Сделай Сам Свою Работу на 5

Свойства показательной функции.





Реферат по математике

«элементарные функции»

Выполнила:

студентка 1 курса

факультета информатики

11 группы

Дивейко н.в.

проверил:

адольф в. а.

 

г. Красноярск 2001 г.

 

план

I. введение

II. свойства и графики элементарных функций

Степенная функция

Квадратичная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Обратно пропорциональная зависимость

Тригонометрические функции

III. мои примеры графиков

 

IV. Список использованной литературы

 

 

I. введение

К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.

 

II. свойства и графики элементарных функций

 

Степенная функция

Степенной функцией называется функция вида f(x)=xa, где a - любое действительное число, называемое показателем степени.

 

Свойства степенной функции.



1. Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.

2. Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.

3. Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.

4. Степенная функция непрерывна во всей области определения.

5. Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле

(xa)¢= a.xa-1.

6. Степенная функция xa монотонно возрастает во всей области определения при a<0.

 

 

       
   
 
 

 
 

0 1 x 0 1 x

Рис. 1 Рис. 2

 

 

7. При a<0 и a>1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<a<1 – вогнутостью вниз.

Графики степенной функции при некоторых значениях a приведены на Рис. 1 и Рис. 2.

 

Квадратичная функция

Функция f(x)=ax2+bx2+c, где a, b, c – некоторые действительные числа (a¹0), называется квадратичной функцией. График квадратичной функции называется параболой.

Квадратичная функция может быть приведена к виду



 

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)

 

выражение b2-4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Представление квадратной функции в виде (1) называется выделением полного квадрата.

 

Свойства квадратичной функции и ее график

1. Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.

2. При b¹0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция – четная.

       
   
 

           
   
     
 
 

Рис. 3 Рис. 4

 

3. Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.

4. Функция имеет единственную критическую точку

x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.

Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.

Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2-4ac)/4a) называется вершиной параболы.

5. Область изменения функции: при a>0 – множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +¥); при a<0 – множество значений функции (-¥;-((b2-4ac)/4a)].

6. График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b2-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a); если b2-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.

Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) – образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).



График функции

f(x)=ax2+bx+c

(или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями:

а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);

б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;

в) параллельным переносом r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

 

Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида f(x)=ax, где а – некоторое положительное действительное число, называемое основанием степени. При а=1 значение показательной функции при любом значении аргумента равно единице, и случай а=1 далее не будет рассматриваться.

Свойства показательной функции.

1. Область определения функции – вся числовая прямая.

2. Область значения функции – множество всех положительных чисел.

3. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(ax)¢ =axlna

 

4. При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.

5. Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.

6. График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y=1.

7. График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.

 
 

График показательной функции при значении а=2 изображен на рис. 5

Рис. 5

 

Логарифмическая функция

Функцию, обратную показательной функции y=ax, называют логарифмической и обозначают

y=loga x.

Число а называется основанием логарифмической функции. Логарифмическую функцию с основанием 10 обозначают

lg x,

а логарифмическую функцию с основанием е обозначают

ln x.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.