Определить относительную ошибку
Лабораторная работа №2
ИССЛЕДОВАНИЕ затухающих крутильных колебаний
Цель работы
Определение параметров колебательной системы – кру-тильного маятника с затуханием, колебания которого слу-жат моделью движения во многих задачах классической и квантовой физики.
Описание экспериментальной установки
Крутильный маятник (рис.2.1) представляет собой диск, закрепленный на упругой проволоке, другой конец которой зажат в неподвижном кронштейне. Для получения значений углов j поворота маятника служит градуированная шкала на диске.
Для проведения измерений диаметра проволоки, диамет-ра дисков, длины подвеса служат штангенциркуль и масштаб-ная линейка (указанные параметры установки могут быть заданы).
При повороте тела, закрепленного на упругом подвесе, на малый угол j происходит закручивание проволоки. При этом возникает возвращающий момент упругих сил, равный
, (2.1)
где – коэффициент кручения, зависящий от упругих свойств подвеса.
Используя уравнения динамики вращательного движения для крутильных колебаний, получаем
(2.2)
или
, (2.3)
где – момент инерции диска.
Учитывая, что круговая частота гармонических колеба-ний определяется как
, (2.4)
то из уравнения (2.3) и (2.4) имеем, что частота и период колебаний крутильного маятника равны соответственно
, (2.5)
. (2.6)
В реальных колебательных системах (осцилляторах) про-исходит диссоциация (рассеяние) запасенной энергии, и сво-бодные колебания со временем затухают. Для учета процес-са рассеяния энергии в дифференциальное уравнение движения (2.3) необходимо ввести слагаемое, характеризу-ющее силу сопротивления движению:
, (2.7)
где – обобщенный коэффициент сопротивления, который для крутильного маятника является коэффициентом про-порциональности между тормозящим моментом ( ) и уг-ловой скоростью :
. (2.8)
Решение уравнения (2.7) имеет вид:
(2.9)
где – постоянная времени затухания, показывающая, что амплитуда колебаний
уменьшается за время в раз.
Для крутильного маятника
. (2.10)
Частота затухающих колебаний
(2.11)
меньше собственной частоты .
С увеличением момента трения постоянная времени уменьшается, и при частота (2.11) становится мнимой, колебания крутильного маятника прекращаются – движение становится апериодическим. Переход колебатель-ного движения в апериодическое происходит при условии, когда
. (2.12)
Энергия колебательного движения изменяется по закону
, (2.13)
т.е. энергия осциллятора расходуется на работу против диссипативных сил и превращается во внутреннюю энергию.
Мощность потерь, т.е. скорость рассеяния энергии, с од-ной стороны,
,
а с другой, с учетом (2.13),
. (2.14)
Качество колебательной системы, ее способность сохра-нять запасенную энергию характеризуется добротностью Q, которая определяется отношением запасенной энергии к потерям за время
; . (2.15)
Тогда с учетом (2.14) выражение (2.15) принимает вид:
. (2.16)
Из (2.16) следует, что добротность колебательной систе-мы равна числу колебаний за время ; причем за это время амплитуда уменьшается в раза, а энергия в раз.
Затухание колебаний принято характеризовать логариф-мическим декрементом затухания:
, (2.17)
где – коэффициент затухания колебаний.
Следует отметить, что при малых декрементах затухания колебаний , т.е. при большой добротности осцил-лятора и с учетом (2.16), добротность равна:
. (2.18)
Порядок выполнения работы
Упражнение 1
1. Измерить диаметр проволоки подвеса и диаметры и дисков (штангенциркулем) и длину подвеса (линей-кой).
2. Измерить время колебаний маятника, по-вернув диск приблизительно на 30°. Провести не менее пя-ти таких наблюдений, результаты занести в таблицу 1.
3. Измерить время колебаний маятника с дву-мя дисками. Провести также не менее пяти экспериментов и результаты занести в таблицу 1.
Таблица 1
№ опыта
| 1, сек
| 1, сек
| t2, сек
| T2, сек
|
|
|
| t
|
| . . .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| среднее
|
|
|
|
|
4. По данным п.п. 2, 3 вычислить периоды колебаний маятника с одним (T1) и с двумя (T2) дисками. Определить погрешность с доверительной вероятностью 90%:
,
где – средняя квадратичная ошибка (для T2 аналогично ).
5. Рассчитать относительные ошибки
и .
Упражнение 2
5. Измерить время затухания колебаний маятника , за которое амплитуда колебаний уменьшится примерно вдвое, повернув изначально диск приблизительно на 30°( ). Про-вести не менее пяти экспериментов результаты занести в таблицу 2.
Таблица 2
№ опыта
| , град
| , град
| , сек
|
|
|
|
| . . .
|
|
|
|
|
|
|
| среднее
|
|
|
|
6. По данным п. 5 вычислить постоянную времени зату-хания маятника и погрешность с доверительной ве-роятностью 90%.
Так как отклонение маятника отсчитывается от некото-рого нулевого положения ( ) (в общем случае отличного от нуля), то закон убывания амплитуды колебаний в со-ответствии с (2.9) имеет вид:
,
. (2.19)
7. Измерения и вычисления по пп. 5,6 повторить для маятника с двумя дисками.
8. Оценить относительный сдвиг частоты (и периода) , обусловленный затуханием колебаний (трением). Следует отметить, что при малом затухании:
,
поэтому согласно формуле (2.11):
,
откуда
, (2.20)
где .
9. Определить момент инерции ( ) маятника из соотно-шения частот для маятника с одним и двумя дисками. На основании (2.5) имеем:
(2.21)
где – момент инерции второго диска, добав-ляемый к моменту инерции крутильного маятника. Если по п. 8 разница между и оказывается пренебрежительно малой, то можно заменить на , тогда расчетная формула (2.21) примет вид
(2.22)
где и определены в п. 4.
10. Найти относительную ошибку момента инерции маятника по формуле:
,
где и – систематические ошибки и . Если какое-либо из слагаемых гораздо больше остальных, будет разумно при вычислениях оставлять только его.
11. Рассчитайте абсолютную ошибку
.
12. Определить коэффициент кручения по формуле (2.6), используя найденные значения момента инерции маятника в п. 9 (2.22) и периода в п.4.
13. Рассчитать относительную ошибку по формуле:
,
где и – относительные ошибки момента инерции ма-ятника и периода и абсолютную ошибку . Результат представить в стандартном виде и округлить с нужной степенью точности.
14. Используя найденные значения постоянной времени затухания в п. 6 и момента инерции маятника в п. 9, можно вычислить обобщенный коэффициент сопротивления по формуле (2.10).
Определить относительную ошибку
,
где – относительная ошибка времени релаксации.
15. Вычислить полную энергию маятника
и мощность потерь по формуле (2.14) для одного значения амплитуды .
16. Вычислить относительную ошибку
,
где – систематическая ошибка в определении , и аб-солютную ошибку , результат округлить.
17. Вычислить относительную ошибку мощности потерь
и абсолютную ошибку
.
Значение мощности потерь представить в стандартном виде и округлить.
18. Определить относительную и абсолютную ошибки доб-ротности
и .
Представить значение добротности в стандартном виде и округлить.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение момента инерции.
2. Выведите момент инерции сплошного диска относитель-но оси, проходящей через его центр перпендикулярно плос-кости диска.
3. Выведите уравнение крутильных колебаний.
4. Почему амплитуда колебаний крутильного маятника при измерениях его периода должна быть небольшой?
5. В чем отличие крутильных колебаний от колебаний фи-зического маятника?
6. Напишите решение уравнения затухающих колебаний.
7. Найдите частоту затухающих колебаний, укажите связь с собственной частотой.
8. Нарисуйте зависимость амплитуды затухающих коле-баний от времени.
9. Выведите уравнение для энергии затухающих колеба-ний в зависимости от времени, нарисуйте график.
10. Объясните, что характеризует время релаксации (пос-тоянная времени затухания).
11. Оцените мощность потерь энергии.
12. Определите добротность колебаний системы.
13. Объясните, что такое логарифмический декремент за-тухания.
14. Укажите, как связаны добротность и логарифмичес-кий декремент затухания.
15. Укажите, как связаны добротность и время релакса-ции.
16. Оцените абсолютную и относительную ошибку при определении диаметров проволоки, дисков и длины под-веса.
17. Рассчитайте абсолютную ошибку в определении периода колебаний маятника с одним ( ) и двумя дисками ( ).
18. Рассчитайте относительную ошибку в определении периода колебаний маятника с одним ( ) и двумя дисками ( ).
19. Вычислите время релаксации поступательных времен-ных затуханий .
20. Определите относительную ошибку времени затуха-ния .
21. Определите абсолютную ошибку времени затухания .
22. Сравните величину систематической ошибки при оп-ределении времени . при ручном хронометраже с абсолютными ошибками (в пп.1,3,5) в случае, если (из п.п.1,3,5). Рассчитайте результирующую погреш-ность как .
23. Вычислите относительный сдвиг частоты по формуле (2.20), рассчитайте его относительную ошибку по формуле , где и – относительные ошибки в определении собственной частоты и времени ре-лаксации .
24. Вычислите по формуле для расчета ошибки косвен-ных измерений абсолютную погрешность в определении момента инерции диска (2.21).
25. Вычислите по формуле для расчета ошибки косвен-ных измерений относительную погрешность .
26. Вычислить абсолютную и относительную ошибку при определении коэффициента кручения .
27. Вычислите абсолютную и относительную ошибку при определении обобщенного коэффициента сопротивления .
28. Вычислить абсолютную и относительную ошибку при определении полной энергии маятника , учитывая погрешность при определении угла .
29. Вычислить абсолютную и относительную ошибку при определении мощности потерь .
30. Выведите момент инерции сплошного диска относи-тельно оси, проходящей через его центр параллельно плос-кости диска.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|