Сделай Сам Свою Работу на 5

Для потенциального движения





Лекция 5. Вихревое движение жидкости

Циркуляция и вихревое движение несжимаемой жидкости

Особенностью движения жидкости на криволинейных участках является возможность образования циркуляционного течения. Пусть поле скоростей жидкости искривлено (рис. 5.1, а).

Рис. 5.1. Образование циркуляции в поле скоростей жидкости

 

Поместим в жидкость замкнутую трубку в виде петли постоянного сечения. При мгновенном замораживании жидкости, находящейся вне трубки, в ней сохранится импульс. Жидкость будет двигаться и приобретет циркуляцию равную произведению средней касательной компоненты скорости на длину контура обхода.

Если в жидкости провести отрезок кривой АВ (рис. 5.2), то криволинейный интеграл в векторном поле скоростей равен

(5.1)

и определяет циркуляцию скорости на участке АВ.

Рис.5.2. Определение циркуляции скорости на участке АВ незамкнутого контура

 

Для замкнутого контура запишем

. (5.2)

Рассмотрим вращение твердого тела (рис. 5.3)

 

Рис.5.3. Вращение твердого тела

 

Если угловая скорость вращения относительно оси Z, то скорость точки тела М равна а ее проекции на оси X и Y будут



(5.3)

Определив значения и получим величину завихренности

(5.4)

т.е. -компонента вектора завихренности связана с -компонентой вектора угловой скорости вращения жидкой частицы соотношением

Аналогично можно получить компоненты

(5.5)

Вихрь вектора скорости жидкой частицы определяется через вектор угловой скорости

(5.6)

Вихревое движение может быть и ламинарным и турбулентным.

 

Потенциальное движение несжимаемой жидкости

 

Если то течение становится потенциальным (безвихревым). При этом будет выполняться условие

(5.7)

что возможно при существовании функции удовлетворяющей условиям:

(5.8)

Такое течение называется потенциальным. В этом случае циркуляция скорости на участке АВ определяется разностью потенциалов скоростей в точках А и В:

(5.9)

 

Вихревые линии и вихревые трубки

 

Вихри скоростей образуют вихревое поле, в котором находятся вихревые линии и вихревые трубки. Из определения вихревой линии и вихревой трубки следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая вихря скорости равна нулю.



Вводя понятие потока вектора вихря скорости, равного

(5.10)

где - площадь поверхности; - нормаль к поверхности, найдем, что поток вектора вихря скорости через вихревую поверхность будет равен нулю:

(5.11)

Поток вектора вихря скорости сквозь произвольное поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки (рис. 5.4):

(5.12)

Рис.5.4. Вихревая трубка

 

Это утверждение составляет вторую теорему Гельмгольца.

Поток вихря характеризует интенсивность вихревой трубки

(5.13)

При постоянной величине вихря получим

(5.14)

откуда следует:

1) сечение вихревой трубки нигде не может стать равным нулю, т.к. бесконечно большая скорость вращения частиц физически невозможна;

2) вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости: они либо замыкаются на себя, образуя вихревые кольца, либо «опираются» на стенку или на свободную поверхность.

Другой важной теоремой о вихрях является теорема Стокса: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру один раз опоясывающему вихревую трубку, т.е.

(5.15)

где - длина контура.

 

Безвихревое движение жидкости.

Интегралы Коши-Лагранжа и Бернулли

для потенциального движения

 

Если во всей области движения жидкости

или (5.16)

где величины ротора скорости определяется с применением оператора набла ( ) в виде

= (5.17)

где - орты (единичные векторы) осей декартовой системы координат в направлениях X, Y, Z соответственно, то существует потенциал скорости и скорость имеет компоненты, определяемые по формуле



(5.18)

или

Уравнение Эйлера в форме Громеки - Ламба имеет вид

(5.19)

или в векторной форме

(5.20)

Условие потенциальности позволяет записать

(5.21)

Следовательно, выражение в скобках зависит только от времени, поэтому интеграл уравнения будет

(5.22)

где - определяется из краевых условий. Этот интеграл уравнения Эйлера называется интегралом Коши - Лагранжа для потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости.

Когда массовые силы сводятся силами тяжести, потенциал которых , то интеграл Коши - Лагранжа принимает вид

(5.23)

В этом уравнении имеются два неизвестных и , поэтому следует использовать уравнение неразрывности

(5.24)

или

(5.25)

Решение последнего уравнения Лапласа позволяет найти потенциал скорости , что с учетом равенства

(5.26)

определяет давление . Произвольная функция будет найдена по величине в некоторой точке.

Для стационарного движения и с учетом выражения потенциала массовой силы тяжести получим

Это интеграл Бернулли для потенциальной струйки идеальной несжимаемой жидкости.

Наиболее употребительна его форма вида

(5.27)

где – геометрическая высота (удельная потенциальная энергия) положения сечения струйки; - пьезометрический напор в сечении (удельная потенциальная энергия давления); - скоростной напор (удельная кинетическая энергия).

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.