Граничные и начальные условия
Лекция 4. Дифференциальные уравнения Эйлера
Движения невязкой жидкости
Уравнения движения невязкой жидкости
Напряженное состояние жидкости, находящейся в покое, устанавливается уравнениями Эйлера. В процессе движения силы, действующие на жидкость, определяются не только напряжениями, но и скоростями.
Использование уравнений статики для описания движения – принцип кинетостатики или принцип Д’Аламбера – состоит во введении сил инерции
. (4.1)
Относя силы инерции к массе частицы жидкости, можно записать
. (4.2)
Проекции удельной силы инерции выражаются через компоненты скорости
; ; . (4.3)
В соответствии с принципом Д’Аламбера уравнения движения принимают вид
(4.4)
Это уравнения идеальной (невязкой), несжимаемой жидкости, поскольку в них учитываются процессы внутреннего трения и связанные с ними касательные напряжения. В соответствии с примечанием к формулам (2.25) и (2.25а) в системе уравнений (4.4) приняты обозначения удельных массовых сил
Эквивалентные формы
Уравнений невязкой несжимаемой жидкости
В зависимости от представления компонент ускорений можно записать следующие эквивалентные формы уравнений невязкой несжимаемой жидкости:
а) в декартовой системе координат
(4.5)
б) в форме Громеки-Ламба при выполнении условий несжимаемости и существования потенциала массовых сил
;
(4.6)
Уравнение непрерывности
Замыкание системы уравнений движения невязкой жидкости производится с помощью уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения массы.
Рис. 4.1. Движение жидкости сквозь элементарный объем
Определим изменение расхода несжимаемой жидкости ( )при ее движении через элементарный объем с ребрами длиной и (рис.4.1). Масса жидкости в выделенном объеме сохраняется, поэтому .
Если жидкость протекает через грани параллельные плоскости , то она входит в левую грань со скоростью и выходит через противоположную грань со скоростью
(4.7)
Из условия баланса масс жидкости, входящей в элементарный объем и выходящей из него за время , следует уравнение изменения потока массы
(4.8)
Для других пар граней запишем
и (4.9)
Суммарное изменение массы равно
(4.10)
Поскольку в замкнутом объеме , то, после сокращения на получим
(4.11)
Это дифференциальная форма уравнения неразрывности.
Если движение жидкости потенциально, то проекции скорости на оси координат могут быть определены в виде
, , . (4.12)
С учетом выражений для производных от компонент скорости по соответствующим координатам
;
;
получим уравнение Лапласа для безвихревого движения жидкости
(4.13)
где - оператор Лапласа.
Уравнение движения вязкой жидкости Навье-Стокса
Касательные напряжения вызываются трением. При отнесении сил трения к массе несжимаемой жидкости ( ) можно записать
(4.14)
где кинематическая вязкость.
Уравнение Рейнольдса
В случае пульсационного изменения скоростей в каждой точке потока действительная мгновенная скорость в соответствии с (3.3) равна с проекциями на оси координат , , . Из уравнений Навье-Стокса в результате замены действительных составляющих вектора скорости на компоненты осредненных и пульсационных скоростей выводятся уравнения Рейнольдса
(4.15)
Уравнение неразрывности для компонент осредненных скоростей имеет вид
(4.16)
Однако, система из трех уравнений Рейнольдса и уравнения неразрывности не являются замкнутыми. Недостающие уравнения полуэмпирическим путем определяют турбулентные напряжения , , , , , , , .
Граничные и начальные условия
Набор постоянных и функций, входящих в дифференциальные уравнения движения жидкости определяется дополнительными условиями, которые часто называются краевыми.
Краевые условия включают граничные и начальные условия.
Граничные условия формируются на границе области потока жидкости:
1) если граница является свободной поверхностью, то давление на ней постоянно
2) если поток ограничен твердой стенкой, то образуется условие непротекания и нормальная к стенке компонента скорости
3) вязкая жидкость «прилипает» к твердой стенке и
4) в живом сечении, ограничивающем поток, задается распределение скоростей.
Начальные условия требуют знания о параметрах потока в момент времени (обычно ). Например, при движении из состояния покоя а давление распределяется по гидростатическому закону
(4.17)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|