Сделай Сам Свою Работу на 5

Теорема Гаусса для поля вектора электрического смещения





Источниками напряженности электрического поля являются все электические заряды - связанные и сторонние. Поэтому теорему Гаусса для поля вектора запишем в виде , (13)

где q* и q - связанные и сторонние заряды, охватываемые произвольной поверхностью S. Согласно формуле (12) следует, что свойства неизвестного поля выражаются через связанные заряды q*, которые в свою очередь определяются неизвестным полем . Образуется замкнутый круг. Однако из него можно выйти, если выразить связанный заряд q* через поток вектора [см. формулу (11)]. Тогда формулу (13) можно представить в виде

. (14)

Введем обозначение

. (15)

С учетом этого, формулу (14) перепишем в виде

. (16)

Вывод: Поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Формула (16) выражает теорему Гаусса для поля вектора .

Замечание: вектор представляет собой сумму двух различных величин e0 , и является вспомогательным вектором, который широко используется в физике: например, его введение значительно упрощает изучение электрического поля в диэлектриках.



Формулы (15) и (16) остаются справедливыми в случае изотропного и анизотропного диэлектрика. Согласно (16) в СИ электрическое смещение измеряется, как и поляризованность, в Кл/м2.

В дифференциальной форме теорема Гаусса для записывается в виде , (17)

т. е. дивергенция поля вектора равна объемной плотности сторонних зарядов.

2.7. Связь между векторами и

Для изотропных диэлектриков поляризованность

= æ .

С учетом этого формула (4.15) принимает вид

= e0(1+ æ)

или

= e0e , (18)

где e - диэлектрическая проницаемость вещества, т. е.

e = 1+ æ. (19)

Диэлектрическая проницаемость является важной характеристикой диэлектриков. Безразмерна. Для вакуума e=1. Для всех остальных веществ e> 1.

Величина e зависит от природы вещества, например, для воды при малых частотах e = 81.

Поле вектора так же, как и поле вектора можно наглядно изобразить с помощью линий электрического смещения. Но источниками и стоками поля вектора являются только сторонние заряды. Через области электрического поля, где находятся связанные заряды, линии электрического смещения проходят, не прерываясь. Но поле вектора зависит как от сторонних, так и связанных зарядов.



Однако в некоторых случаях поле вектора определяется только сторонними зарядами. Формулы (16) и (17) выражают только определенное свойство поля вектора , но не само поле .

2.8. Граничные условия для поля вектора

 

  Рис. 5

Найдем связь между поляризованностью Р и поверхностной плотностью s* связанных зарядов на границе раздела двух изотропных диэлектриков.

У таких диэлектриков нет объемного избыточного связанного заряда, а имеется только поверхностный связанный заряд.

Для того чтобы использовать свойство поля вектора в качестве замкнутой поверхности, возьмем малый цилиндр, основания которого находятся по разные стороны границы раздела диэлектриков (рис. 5).

Найдем поток вектора сквозь цилиндрическую поверхность с учетом того, что этот поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю.

В этом случае будем учитывать только поток сквозь основания цилиндра, т. е.

(P1n*+ Р2n)DS = -s*DS,

где P1n* и Р2n - проекции вектора в диэлектрике 1 на нормаль * и в диэлектрике 2 на нормаль .

Вследствие того, что P1n* = - P1n, предыдущее равенство перепишем после сокращения на DS в виде

Р2n - P1n = - s*. (20)

Вывод: На границе раздела двух изотропных диэлектриков нормальная составляющая вектора испытывает разрыв.

Если второй средой является вакуум,

то Р2n= 0, тогда формула (20) принимает более простой вид:

Рn = s*, (21)

где Рn - проекция вектора на нормаль к поверхности диэлектрика.



Знак проекции Рn определяет знак поверхностного связанного заряда s*.

Замечание: Поле вектора так же, как и поле вектора , зависит как от связанных, так и сторонних зарядов.

Связанные заряды определяют не поле вектора , а поток этого вектора , и только те, которые охватывает замкнутая поверхность S.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.