Теорема Гаусса для поля вектора электрического смещения
Источниками напряженности электрического поля являются все электические заряды - связанные и сторонние. Поэтому теорему Гаусса для поля вектора запишем в виде , (13)
где q* и q - связанные и сторонние заряды, охватываемые произвольной поверхностью S. Согласно формуле (12) следует, что свойства неизвестного поля выражаются через связанные заряды q*, которые в свою очередь определяются неизвестным полем . Образуется замкнутый круг. Однако из него можно выйти, если выразить связанный заряд q* через поток вектора [см. формулу (11)]. Тогда формулу (13) можно представить в виде
. (14)
Введем обозначение
. (15)
С учетом этого, формулу (14) перепишем в виде
. (16)
Вывод: Поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.
Формула (16) выражает теорему Гаусса для поля вектора .
Замечание: вектор представляет собой сумму двух различных величин e0 , и является вспомогательным вектором, который широко используется в физике: например, его введение значительно упрощает изучение электрического поля в диэлектриках.
Формулы (15) и (16) остаются справедливыми в случае изотропного и анизотропного диэлектрика. Согласно (16) в СИ электрическое смещение измеряется, как и поляризованность, в Кл/м2.
В дифференциальной форме теорема Гаусса для записывается в виде , (17)
т. е. дивергенция поля вектора равна объемной плотности сторонних зарядов.
2.7. Связь между векторами и
Для изотропных диэлектриков поляризованность
= æ .
С учетом этого формула (4.15) принимает вид
= e0(1+ æ)
или
= e0e , (18)
где e - диэлектрическая проницаемость вещества, т. е.
e = 1+ æ. (19)
Диэлектрическая проницаемость является важной характеристикой диэлектриков. Безразмерна. Для вакуума e=1. Для всех остальных веществ e> 1.
Величина e зависит от природы вещества, например, для воды при малых частотах e = 81.
Поле вектора так же, как и поле вектора можно наглядно изобразить с помощью линий электрического смещения. Но источниками и стоками поля вектора являются только сторонние заряды. Через области электрического поля, где находятся связанные заряды, линии электрического смещения проходят, не прерываясь. Но поле вектора зависит как от сторонних, так и связанных зарядов.
Однако в некоторых случаях поле вектора определяется только сторонними зарядами. Формулы (16) и (17) выражают только определенное свойство поля вектора , но не само поле .
2.8. Граничные условия для поля вектора
Рис. 5
| Найдем связь между поляризованностью Р и поверхностной плотностью s* связанных зарядов на границе раздела двух изотропных диэлектриков.
У таких диэлектриков нет объемного избыточного связанного заряда, а имеется только поверхностный связанный заряд.
Для того чтобы использовать свойство поля вектора в качестве замкнутой поверхности, возьмем малый цилиндр, основания которого находятся по разные стороны границы раздела диэлектриков (рис. 5).
Найдем поток вектора сквозь цилиндрическую поверхность с учетом того, что этот поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю.
В этом случае будем учитывать только поток сквозь основания цилиндра, т. е.
(P1n*+ Р2n)DS = -s*DS,
где P1n* и Р2n - проекции вектора в диэлектрике 1 на нормаль * и в диэлектрике 2 на нормаль .
Вследствие того, что P1n* = - P1n, предыдущее равенство перепишем после сокращения на DS в виде
Р2n - P1n = - s*. (20)
Вывод: На границе раздела двух изотропных диэлектриков нормальная составляющая вектора испытывает разрыв.
Если второй средой является вакуум,
то Р2n= 0, тогда формула (20) принимает более простой вид:
Рn = s*, (21)
где Рn - проекция вектора на нормаль к поверхности диэлектрика.
Знак проекции Рn определяет знак поверхностного связанного заряда s*.
Замечание: Поле вектора так же, как и поле вектора , зависит как от связанных, так и сторонних зарядов.
Связанные заряды определяют не поле вектора , а поток этого вектора , и только те, которые охватывает замкнутая поверхность S.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|