Определить относительную ошибку

Лабораторная работа №2

ИССЛЕДОВАНИЕ затухающих крутильных колебаний

Цель работы

Определение параметров колебательной системы – кру-тильного маятника с затуханием, колебания которого слу-жат моделью движения во многих задачах классической и квантовой физики.

Описание экспериментальной установки

Крутильный маятник (рис.2.1) представляет собой диск, закрепленный на упругой проволоке, другой конец которой зажат в неподвижном кронштейне. Для получения значений углов j поворота маятника служит градуированная шкала на диске.

Для проведения измерений диаметра проволоки, диамет-ра дисков, длины подвеса служат штангенциркуль и масштаб-ная линейка (указанные параметры установки могут быть заданы).

При повороте тела, закрепленного на упругом подвесе, на малый угол j происходит закручивание проволоки. При этом возникает возвращающий момент упругих сил, равный

, (2.1)

где – коэффициент кручения, зависящий от упругих свойств подвеса.

Используя уравнения динамики вращательного движения для крутильных колебаний, получаем

(2.2)

или

, (2.3)

где – момент инерции диска.

Учитывая, что круговая частота гармонических колеба-ний определяется как

, (2.4)

то из уравнения (2.3) и (2.4) имеем, что частота и период колебаний крутильного маятника равны соответственно

, (2.5)

. (2.6)

В реальных колебательных системах (осцилляторах) про-исходит диссоциация (рассеяние) запасенной энергии, и сво-бодные колебания со временем затухают. Для учета процес-са рассеяния энергии в дифференциальное уравнение движения (2.3) необходимо ввести слагаемое, характеризу-ющее силу сопротивления движению:

, (2.7)

где – обобщенный коэффициент сопротивления, который для крутильного маятника является коэффициентом про-порциональности между тормозящим моментом ( ) и уг-ловой скоростью :

. (2.8)

Решение уравнения (2.7) имеет вид:

(2.9)

где – постоянная времени затухания, показывающая, что амплитуда колебаний

уменьшается за время в раз.

Для крутильного маятника

. (2.10)

Частота затухающих колебаний

(2.11)

меньше собственной частоты .

С увеличением момента трения постоянная времени уменьшается, и при частота (2.11) становится мнимой, колебания крутильного маятника прекращаются – движение становится апериодическим. Переход колебатель-ного движения в апериодическое происходит при условии, когда

. (2.12)

Энергия колебательного движения изменяется по закону

, (2.13)

т.е. энергия осциллятора расходуется на работу против диссипативных сил и превращается во внутреннюю энергию.

Мощность потерь, т.е. скорость рассеяния энергии, с од-ной стороны,

а с другой, с учетом (2.13),

. (2.14)

Качество колебательной системы, ее способность сохра-нять запасенную энергию характеризуется добротностью Q, которая определяется отношением запасенной энергии к потерям за время

; . (2.15)

Тогда с учетом (2.14) выражение (2.15) принимает вид:

. (2.16)

Из (2.16) следует, что добротность колебательной систе-мы равна числу колебаний за время ; причем за это время амплитуда уменьшается в раза, а энергия в раз.

Затухание колебаний принято характеризовать логариф-мическим декрементом затухания:

, (2.17)

где – коэффициент затухания колебаний.

Следует отметить, что при малых декрементах затухания колебаний , т.е. при большой добротности осцил-лятора и с учетом (2.16), добротность равна:

. (2.18)

Порядок выполнения работы

Упражнение 1

1. Измерить диаметр проволоки подвеса и диаметры и дисков (штангенциркулем) и длину подвеса (линей-кой).

2. Измерить время колебаний маятника, по-вернув диск приблизительно на 30°. Провести не менее пя-ти таких наблюдений, результаты занести в таблицу 1.

3. Измерить время колебаний маятника с дву-мя дисками. Провести также не менее пяти экспериментов и результаты занести в таблицу 1.

Таблица 1

№ опыта	₁, сек	₁, сек	t₂, сек	T₂, сек
			t
. . .

среднее

4. По данным п.п. 2, 3 вычислить периоды колебаний маятника с одним (T₁) и с двумя (T₂) дисками. Определить погрешность с доверительной вероятностью 90%:

где – средняя квадратичная ошибка (для T₂ аналогично ).

5. Рассчитать относительные ошибки

и .

Упражнение 2

5. Измерить время затухания колебаний маятника , за которое амплитуда колебаний уменьшится примерно вдвое, повернув изначально диск приблизительно на 30°( ). Про-вести не менее пяти экспериментов результаты занести в таблицу 2.

Таблица 2

№ опыта	, град	, град	, сек

. . .

среднее

6. По данным п. 5 вычислить постоянную времени зату-хания маятника и погрешность с доверительной ве-роятностью 90%.

Так как отклонение маятника отсчитывается от некото-рого нулевого положения ( ) (в общем случае отличного от нуля), то закон убывания амплитуды колебаний в со-ответствии с (2.9) имеет вид:

. (2.19)

7. Измерения и вычисления по пп. 5,6 повторить для маятника с двумя дисками.

8. Оценить относительный сдвиг частоты (и периода) , обусловленный затуханием колебаний (трением). Следует отметить, что при малом затухании:

поэтому согласно формуле (2.11):

откуда

, (2.20)

где .

9. Определить момент инерции ( ) маятника из соотно-шения частот для маятника с одним и двумя дисками. На основании (2.5) имеем:

(2.21)

где – момент инерции второго диска, добав-ляемый к моменту инерции крутильного маятника. Если по п. 8 разница между и оказывается пренебрежительно малой, то можно заменить на , тогда расчетная формула (2.21) примет вид

(2.22)

где и определены в п. 4.

10. Найти относительную ошибку момента инерции маятника по формуле:

где и – систематические ошибки и . Если какое-либо из слагаемых гораздо больше остальных, будет разумно при вычислениях оставлять только его.

11. Рассчитайте абсолютную ошибку

12. Определить коэффициент кручения по формуле (2.6), используя найденные значения момента инерции маятника в п. 9 (2.22) и периода в п.4.

13. Рассчитать относительную ошибку по формуле:

где и – относительные ошибки момента инерции ма-ятника и периода и абсолютную ошибку . Результат представить в стандартном виде и округлить с нужной степенью точности.

14. Используя найденные значения постоянной времени затухания в п. 6 и момента инерции маятника в п. 9, можно вычислить обобщенный коэффициент сопротивления по формуле (2.10).

Определить относительную ошибку

где – относительная ошибка времени релаксации.

15. Вычислить полную энергию маятника

и мощность потерь по формуле (2.14) для одного значения амплитуды .

16. Вычислить относительную ошибку

где – систематическая ошибка в определении , и аб-солютную ошибку , результат округлить.

17. Вычислить относительную ошибку мощности потерь

и абсолютную ошибку

Значение мощности потерь представить в стандартном виде и округлить.

18. Определить относительную и абсолютную ошибки доб-ротности

и .

Представить значение добротности в стандартном виде и округлить.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение момента инерции.

2. Выведите момент инерции сплошного диска относитель-но оси, проходящей через его центр перпендикулярно плос-кости диска.

3. Выведите уравнение крутильных колебаний.

4. Почему амплитуда колебаний крутильного маятника при измерениях его периода должна быть небольшой?

5. В чем отличие крутильных колебаний от колебаний фи-зического маятника?

6. Напишите решение уравнения затухающих колебаний.

7. Найдите частоту затухающих колебаний, укажите связь с собственной частотой.

8. Нарисуйте зависимость амплитуды затухающих коле-баний от времени.

9. Выведите уравнение для энергии затухающих колеба-ний в зависимости от времени, нарисуйте график.

10. Объясните, что характеризует время релаксации (пос-тоянная времени затухания).

11. Оцените мощность потерь энергии.

12. Определите добротность колебаний системы.

13. Объясните, что такое логарифмический декремент за-тухания.

14. Укажите, как связаны добротность и логарифмичес-кий декремент затухания.

15. Укажите, как связаны добротность и время релакса-ции.

16. Оцените абсолютную и относительную ошибку при определении диаметров проволоки, дисков и длины под-веса.

17. Рассчитайте абсолютную ошибку в определении периода колебаний маятника с одним ( ) и двумя дисками ( ).

18. Рассчитайте относительную ошибку в определении периода колебаний маятника с одним ( ) и двумя дисками ( ).

19. Вычислите время релаксации поступательных времен-ных затуханий .

20. Определите относительную ошибку времени затуха-ния .

21. Определите абсолютную ошибку времени затухания .

22. Сравните величину систематической ошибки при оп-ределении времени . при ручном хронометраже с абсолютными ошибками (в пп.1,3,5) в случае, если (из п.п.1,3,5). Рассчитайте результирующую погреш-ность как .

23. Вычислите относительный сдвиг частоты по формуле (2.20), рассчитайте его относительную ошибку по формуле , где и – относительные ошибки в определении собственной частоты и времени ре-лаксации .

24. Вычислите по формуле для расчета ошибки косвен-ных измерений абсолютную погрешность в определении момента инерции диска (2.21).

25. Вычислите по формуле для расчета ошибки косвен-ных измерений относительную погрешность .

26. Вычислить абсолютную и относительную ошибку при определении коэффициента кручения .

27. Вычислите абсолютную и относительную ошибку при определении обобщенного коэффициента сопротивления .

28. Вычислить абсолютную и относительную ошибку при определении полной энергии маятника , учитывая погрешность при определении угла .

29. Вычислить абсолютную и относительную ошибку при определении мощности потерь .

30. Выведите момент инерции сплошного диска относи-тельно оси, проходящей через его центр параллельно плос-кости диска.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: