Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения событий А и В (или вероятность их совместного наступления) равна произведению вероятности наступления первого события на условную вероятность наступления второго, вычисленную в предположении, чтопервое событие имело место.

Символически:Р(А´В)=Р(А)´

Следствие 1. В силу симметрии, т.к. А´В=В´А, то

Р(А´В)=Р(В´А)=Р(В)´

Следствие 2. Для независимых событий:

Р(А´В)=Р(А)´Р(В)

· У мышей черная окраска шерсти – доминантный признак, коричневый окрас – рецессивный. Предположим, что скрещиваются две гетерозиготные мыши, причем при каждом скрещивании в помете – четыре потомка. Оценим вероятности всех возможных вариантов окраса шерсти потомков.

1) Обозначим события: E₁= {все четыре мышонка – коричневого окраса},

А={первый мышонок - коричневый},

В={второй мышонок - коричневый},

С={третий мышонок - коричневый},

D={четвертый мышонок - коричневый}.

Тогда E₁=А´В´С´D. По теореме умножения вероятностей для независимых событий

Р(E₁)=Р(А)´Р(В)´Р(С)´Р(D). В соответствии с первым законом Менделя:

Р(E₁)= ´ ´ ´ =

2) E₂={в помете три коричневых и один черный мышонок}.

При этом черный может быть первым (A₁), вторым (A₂), третьим (A₃) или четвертым (A₄).

Графически: Так как E₂ =A₁+A₂+ A₃+ A₄.

Þ Р( )=Р( )+Р( )+Р( )+Р( )

● ○ ○ ○ (в силу несовместимости событий ).

○ ● ○ ○

○ ○ ● ○ По теореме умножения вероятностей:

○ ○ ○ ●

Р( ) = Р( ) = Р( ) = Р( ) = ´ ´ ´

Откуда Р( ) = 4´ ´ ´ ´ =

3) E₃= {в помете 2 коричневых и 2 черных мышонка}.

Черные могут быть: «Первый и второй» ( ), «Первый и третий» ( ), «Первый и четвертый» ( ), «Второй и третий» ( ), «Второй и четвертый» ( ), «Третий и четвертый» ( ).

Графически: Так как = Þ

● ● ● ○ ○ ○

● ○ ○ ● ● ○ Р( ) = ) = 6´ ´ ´ ´ =

○ ● ○ ● ○ ● (в силу несовместимости событий ).

○ ○ ● ○ ● ●

4) E₄= {в помете 1 коричневый и 3 черных мышонка}.

Коричневый может быть: «первым» ( ), «вторым» ( ), «третьим» ( ) или «четвертым» ( ).

Графически: = + + + Þ

○ ● ● ● Р( )= =4´ ´ ´ ´ = .

● ○ ● ● (в силу несовместимости )

● ● ○ ●

● ● ● ○

5) E₅= {все четыре мышонка – черного (доминантного) окраса}.

Обозначим события:

А={первый мышонок - черный},

В={второй мышонок - черный},

С={третий мышонок - черный},

D={четвертый мышонок - черный}.

Тогда: E₅=А´В´С´D Þ Р( )=Р(А)´Р(В)´Р(С)´Р(D)= ´ ´ ´ =

Замечание: События , , , , образуют полную группу и = + + + + = 1.

Теорема сложения вероятностей(для случая совместных событий)

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А´В)

· Известно, что в посевах пшеницы (на делянке) 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Какова вероятность, что среди них хотя бы одно окажется здоровым?

- Обозначим: А={первое растение - здоровое},

В = {второе растение - здоровое},

С = {хотя бы одно растение - здоровое}.

Очевидно, С=А+В Þ Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А´В)=0,95+0,95-0,95´0,95=0,9975

Формула полной вероятности

Пусть , , … образуют полную группу событий. Для некоторого случайного события A можно представить:

A=A´ +A´ + … +A´

Откуда: Р(A)= = ´

(в силу несовместимости событий A´ ).

· Детали изготавливают на двух станках. Производительность первого в два раза больше, чем второго. Первый станок дает 5% бракованных деталей (95% - качественных), второй – 10% брака (90% - качественных). Сколько процентов качественных деталей изготавливают за смену на обоих станках?

Обозначим: E₁={деталь изготовлена на 1 станке},

E₂={деталь изготовлена на 2 станке},

A ={произвольно взятая деталь - стандартна}.

Здесь: Р( )= , Р( )= , (A)=0,95, (A)=0,9

По формуле полной вероятности (для двух гипотез и ):

Р(A)=Р( )´ (A) + Р( )´ (A) = ´0,95+ ´0,9»0,93.

Вывод: Примерно 93% изготавливаемых за смену деталей (при одновременной работе обоих станков) - качественные.

Формула Байеса

Представляет собой, в определенном смысле, решение обратной задачи.

Так, в предыдущем примере можно задаться вопросом:

Какой процент из всех качественных деталей, изготовленных за смену, приходится на первый станок (соответственно, второй)?

Формула Байеса выводится из формулы полной вероятности, если для каждого слагаемого, в силу симметрии (А´ = ´А), представить: Р( )´ (А)=Р(А)´ ( ).

Откуда: ( ) = =

· Отвечая на поставленный вопрос, получим:

= = »0,68 (68%)

= = »0,32 (32%)

Вывод: Из всех качественных деталей, изготовленных за смену, 68% приходится на первый станок и 32% - на второй станок.

Задачи для самостоятельного решения

1) Из колоды в 36 карт случайно достают одну. Какова вероятность, что карта «красной» масти или «крестовая»? Что карта «бубновая» или «король»?

2) В урне 12 белых и 8 черных шаров. Один за другим достают два шара. Какова вероятность, что оба шара белые? Оба черные? Один белый и один черный?

3) Известно, что в среднем из 100 посаженных саженцев груши приживаются 80. Посажено два саженца. Какова вероятность, что приживутся: а) оба саженца; б) хотя бы один; в) только один?

4) Имеется две вазы с яблоками. В первой вазе из 8 яблок – 4 побитых, во второй, из 10 – 6 побитых. Какова вероятность, что взятое наудачу яблоко (из наудачу выбранной вазы) – непобитое?

5) В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них две бракованные, во второй коробке – 10 радиоламп, из них одна бракованная. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет качественной.

6) Детали изготавливают на двух станках. Производительность первого на 20% больше производительности второго. Первый станок, в среднем, дает 4% брака, второй – 12% брака. Какой процент качественных деталей, в среднем, изготовят за смену на обоих станках?

7) В семье три дочери: Лиза, Света, Маша. По вечерам они по очереди моют посуду. Так как Лиза старшая, ей приходится выполнять 40% всей работы. Остальную часть Света и Маша делят поровну. Вероятность разбить что-то из посуды при мытье, для Лизы 2%, для Светы и Маши, соответственно, 3% и 4%. Родители не знают, кто вечером мыл посуду, но слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность, что посуду мыла Лиза? Света? Маша?

Контрольные вопросы:

1) Что называется суммой, произведением случайных событий? Привести примеры.

2) Как сформулировать теорему сложения вероятностей в случае: а) несовместных событий; б) совместных событий?

3) Какие события называются независимыми, а какие зависимыми? Привести примеры.

4) Понятие условной вероятности.

5) Как сформулировать теорему умножения вероятностей?

6) Формула полной вероятности.

7) Формула Байеса.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: