Для потенциального движения
Лекция 5. Вихревое движение жидкости
Циркуляция и вихревое движение несжимаемой жидкости
Особенностью движения жидкости на криволинейных участках является возможность образования циркуляционного течения. Пусть поле скоростей жидкости искривлено (рис. 5.1, а).
Рис. 5.1. Образование циркуляции в поле скоростей жидкости
Поместим в жидкость замкнутую трубку в виде петли постоянного сечения. При мгновенном замораживании жидкости, находящейся вне трубки, в ней сохранится импульс. Жидкость будет двигаться и приобретет циркуляцию равную произведению средней касательной компоненты скорости на длину контура обхода.
Если в жидкости провести отрезок кривой АВ (рис. 5.2), то криволинейный интеграл в векторном поле скоростей равен
(5.1)
и определяет циркуляцию скорости на участке АВ.
Рис.5.2. Определение циркуляции скорости на участке АВ незамкнутого контура
Для замкнутого контура запишем
. (5.2)
Рассмотрим вращение твердого тела (рис. 5.3)
Рис.5.3. Вращение твердого тела
Если угловая скорость вращения относительно оси Z, то скорость точки тела М равна а ее проекции на оси X и Y будут
(5.3)
Определив значения и получим величину завихренности
(5.4)
т.е. -компонента вектора завихренности связана с -компонентой вектора угловой скорости вращения жидкой частицы соотношением
Аналогично можно получить компоненты
(5.5)
Вихрь вектора скорости жидкой частицы определяется через вектор угловой скорости
(5.6)
Вихревое движение может быть и ламинарным и турбулентным.
Потенциальное движение несжимаемой жидкости
Если то течение становится потенциальным (безвихревым). При этом будет выполняться условие
(5.7)
что возможно при существовании функции удовлетворяющей условиям:
(5.8)
Такое течение называется потенциальным. В этом случае циркуляция скорости на участке АВ определяется разностью потенциалов скоростей в точках А и В:
(5.9)
Вихревые линии и вихревые трубки
Вихри скоростей образуют вихревое поле, в котором находятся вихревые линии и вихревые трубки. Из определения вихревой линии и вихревой трубки следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая вихря скорости равна нулю.
Вводя понятие потока вектора вихря скорости, равного
(5.10)
где - площадь поверхности; - нормаль к поверхности, найдем, что поток вектора вихря скорости через вихревую поверхность будет равен нулю:
(5.11)
Поток вектора вихря скорости сквозь произвольное поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки (рис. 5.4):
(5.12)
Рис.5.4. Вихревая трубка
Это утверждение составляет вторую теорему Гельмгольца.
Поток вихря характеризует интенсивность вихревой трубки
(5.13)
При постоянной величине вихря получим
(5.14)
откуда следует:
1) сечение вихревой трубки нигде не может стать равным нулю, т.к. бесконечно большая скорость вращения частиц физически невозможна;
2) вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости: они либо замыкаются на себя, образуя вихревые кольца, либо «опираются» на стенку или на свободную поверхность.
Другой важной теоремой о вихрях является теорема Стокса: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру один раз опоясывающему вихревую трубку, т.е.
(5.15)
где - длина контура.
Безвихревое движение жидкости.
Интегралы Коши-Лагранжа и Бернулли
для потенциального движения
Если во всей области движения жидкости
или (5.16)
где величины ротора скорости определяется с применением оператора набла ( ) в виде
= (5.17)
где - орты (единичные векторы) осей декартовой системы координат в направлениях X, Y, Z соответственно, то существует потенциал скорости и скорость имеет компоненты, определяемые по формуле
(5.18)
или
Уравнение Эйлера в форме Громеки - Ламба имеет вид
(5.19)
или в векторной форме
(5.20)
Условие потенциальности позволяет записать
(5.21)
Следовательно, выражение в скобках зависит только от времени, поэтому интеграл уравнения будет
(5.22)
где - определяется из краевых условий. Этот интеграл уравнения Эйлера называется интегралом Коши - Лагранжа для потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости.
Когда массовые силы сводятся силами тяжести, потенциал которых , то интеграл Коши - Лагранжа принимает вид
(5.23)
В этом уравнении имеются два неизвестных и , поэтому следует использовать уравнение неразрывности
(5.24)
или
(5.25)
Решение последнего уравнения Лапласа позволяет найти потенциал скорости , что с учетом равенства
(5.26)
определяет давление . Произвольная функция будет найдена по величине в некоторой точке.
Для стационарного движения и с учетом выражения потенциала массовой силы тяжести получим
Это интеграл Бернулли для потенциальной струйки идеальной несжимаемой жидкости.
Наиболее употребительна его форма вида
(5.27)
где – геометрическая высота (удельная потенциальная энергия) положения сечения струйки; - пьезометрический напор в сечении (удельная потенциальная энергия давления); - скоростной напор (удельная кинетическая энергия).
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|