НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ МНОГОЧЛЕНОВ

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Определение 5.1.

Многочлен М(х) из кольца P[x] называется общим кратныммногочленов f(x) и g(x), тождественно не равных нулю из P[x], если М(х) делится без остатка на каждый из многочленов f(x) и g(x).

Пример 5.1. Для трех многочленов f(x) = 2x − 6 Î R[x], g(x) = х + 2 Î R[x], d(x) = х − 1 многочлены М₁(х) = (2x − 6)( х + 2)( х − 1)Î R[x], М₂(х) = (2x − 6)( х + 2)( х − 1)(2х+10)Î R[x], М₃(х) =(2x − 6)( х + 2)( х − 1) (х−10)Î R[x], М₄(х) = (2x − 6)( х + 2)( х − 1) (2х+10) (х−10)Î R[x], М₅(х) =(2x − 6)( х + 2)( х − 1)(х¹²⁰ + х¹⁰ + х²)Î R[x], и, вообще, М₆(х) =(2x − 6)( х + 2)( х − 1)× h(х), где h(х) – любой многочлен из R[x], будут их общими кратными.

Определение 5.2.

Многочлен т(х) из кольца P[x] называется наименьшим общим кратныммногочленов f(x) и g(x) из P[x], если т(х) является общим кратным многочленов f(x) и g(x) и любое другое общее кратное этих многочленов делится без остатка на т(х).

Пример 5.2. Для трех многочленов из примера 4.3. f(x) = 2x − 6 Î R[x], g(x) = х + 2 Î R[x], d(x) = х − 1 наименьшим общим кратным будет многочлен т(х) = М₁(х) = (2x − 6)( х + 2)( х − 1)Î R[x], т. к. на этот многочлен делятся все другие многочлены – общие кратные: М₂(х) = (2x − 6)( х + 2)( х − 1)(2х+10)Î R[x], М₃(х) =(2x − 6)( х + 2)( х − 1) (х−10)Î R[x], М₄(х) = (2x − 6)( х + 2)( х − 1) (2х+10) (х−10)Î R[x], М₅(х) =(2x − 6)( х + 2)( х − 1)(х¹²⁰ + х¹⁰ + х²)Î R[x], и, вообще, М₆(х) =(2x − 6)( х + 2)( х − 1)× h(х), где h(х) – любой многочлен из R[x].

Наименьшее общее кратное (НОК) обозначается символами: т (x) = [f(x), g(x)].

Теорема 5.1

[f ₁(x), f₂(x), f₃(x),… f_n(x)]=[[(x), f₂(x), f₃(x),… f_n-1(x)] f_n(x)].

Пример 5.3. Найдём наименьшее общее кратное многочленовf₁(x) = x³ +x² –x –1, f₂(x) = x³ –x² –x +1, f₃(x) = x³ –x.

По Теореме 5.1. [f₁(x), f₂(x), f₃(x)]=[[f₁(x), f₂(x)], f₃(x)]. Т.е. для того, чтобы найти НОК m(x ) трёх многочленов f₁(x), f₂(x), f₃(x), необходимо найти НОК m ₁(x ) двух многочленов f₁(x), f₂(x), а затем нужно найти НОK m₂(x ) двух многочленов m₁(x ) и f₃(x). И m₂(x ) = m(x) (Теорема 5.1.).

Итак, [f₁(x), f₂(x)] = m₁(x ) = (x² –1)(x + 1)(x – 1), а [m₁(x ), f₃(x)] = m(x ) = x (x² –1) (x + 1)(x – 1) = [f₁(x), f₂(x), f₃(x)].

Теорема 5.2

Если d(x) и т(х) – соответственно наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов f(x) и g(x), то d(x) × т(х) = f(x) × g(x).

Пример 5.4. Даны многочлены f(x) = х² + 2х + 1; g(x) = х² – 1. Их d(x) = х + 1;

т(х) = (х² + 2х + 1)( х – 1). Покажем справедливость Теоремы 5.2.

d(x) × т(х) = (х + 1) × (х² + 2х + 1)( х – 1) =(х² + 2х + 1) × (х + 1)× ( х – 1) = (х² + 2х + 1) × (х² – 1) = f(x) × g(x).

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

/ Обозначения: т (x) = НОК ( f(x), g(x) ) или т (x) = [ f(x), g(x) ] /

135.Даны многочлены f(x) = х – 1 и g(x) = х + 1 .

1)Составьте 3 – 4 многочлена, являющихся кратными многочлена f(x) ;

2)Составьте 3 – 4 многочлена, являющихся кратными многочлена g(x) ;

3)Составьте 2 – 3 многочлена, являющихся общими кратными многочленов f(x) и g(x);

4)Составьте многочлен, являющийся наименьшим общим кратным многочленов f(x) и g(x)

и убедитесь в том, он удовлетворяет всем требованиям, содержащимся в определении наименьшего общего кратного многочленов.

136.Составьте наименьшее общее кратное многочленов :

f(х) = x² – 4 , g(х) = (x – 2)² , j(x) = x² – 2 x .

137.Составьте наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов f(х) = x² – 9 и g(х) = (x+3)². Проверьте справедливость равенства т(х)×d(x) = f(x)×g(x).

В примерах 138 – 141используя равенство из примера 137,найдите наименьшее общее кратное многочленовf(х) и g(х) .

138.f(х) = 2 x³ – x + 14 и g(х) = x² + x – 2 .

139.f(х) = 2 x³ + x + 3 и g(х) = x² – x – 2 .

140.f(х) = x³ – 6 x² + 11 x – 6 и g(х) = x² + x – 6 .

141.f(х) = 3 x⁴ – 4 x³ + 7 x² – 8 x + 2 и g(х) = 3 x⁴ – 4 x³ + 4 x² – 4 x + 1.

142.Докажите свойства наименьшего общего кратного многочленов :

1⁰.Если НОД ( f(x) , g(x) ) = 1, то НОК ( f(x) , g(x) ) = f(x) × g(x) .

2⁰.Если НОД ( f(x) , g(x) ) = d(x) и НОК ( f(x) , g(x) ) = т(x), то т(x) d(x) .

3⁰.НОК [ f(x) × h(х) , g(x) × h(х) ] = h(х) × НОК ( f(x) , g(x) ) .

4⁰.Если НОК ( f(x) , g(x) ) = т(x), то НОД [ т(x) : f (x), т(x) : g (x) ] = 1 .

143.Проверьте справедливость свойства 1⁰из примера 142для многочленов

f(х) = x³ – x² и g(х) = x² – 4 .

144.Используя свойства 2⁰ и 1⁰ из примера 142, найдите НОК ( f(x) , g(x) ), если : 1)f(х) = x² (x + 2) , g(х) = x (x + 2)² ;

2)f(х) = x (x – 1)² (x – 3)³ , g(х) = x² (x – 1) (x – 3)² (x + 1) .

НЕПРИВОДИМЫЕ И ПРИВОДИМЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА В ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ, НЕПРИВОДИМЫХ НАД ДАННЫМ ПОЛЕМ

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Неприводимые и приводимые многочлены

Над полем

Пусть P[x] – кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами из поля Р

P[x]= { a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ | a_iÎ P }.

Определение 6.1.

Многочлен f(x) п-й степени ( п > 0) из P[x] называется приводимым над полем Р, если он представим в виде произведения двух многочленов из того же кольца P[x], причём их степени ненулевые и меньшие п.

В противном случае многочлен f(x) называется неприводимым над полем Р .

Многочлен нулевой степени не является ни приводимым, ни неприводимым над заданным полем.

Пример 6.1. Многочлен f(x) = х³– 1 – приводим над полем действительных чисел R, т.к. он представим в виде произведения двух многочленов из того же кольца R[x], причём их степени ненулевые и меньшие n:

f(x) = х³– 1 = (x–1)(x² + x +1) = p₁(x)p₂(x),

deg f(x) = 3, deg p₁(x) = 1, deg p₂(x) = 2.

Пример 6.2. Многочлен f(x) = х²+ 1 – неприводим над полем действительных чисел R, т.к. он не может быть представлен в виде произведения двух многочленов из того же кольца R[x] так, чтобы их степени были ненулевые и меньшие n.

Однако над полем комплексных чисел С многочлен f(x) = х²+ 1 – приводим, т.к. он представим в виде произведения двух многочленов из того же кольца С[x], причём их степени ненулевые и меньшие n:

f(x) = х²+ 1 = (x + i)( x – i) = p₁(x)p₂(x),

deg f(x) = 2, deg p₁(x) = 1, deg p₂(x) = 1.

Отметим,что здесь везде речь идёт о нетривиальных разложениях, т.к. любой многочлен имеет тривиальное разложение в произведение 1 и самого многочлена с точностью до ассоциированности:

f(x) = 1 × f(x) = (5 ∙ ) × f(x) = 5 ∙(f(x)) = ∙ (5f(x)).

При помощи понятия «тривиальное разложение многочлена в произведение» приводимый и неприводимый многочлены можно определить так:

Определение 6.1.б.

Многочлен f(x) п-й степени ( п > 0) из P[x] называется неприводимым над полем Р, если он допускает только тривиальное разложение в произведение, и приводимым над полем Р, если он допускает иные, кроме тривиального, разложения в произведение.

Многочлен нулевой степени не является ни приводимым, ни неприводимым над заданным полем.

*В теории делимости многочленов неприводимые многочлены в некотором смысле играют роль простых чисел в кольце целых чисел Z .

Свойства неприводимых многочленов из кольца многочленов P[x].

Свойство 6.1.Многочлен 1^й степени f (x) = ax+b неприводим над любым полем.

o Это очевидно, т.к. многочлен 1^й степени нельзя представить в виде произведения двух многочленов степеней ненулевых и меньших п (Определение 6.1.).·

Свойство 6.2.Если произведение (f ₁(x) × f₂(x) × f₃(x) × … × f_s(x)) p(x), где p(x) – неприводимый над Р многочлен, то хотя бы один из сомножителей делится на p(x).

oДоказательство проведится методом математической индукции (ММИ) по s – количеству многочленов в произведении f ₁(x) × f₂(x) × f₃(x) × … × f_s(x).

Свойство 6.3.Всякий многочлен p(x) степени n (n³2), имеющий корень в поле Р, приводим над этим полем.

Свойство 6.4.4. Если р(х) и q(x) – неприводимые многочлены над Р и р(х) q(x) или q(x) p(x), то эти многочлены ассоциированы друг с другом (Определение 2.2.).

Свойство 6.5.Всякий многочлен степени п=2 или п=3 неприводим в поле Р тогда и только тогда, когда он не имеет корней в этом поле.

o Доказательство от противного.·

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: