Корректность постановки задачи

Источники и исчисление погрешностей

Источники погрешностей

Существует четыре источника погрешностей в результате, полученном численным методом:

1. Математическая и физическая модель задачи.

2. Исходные данные.

3. Приближенность (погрешность) метода.

4. Округление результата.

Первые два источника погрешностей приводят к так называемой неустранимой погрешности. Эта погрешность может присутствовать, даже если решение сформулированной задачи найдено точно.

Погрешность метода возникает из-за того, что 1) точный оператор и исходные данные, в частности начальные и краевые условия, заменяются по определенным правилам приближенными. Так, производные заменяются их разностными аналогами, интегралы – суммами, функции – специальными многочленами; 2) при решении многих задач строятся бесконечные итерационные процессы, которые естественным образом прекращаются после конечного числа операций. Как правило,погрешность метода может быть оценена и поддается контролю. При изучении численных методов такая оценка будет сделана. Погрешность метода следует выбирать так, чтобы она была на порядок меньше неустранимой погрешности.

Погрешность округления возникает в связи с тем, что вычисления производятся с конечным числом значащих цифр. Округления производятся по следующему правилу: если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше 5, то содержимоесохраняемых разрядовне изменяется. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа. Очевидно, что погрешность, возникающая при округлении, не превышает единицы младшего оставляемого (сохраняемого) разряда. Поскольку на современных ЭВМ число записывается, как правило, минимум с 10…12 десятичными знаками после запятой, то погрешность единичного округления = 10^-10… 10^-12 обычно пренебрежима мала по сравнению с неустранимой погрешностью и погрешностью метода. При решении больших задач производятся миллиарды операций и можно предположить, что ошибки могут заметно накапливаться, однако, поскольку они носят случайный характер, может происходить их взаимная компенсация. Зачастую строятся специальные алгоритмы, в частности итерационные, которые малочувствительны к ошибкам округления.

Исчисление погрешностей.

Основными количественными характеристиками погрешностей являются:

1. Абсолютная погрешность– величина (а^*)

(а^*) = | а – а^*|,

где а – точное значение некоторой величины;

а^* - известное приближенное значение этой же величины.

2. Относительная погрешность– величина (а^*), равная

(а^*) = (а^*) / |а^*|.

3. Предельной абсолютной погрешностью называется любое число (а^*), удовлетворяющее условию

(а^*) (а^*).

4. Предельной относительной погрешностью называется любое число (а^*), удовлетворяющее условию

(а^*) (а^*).

Точность- это число, характеризующее степень близости между известным приближенным значением числа а^* и неизвестным точным значением аэтого же числа.

Чем больше степень близости, тем выше (больше) точность.

В качестве количественной оценки точности используют обратную величину от предельной погрешности, т.е.

Т а^* = 1 / (а^*) или Т а^* = 1 / (а^*),

где Т – показатель точности;

а^* – предельная абсолютная погрешность;

(а^*)–предельная относительная погрешность.

Нормы векторов и матриц

Для исследования сходимости и точности численных итерационных методов решения задач линейной и нелинейной и нелинейной алгебры, в том числе итерационных методов решения СЛАУ и СНАУ, необходимо ввести понятие нормы векторов матриц.

Нормой вектора х = (обозначают )

В n - мерной вещественном пространстве векторов x Rⁿ называют неотрицательное число, вычисляемое с помощью компонент вектора и обладающее следующими свойствами

а) 0 ( = 0 тогда и только тогда, когда x – нулевой вектор, т.е. x = );

б) = для любых чисел (действительных или комплексных);

в) .

Нормой матрицы А_n+n(обозначается c вещественными элементами в n-мерном пространстве матриц А Rⁿназывают неотрицательное число, вычисляемое с помощью элементов матрицы и обладающее следующими свойствами:

а) 0 ( 0 тогда и только тогда, когда А – нулевая матрица, т.е. А= );

б) для любых действительных и комплексных чисел ;

в) + ;

г) для всех матриц А и рассматриваемого пространства.

Нормы матриц и векторов, на которые матрицы действуют должны быть согласованы.

Норма матрицы А называется согласованной с нормой вектора х, на который действует матрица А; если выполняется неравенство

∙ , (*)

которое называется связью, осуществляющей согласование матрицы А с вектором х.

Наиболее употребительными являются следующие нормы векторов:

, I = , …

Согласованными с ними с помощью связи нормами матриц будут соответственно:

Где - модули собственных чисел симметрической вещественной матрицы для которой все являются действительными числами;

- максимальное по модулю собственное значение матрицы или спектральный радиус вещественной матрицы А.

1.4. Основная и дополнительная литература по дисциплине.

Основная:

1. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы.-М.: Физматлит 2004-400с.

2. Пирумов У.Г. (редактор). Численные методы. Учебник и практикум. Бакалавр. Академический курс.-М.: Юрайт, 2014-422с.

3. Численные методы. Сборник задач. Под редакцией У.Г.Пирумова.-М.: Дрофа, 2007-144с.

Дополнительная:

4. Вержбицкий В.М. Численные методы. Три книги:

1) Линейная алгебра и нелинейные уравнения.

2) Математический анализ и ЛДУ.

3) Дифференциальные уравнения в частных производных.

5. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.-М.: наука, 1966, - 664с.

Учебная литература к лекции 1:

, с.3…15; ,с.3…6.

Приложение к лекции 1

Корректность постановки задачи

При численном решении основных задач необходимо знать какие-либо входные (исходные) данные – начальные , краевые, (граничные) значения искомой функции, коэффициенты и правые части уравнений и т.д. Очевидно, что кроме этого для исследователя важно знать, существует ли решение поставленной задачи, единственно ли оно и как оно зависит от входных данных.

Численная задача поставлена корректно, если при заданных исходных данных единственное решение, которое неправильно зависит отисходных данных, т.е. малому их изменению соответствует малоеизменение решения. В этом случае говорят, что задача устойчива.

Задача поставлена некорректно,если ее решениенеустойчиво,относительно исходных данных, т.е. их малому изменениюмогут соответствовать большие изменения решения.

Известно, что корректнойзадачей являетсязадачачисленного интегрирования, а некорректной задача численного дифференцирования.

Классическим примером некорректной задачи является задача Коши для уравнения Лапласа. Эта некорректность исходной задачи проявляется при ее численном решении.

Актуальность дисциплины «Численные методы»

В настоящее время появилась значительное число различных погрешностей программных продуктов (Math Cad, Math lab и дрю), с помощью которых, задавая только входные данные и не вникая в сущность алгоритмов, можно решить значительное число задач, на обучение решению которых и направлена дисциплина «Численные методы».

Безусловно, умение пользоваться этими программными продуктами существенно сокращает время и ресурсы по решению важных задач. Вместе с этим бездумное использование упомянутых выше программ без тщательного анализа метода, с помощью которого решается задача, таит в себе следующие опасности.

1. Все методы имеют ограничения по входным параметрам (например, размер матриц при решении СЛАУ), и попытка решить задачу с входными параметрами за пределами этих ограничений приводит к неудаче.

2. Сами численные методы имеют существенные ограничения по применению.

3. Незнание метода, с помощью которого решалась конкретная задача в программном продукте, приводит к ситуации, когда трудно проанализировать качество решения (точность, сходимость, устойчивость и др. характеристики численных методов).

Стандартные программные продукты значительно ограничены количеством решаемых задач, среди которых в основном линейные задачи. Вне сферы их применения остается большинство задач, связанных с уравнениями математической физики и др.

Поэтому при численном решении задач вычислитель должен четко представлять каждый из следующих этапов:

1) построение адекватной математической модели,

2) выбор метода численного решения,

3) разработку алгоритма решения задачи,

4) составление программы вычислений,

5) отладка программы,

6) корректировку и исправление всех этапов, начиная с математической модели, на основе анализа тестовых результатов.

Таким образом, путь от постановки задачи до получения результатов решения не краток. В связи с этим важно отметить следующее. Если неопытный вычислитель после реализации первых 4-х этапов считает, что задача решена, то опытный вычислитель знает, что неопытный вычислитель находится лишь в начале сложного пути с неожиданными результатами.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: