: указано действия, которые следует выполнить над приближенными числами, и задано максимально допустимую погрешность результата. Нужно установить, какими должны быть погрешности входных данных, чтобы полученный результат имел заданную степень точности.

Заметим, что эта задача, вообще говоря, имеет множество решений и поэтому является математически неопределенной. Для однозначности необходимо задать некоторые дополнительные условия.

Арифметические операции

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: