Закон Ома для однородного участка проводника

Лекция 6

ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Условия существования электрического тока

Из электростатики известно, что на заряд в электрическом поле будет действовать кулоновская сила, которая перемещает положительные заряды по полю, отрицательные - против поля. Если электрическое поле создать, например, в металлическом проводнике, (в меди n_o »10²⁸ м^-³) на тепловое хаотическое движение электронов накладывается упорядоченное движение под действием сил поля. Возникает электрический ток. В зависимости от типа проводящей среды электрический ток называют током проводимости (в металлах), током в электролитах, током в газах, током смещения и т. д. Для того чтобы в проводнике длительное время существовал электрический ток необходимо: наличие электрических зарядов; наличие внутри проводника напряженности электрического поля (разности потенциалов на его концах).

Сила и плотность тока

Количественной мерой электрического тока является сила тока I

Количество электричества (заряд), протекающее через поперечное сечение проводника в единицу времени называют силой тока, т. е.

. (1)

В Си единицей измерения силы тока является ампер (А).

Если на концах проводника разность потенциалов Dj = сonst, т. е. с течением времени не изменяется, то такой ток называют постоянным.

Когда электрический ток распределен в проводнике неравномерно, то используют понятие вектора плотности тока, модуль которого

j = . (2)

В СИ плотность тока измеряется в амперах на метр в квадрате (А/м²).

Если известен вектор плотности тока в каждой точке некоторой поверхности S, то можно найти силу тока через эту поверхность как поток вектора плотности тока, т. е. ,

где - единичный вектор нормали к поверхности. За направление вектора принято направление упорядоченного движения положительных зарядов.

Графически поле вектора плотности тока изображают с помощью линий тока. Там, где линии тока проведены гуще, плотность тока больше.

Уравнение непрерывности

Если в проводящей среде, где течет ток, выделить замкнутую поверхность S, то интеграл характеризует весь заряд, выходящий в единицу времени наружу из объема V, охваченного поверхностью S. На основании закона сохранения заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V, т. е.

(3)

Формулу (3) называют уравнением непрерывности. Для постоянного тока I = сonst, т. е. Следовательно, уравнение непрерывности для постоянного тока принимает вид (4)

В дифференциальной форме уравнение непрерывности записывается в виде

(5)

или для постоянного (стационарного) тока уравнение непрерывности

. (6)

Закон Ома для однородного участка проводника

Зависимость силы тока от разности потенциалов (напряжения) на концах проводника экспериментально получена Омом в 1827 г.,

(7)

Рис. 1

где R - cопротивление проводника, зависит от его размеров, формы, материала проводника и температуры. Для однородного цилиндрического проводника (рис. 5.1)

, (8)

где r - удельное сопротивление; - длина проводника; S - площадь его поперечного сечения.

Зависимость сопротивления металлов от температуры выражается формулой

R = R_o(1 + at), (9)

где R_o - сопротивление проводника при температуре t = 0^oC; a - температурный коэффициент сопротивления; t - температура проводника.

В Си сопротивление проводника измеряется в омах (Ом); удельное сопротивление - в омметрах (Ом×м); температурный коэффициент сопротивления - в град^-¹(К ^-¹).

Замечание: При объемном распределения тока необходимо знать расположение подводящих проводников, или конфигурацию тока.

Для нахождения связи между плотностью тока и напряженностью выделим в окрестности произвольной точки проводящей среды элементарный цилиндрический объем, образующие которого параллельны вектору плотности тока. Тогда на основании формул (2), (7), (8) и связи напряженности электрического поля с разностью потенциалов Dj = Е×d получим, что

или (10)

где g = 1/r - удельная электропроводимость проводника в СИ измеряется в сименсах на метр (См/м). Формула (10) выражает закон Ома в дифференциальной форме.

Замечание 1: В случае постоянного тока избыточный заряд внутри однородного проводника равен нулю. Cогласно уравнения непрерывности для постоянного тока (5), с учетом (10), получим

Данный интеграл согласно теореме Гаусса пропорционален алгебраической сумме зарядов внутри произвольной замкнутой поверхности S, т. е. пропорционален избыточному заряду внутри этой поверхности. Но так как интеграл равен нулю ( g ¹ 0), то равен нулю и избыточный заряд внутри проводника. Избыточный заряд может появиться только на поверхности

проводника, где он имеет неоднородности.

Рис. 2

Замечание 2: Если проводник неоднороден, то при протекании тока на его поверхности возникает избыточный заряд. Следовательно, согласно формуле cнаружи у поверхности проводника имеется нормальная составляющая вектора . Из непрерывности тангенциальной составляющей вектора следует, что вблизи поверхности проводника существует его тангенциальная составляющая.

Таким образом, вектор вблизи поверхности проводника составляет некоторый угол q с вектором его тангенциальной составляющей (рис. 2). В случае стационарных токов распределение электрических зарядов в неоднородной проводящей среде с течением времени не изменяется. Эти заряды создают кулоновское поле, что и неподвижные заряды.

Следовательно, электрическое поле стационарных токов - поле потенциальное. Вместе с тем, поле стационарных токов отличается от электростатического поля, в котором при равновесии зарядов поле внутри проводников равно нулю. Хотя поле стационарных токов - кулоновское, однако, его заряды находятся в движении. В связи с этим в случае стационарных токов электрическое поле существует и внутри проводников с током.

Сторонние силы. ЭДС

Под действием кулоновских сил электростатического поля в проводниках происходит выравнивание потенциалов на концах проводников (Dj = 0) и ток прекращается. Поэтому для поддержания длительное время в цепи постоянного тока, наряду с участками, где положительные носители тока движутся в сторону уменьшения потенциала, должны иметься участки, на которых перенос этих зарядов происходит в сторону возрастания потенциала, т. е. против сил электрического поля.

Это возможно лишь под действием сил не электростатического происхождения. Такие силы называют сторонними.

Физическая природа сторонних сил может быть самой разнообразной: механической, химической, световой, магнитной и т. д.

Количественной характеристикой сторонних сил является напряженность поля сторонних сил. Если в проводнике под действием электрического поля и поля сторонних сил возникает электрический ток, то согласно принципу суперпозиции полей плотность тока в нем

. (11)

Это уравнение называют законом Ома в дифференциальной форме для неоднородного участка проводника или любой проводящей среды.

Неоднородным называют участок цепи, на котором действуют сторонние силы (рис. 5.3). Если ток течет вдоль тонких проводов, то направление тока совпадает с направлением оси их и плотность тока будет практически одинаковой во всех точках сечения проводников.

Рис. 3

Для получения формулы закона Ома для неоднородного участка цепи правую и левую части формулы (11) разделим на коэффициент электропроводимости g и скалярно умножим на вектор элемента длины проводника , а полученное выражение проинтегрируем по всей длине проводника от сечения 1 до сечения 2

(12)

или .

В последнем выражении интеграл слева преобразуем с учетом того, что

и .

В результате получим ,

где подынтегральное выражение - сопротивление участка цепи , а интеграл - полное сопротивление R проводника от точки 1 до точки 2.

Первый интеграл в правой части - разность потенциалов Dj = j₁ - j₂, т. е. . (13)

Второй интеграл справа представляет собой электродвижущую силу (ЭДС) поля сторонних сил, действующую на данном участке цепи, т. е.

₁₂. (14)

Электродвижущая сила численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного, положительного заряда на данном участке цепи.

Согласно определению ₁₂= , (15)

Рис. 4

где q = +1 Кл.

С учетом указанных преобразований формула (5.14) принимает вид:

I×R = (j₁ - j₂) + ₁₂. (16)

Таким образом, получили уравнение, выражающее закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме.

Замечание 1: Если точки 1 и 2 участка цепи соединить, т. е. j₁= j₂, то получим формулу закона Ома для замкнутой цепи (рис. 4):

I×R = ₁₂, (17)

где R = R₁₂+ r; R - полное сопротивление замкнутой цепи; R₁₂ - сопротивление однородного участка проводника; r - внутреннее сопротивление источника тока с ЭДС ₁₂ ; А - амперметр, включается в цепь последовательно (клемма «+» источника тока соединяется с клеммой «+» амперметра, а клемма «-» соединяется с клеммой «-» амперметра); V - вольтметр, который подключается параллельно нагрузке, например, внешнему сопротивлению с соблюдением полярности, как указано для амперметра.

Рис. 5

Распределение потенциала вдоль замкнутой электрической цепи, содержащей источник ЭДС на участке 1-2 приведено на (рис. 5).

Для наглядности потенциал отложен вдоль образующих произвольной цилиндрической поверхности, которая опирается на контур с током.

Точки 1 и 2 соответствуют положительной и отрицательной клеммам источника.

Процесс протекания тока происходит следующим образом: положительные заряды скатываются по наклонной плоскости от точки с потенциалом j₁ к точке с потенциалом j₂ по внешнему участку цепи (j₁аj₂).

Рис. 6

Внутри источника ЭДС они поднимаются от j₂к j₁ (j₂бj₁) за счет сторонних сил в направлении, указанном стрелкой.

Замечание 2: Если участок цепи содержит только ЭДС между точками 1 и 2, т. е. источник тока разомкнут, то I = 0, j₂ - j₁ = (рис. 6).

Следовательно, ЭДС источника тока можно определить как разность потенциалов на его клеммах в разомкнутой цепи, т.е. к клеммам источника необходимо присоединить вольтметр.

При последовательном соединении N одинаковых источников с ЭДС и внутренним сопротивлением r сила тока в цепи

При параллельном соединении N одинаковых источников с ЭДС и внутренним сопротивлением r сила тока в цепи

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: